109. Các khái niệm topo có bất kì ứng dụng thực tế nào không?
Các khái niệm topo được sử dụng trong thiết kế các mạng lưới, nghĩa là trong phân phối điện, khí đốt và nước, và trong thiết kế tự động công nghiệp.
Chúng được sử dụng trong điều khiển lưu lượng giao thông và dẫn hướng tên lửa.
Chúng còn được áp dụng trong thiết kế bản đồ địa lí.
Lí thuyết các hệ thống động lực phong phú là nhờ các khái niệm và ý tưởng topo học.
Lí thuyết hàm hiện đại và logic biểu tượng có liên hệ mật thiết với topo học.
110. Mặt một bề là gì?
Lấy một băng giấy và dán hai đầu lại với nhau, A trùng với C, và B với D. Cách này cho ta một mặt trụ.
Mặt trụ có hai mặt – mặt trong và mặt ngoài – một mặt, ví dụ, có thể sơn màu xanh, còn mặt kia sơn màu đỏ.
Đồng thời, nó có hai cạnh, cạnh trên và cạnh dưới. Bây giờ lấy một băng giấy khác, xoắn nó nửa vòng rồi dán lại lần này sao cho A trùng với D, và B với C. Đây là dải Mobius nổi tiếng, do nhà toán học người Đức A. F. Mobius khám phá vào năm 1858.
Nếu chúng ta cố sơn hai mặt của vật này bằng hai màu, ta sẽ thấy rằng không thể làm được, vì nó chỉ có một mặt!
Trông có vẻ lạ, nhưng đáng để bạn làm thử với một băng giấy hay một dải lụa.
111. Tinh thần của thí nghiệm này là gì?
Nó cho thấy ngay cả điều quả quyết rõ ràng đơn giản và chân thật rằng mỗi bề mặt có hai mặt có thể là sai lầm! Do đó, trong toán học, chứng minh logic chặt chẽ là cần thiết, cho dù điều khẳng định có hiển nhiên như thế nào.
112. Dải Mobius có tính chất nào khác hay không?
Một tính chất nổi bật nữa của mặt này là có chỉ có một cạnh, một đường khép kín! Nếu dây curoa được xoắn lại nửa vòng trước khi thắt thì nó trở thành một mô hình của dải Mobius. Một dây curoa như vậy có thể tồn tại lâu hơn vì nó bị mòn đều ở hai mặt do ma sát trên bánh xe. Thật vậy, nó chỉ có một mặt và một cạnh.
Một lần nữa, nếu chúng ta cắt mặt trụ theo phương vuông góc với trục của nó dọc theo đường giữa, thì ta được hai mặt trụ. Nhưng nếu chúng ta cắt dải Mobius theo đường giữa, thì nó vẫn là một dải! Bạn hãy lấy một băng giấy để xác nhận. Sẽ thú vị đấy.
113. Công thức Euler cho hình khối là gì?
Công thức nêu một liên hệ giữa các đỉnh, các cạnh và các mặt của một hình khối đơn giản.
Nó phát biểu rằng đối với một khối đa diện đơn giản bất kì thì
V – E + F = 2
trong đó V là số đỉnh, E là số cạnh, và F là số mặt.
Để minh họa, một hình hộp chữ nhật hoặc hình lập phương thì có 8 đỉnh, 12 cạnh và 6 mặt, nên 8 – 12 + 6 = 2, thỏa mãn công thức.
Tương tự, một tứ diện có 4 đỉnh, 6 cạnh và 4 mặt, nên 4 – 6 + 4 = 2, một lần nữa thỏa mãn công thức.
114. Nhưng làm thế nào công thức này là kết quả trong topo học?
Công thức trên vẫn đúng khi hình khối chịu mọi kiểu biến dạng topo, trong khi, nói chung, các cạnh thôi không còn thẳng, và các mặt thôi không còn phẳng và biến thành những mặt cong.
Vì thế, công thức này được người ta cho là định lí đầu tiên về mặt lịch sử trong topo học.
Nó đã được Descartes biết tới vào khoảng năm 1640, nhưng được khám phá lại bởi Euler vào năm 1752.
115. Bài toán Bảy chiếc cầu Koenigsberg là gì?
Thành phố Koenigsberg có trung tâm nằm trên một cù lao trên sông Pregel. Vào thế kỉ 17, cù lao này được nối với hai bờ sông với hai chiếc cầu ở mỗi bờ. Cù lao này còn có một chiếc cầu bắt sang một cù lao lân cận, và cù lao kia được nối với mỗi bờ sông bằng một chiếc cầu.
