Toán học cấp tốc (Phần 13)

Nghịch lí thợ cạo

Một nghịch lí là một mệnh đề trông có vẻ đúng nhưng lại tự mâu thuẫn, hay dẫn tới một tình huống trông như phản lô gic. Vào năm 1901, nhà toán học Anh Bertnand Russell đã sử dụng nghịch lí thợ cạo để bốc trần các sơ hở trong lí thuyết tập hợp sơ cấp:

Toàn bộ đàn ông trong một ngôi làng hoặc tự cạo râu hoặc được cạo râu bởi một bác thợ cao (ông này cũng là dân trong làng). Bác thợ cạo tuyên bố rằng ông chỉ cạo râu cho người nào trong làng không tự mình cạo râu. Vậy ai cạo râu cho ổng?

Tuyên bố lại theo các thuật ngữ tập hợp, nghịch lí trên yêu cầu chúng ta xét một tập hợp chứa toàn bộ các tập con không có bản thân chúng là phần tử. Tập hợp này có là một phần tử của chính nó hay không? Giải pháp tức thì cho những nghịch lí như thế là thu hẹp lí thuyết tập hợp bằng một loạt các quy tắc hay tiên đề, tạo ra một tôn ti tập hợp chỉ được phép là phần tử của các tập hợp ở trên chúng theo thứ bậc tôn ti. Mặc dù không phải giải pháp đẹp nhất, song các lí thuyết tập hợp kiểu tiên đề được chấp nhận rộng rãi.

Nghịch lí thợ cạo

Lực lượng và tính đếm được

Lực lượng của một tập hợp hữu hạn A, viết là |A|, là số lượng phần tử rời rạc bên trong nó. Hai tập hợp, cho dù hữu hạn hay vô hạn, được nói là có cùng lực lượng nếu các phần tử của chúng có thể đặt tương ứng một-một với nhau. Điều này có nghĩa là các phần tử của mỗi tập hợp có thể ghép đôi, với mỗi phần tử đi liền với đúng một phần tử trong tập hợp kia.

Tập hợp đếm được là tập hợp có các phần tử có thể được đánh thứ tự bằng các số tự nhiên. Hiển nhiên, điều này có nghĩa là các phần tử của tập hợp đó có thể liệt kê được, mặc dù danh sách có thể dài vô tận. Về mặt toán học, điều đó có nghĩa là tập hợp đó có thể đặt tương ứng một-một với một tập con của số tự nhiên.

Điều này có những hệ quả bất ngờ. Chẳng hạn, một tập con nghiêm ngặt của một tập hợp đếm được có thể có cùng lực lượng với chính tập hợp đó. Vì thế, tập hợp gồm tất cả các số chẵn có cùng lực lượng với tập hợp gồm các số bình phương, tập này lại có cùng lực lượng với số tự nhiên. Toàn bộ chúng đều được được nói là vô hạn đếm được.

Lực lượng và tính đếm được