1
Hình học và các loại hình học
1. Có bao nhiêu loại hình học?
Chủ yếu gồm ba loại. Nhưng có thể có vài loại.
2. Ba loại vừa nói là ba loại nào?
Hình học Euclid, hình học Lobachewski, và hình học Riemann.
3. Có cái gì đặc biệt khiến chúng khác nhau à?
Vâng. Trong hinh học Euclid, tổng số đo ba góc của một tam giác luôn bằng 180o, nhưng trong hình học Lobachewski nó luôn nhỏ hơn 180o, còn trong hình học Riemann nó luôn lớn hơn 180o.
4. Vậy thì ba loại đó liên tục mâu thuẫn với nhau rồi!
Không, chúng đồng thời tồn tại trong không khí khá hòa bình.
5. Hinh học Euclid là gì?
Hình học dạy ở nhà trường trong đó các hình vẽ và sơ đồ được vẽ trên một tờ giấy hoặc một bảng đen bình thường được gọi là hình học Euclid để tôn vinh nhà toán học Euclid.
Ông sinh sống vào khoảng năm 300 trước Công nguyên ở Syria nhưng có gốc gác Hi Lạp.
6. Euclid đã có đóng góp gì cho Hình học?
Ông đã tổng hợp toàn bộ kiến thức hình học tích lũy cho đến thời đại của ông thành một dạng có hệ thống và logic và biên soạn nó thành 13 tập sách được đặt tên là “Các nguyên tố”.
Ông đã phát triển hình học là một cấu trúc logic.
7. Một cấu trúc logic là gì?
Trong một cấu trúc logic, một vài thuật ngữ và một vài tiền đề không chứng minh được giả định, và toàn bộ phần còn lại được phát triển dựa trên logic.
Những thuật ngữ không định nghĩa được gọi là những khái niệm căn bản, và những tiền đề không chứng minh được gọi là “sự thật nửa-hiển nhiên”, tiên đề, giả thuyết, hay đơn giản là giả thiết.
8. Làm thế nào những thuật ngữ không định nghĩa và những tiền đề không chứng minh lại có chỗ đứng trong một cấu trúc logic?
Trong bất kì một nghiên cứu có hệ thống nào, cái tự nhiên được trông đợi là chúng ta định nghĩa tỉ mỉ toàn bộ những thuật ngữ của chúng ta sao cho chúng ta biết mình đang nói về cái gì. Nhưng mỗi thuật ngữ phải được định nghĩa bằng cái gì đó đã được định nghĩa trước đó, và chính thuật ngữ này lại phải được định nghĩa, và cứ thế; cho nên hành trình đi ngược dòng này phải dừng lại ở đâu đó. Vì thế, có một vài thuật ngữ không định nghĩa được xem là hiển nhiên và với chúng định nghĩa là không cần thiết.
Tương tự, để chứng minh một định lí là đúng, ta cần chỉ ra rằng nó tuân theo một tiền đề nào đó đã được chứng minh trước đó, và chính tiền đề này hóa ra lại cần phải chứng minh, và cứ thế. Hành trình lần ngược này một lần nữa phải dừng lại ở đâu đó nên có một số tiền đề được chấp nhận là đúng và đối với chúng chứng minh là không cần thiết.
9. Phải chăng những tiền đề không chứng minh hay giả thuyết không chịu ràng buộc nào cả?
Chúng chịu hai ràng buộc quan trọng. Thứ nhất là các giả thuyết phải nhất quán. Điều này có nghĩa là các phát biểu mâu thuẫn sẽ không được gợi đến bởi những giả thuyết. Chúng phải không dẫn tới “A là B” và “A không phải là B”.
Thứ hai là các giả thuyết phải hoàn chỉnh. Điều này có nghĩa là mỗi định lí của hệ thống logic phải được suy ra từ các giả thuyết.
10. Có bất kì ràng buộc nào khác nữa không?
Cái hợp lí là các giả thuyết là độc lập. Nghĩa là không có giả thuyết nào được suy luận ra từ giả thuyết khác.
Đây là cái đáng khao khát cho lí giải kinh tế học và cái đẹp nhưng nội hàm của một giả thuyết không độc lập không làm vô hiệu hệ thống. Việc phát hiện một giả thuyết như thế đôi khi chẳng dễ dàng gì.
Và, tất nhiên, các giả thuyết phải đơn giản và không chứa quá nhiều con số; nếu không hệ thống logic được phát triển sẽ không có lợi gì nhiều.
11. Phải chăng các giả thuyết không cần phù hợp với kinh nghiệm hằng ngày?
Các giả thuyết không nhất thiết phù hợp với kinh nghiệm hằng ngày, bởi vì phát triển một cấu trúc trên nền tảng của những giả định mới và chắc chắn chỉ có thể đưa đến những khám phá mới tinh và những tiến bộ quan trọng.
Những giả định cực kì chắc chắn đó đã đưa đến khám phá ra những hình học khác ngoài hình học Euclid trong trường hợp rồi chúng ta sẽ thấy.
12. Các giả thuyết được sử dụng như thế nào và dẫn tới cái gì?
Một vài giả định hoặc quy tắc được nêu ra lúc bắt đầu là bình thường và không thể tránh khỏi nên không thể nào dự đoán hết những hệ quả của chúng. Từ đây, các quy tắc được vạch ra phải ăn khớp và từ đó xâu chuỗi, cứ thế cho đến khi đi tới kết quả cuối cùng, và nó thường là bất ngờ.
Người ta cảm thấy có động lực mạnh mẽ để xét lại chuỗi ý tưởng nhưng như thế chỉ khẳng định lại kết quả cuối cùng mà thôi!
Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
Trần Nghiêm dịch
Phần tiếp theo >>