Sơ đồ như sau:
Câu đố khó dành cho các công dân của thành phố như sau:
Làm thế nào vạch ra hành trình đi qua tất cả bảy cây cầu mà không được đi qua bất kì cây cầu nào hai lần?
Đây chính là bài toán Bảy chiếc cầu Koenigsberg.
116. Làm thế nào có thể lập ra một hành trình như thế?
Một hành trình như thế không thể nào vạch ra được. Các thử nghiệm lặp đi lặp lại cho thấy không thể làm được chuyện đó, nhưng Euler đã đưa ra nguyên tắc chung cho những bài toán như vậy gọi là các bài toán mạng trong topo học.
117. Nguyên tắc đó là gì?
Trước khi có thể giải thích nguyên tắc, chúng ta nên nhớ trong đầu một vài khái niệm và thuật ngữ.
Để cho đơn giản, các vùng đất được thay bằng các điểm, và các cây cầu bắt qua sông được thay bằng các đoạn nối giữa các điểm.
Các điểm đó được gọi là đỉnh. Một đỉnh là lẻ hoặc chẵn, theo số lượng đường dẫn từ đỉnh đó là lẻ hay chẵn.
Euler đã khám phá rằng:
(i) Nếu tất cả các đỉnh trong một mạng liên kết đều là chẵn thì mạng đó có thể được đi xuyên trong một hành trình bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh như trong các trường hợp sau:
(ii) Nếu mạng chứa hai đỉnh lẻ, thì nó có thể được đi xuyên trong một hành trình, nhưng không thể quay về tại điểm xuất phát.
(iii) Nếu mạng chứa 4, 6 hoặc 8 đỉnh lẻ, thì tương ứng sẽ cần 2, 3 hoặc 4 hành trình riêng để đi qua nó. Số lượng hành trình cần thiết để đi xuyên một mạng liên kết bằng nửa số đỉnh lẻ.
(iv) Một mạng gồm một số lẻ đỉnh lẻ thì không thể dựng được bởi vì mỗi đường cần bắt đầu tại một đỉnh và kết thúc tại một đỉnh.
118. Nguyên tắc trên được áp dụng như thế nào cho bài toán Bảy chiếc cầu Koenigsberg?
Trong bài toán đó, khi hai cù lao được thay bằng hai điểm A và B, con sông chia tách hai phần đất được kí hiệu là C và D, và bảy chiếc cầu được kí hiệu bằng bảy đường cung, mạng đã cho có dạng như sau:
Vì trong trường hợp này, cả bốn đỉnh đều là lẻ, nên cần có hai hành trình mới đi hết mạng lưới. Một hành trình duy nhất là không thể.
119. Nếu có thêm một cầu nữa bắt qua sông thì sao?
Nếu xây thêm một chiếc cầu nữa bắt qua sông, trên sơ đồ được vẽ bằng nét đứt ở phía cùng bên trái, thì mạng có dạng như sau:
Trong trường hợp này, hai đỉnh C và D đều chẵn, và hai đỉnh kia, A và B, đều là lẻ. Bây giờ một hành trình là đủ, nhưng hành trình đó phải bắt đầu tại một đỉnh lẻ, A hoặc B, và kết thúc tại đỉnh kia.
120. Tại sao bài toán trên lại được đánh giá quan trọng thế?
Bởi vì cùng với đáp số của bài toán đã ra đời một ngành toán học hoàn toàn mới.
Khi Euler giới thiệu lời giải trước Viện hàn lâm nước Nga ở St Petersburg vào năm 1736, không những một bài toán dai dẳng đã được giải mà cùng với nó Topo học đã ra đời.
121. Hình ngôi sao và hình chữ nhật với hai đường chéo thì có đi xuyên qua một lượt được không?
Hình ngôi sao có 10 đỉnh, mỗi đỉnh đều chẵn. Do đó, chẳng khó khăn gì để vẽ nó bằng một nét duy nhất.
Hình chữ nhất với hai đường chéo có 5 đỉnh, gồm bốn đỉnh lẻ và một đỉnh chẵn. Do đó, cần có hai hành trình. Nó không thể được vẽ bằng một nét.
Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch
Phần tiếp theo >>
