Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 22)

51. Đại số là lí thuyết của các phương trình! Giải phương trình có nghĩa là gì?

Xét những bài toán sau đây:

1. Tuổi của A gấp đôi tuổi của B. Hồi 10 năm trước thì tuổi của A gấp bốn lần tuổi của B. Hỏi hiện nay họ bao nhiêu tuổi?
2. Tiền của A nhiều gấp đôi tiền của B. Sau khi mỗi người xài 10 rupee, A nhận thấy tiền của anh gấp bốn lần tiền của B. Hỏi ban đầu mỗi người có bao nhiêu tiền?
3. A đi xa gấp đôi B. Nếu mỗi người đi ít lại 10 dặm, thì A đi xa gấp bốn lần B. Hỏi mỗi người đã đi bao xa?

Thực thể chưa biết như tuổi, tiền và quãng đường đi trong những bài toán này được gán cho tên gọi x và bài toán được phát biểu theo kí hiệu x đó.

Phát biểu như thế này về x thường liên hệ hai biểu thức bởi một dấu bằng, vì thế nó được gọi là phương trình. Phương trình này là đúng đối với giá trị hoặc những giá trị nhất định của biến x, và không đúng với những giá trị khác.

Giải phương trình có nghĩa là xác định những giá trị của biến x để cho phương trình nghiệm đúng. Ví dụ, phương trình 4x = 12 chỉ đúng với x = 3, nên 3 được gọi là nghiệm của phương trình 4x = 12.

52. Những bài toán này được giải như thế nào?

Trong bài toán 1,

Ta gọi tuổi của B là x.

Thì tuổi của A là 2x.

Mười năm trước, tuổi của A phải là (2x – 10).

Và tuổi của B là (x – 10).

Theo bài toán, tuổi của A bằng bốn lần tuổi của B:

(2x – 10) = 4 (x – 10) hay 2x = 30 hay x = 15.

Vậy tuổi của B là 15, và tuổi của A gấp đôi tuổi của B: 30.

Trong bài toán 2, ta giả sử B có x rupee, thì tiền của A là 2x rupee.

Sau khi xài 10 rupee, A còn lại (2x – 10) rupee, B còn lại (x – 10) rupee.

Theo bài toán, tiền của A lúc này bằng bốn lần tiền của B:

(2x – 10) = 4 (x – 10) hay 2x = 30 hay x = 15.

Tiền của B là 15 rupee, và tiền của A gấp đôi của B: 30 rupee.

Trong bài toán 3,

Ta giả sử B đi x dặm, thì A đi 2x dặm.

Nếu mỗi người đi ít lại 10 dặm thì quãng đường A đi được là (2x – 10), và B đi được (x – 10) dặm.

Theo bài toán, quãng đường của A bằng bốn lần quãng đường của B:

(2x – 10) = 4 (x – 10) hay 2x = 30 hay x = 15.

Vậy B đi được 15 dặm và A đi được 15 dặm.

53. Nói phương trình là một mô hình toán học thì có nghĩa là gì?

Ba bài toán ở trên liên quan đến những thực thể rõ ràng khác nhau như tuổi, tiền và quãng đường đi, nhưng cùng một phương trình, tức là (2x – 10) = 4 (x – 10) là phương tiện cần thiết để giải chúng.

Như vậy, phương trình là một mô hình toán học có nhiều điểm chung với bài toán nên nghiệm của nó cũng là nghiệm của bài toán. Như vậy, trong khi chúng ta chỉ giải mô hình, nhưng bài toán cũng đã được giải.

54. Mô hình “có nhiều điểm chung” với bài toán có nghĩa là sao? Có phải mô hình không đại diện hoàn toàn cho bài toán?

Tập hợp số tự nhiên 1, 2, 3,... là ví dụ đơn giản nhất của một mô hình toán học. Nó được sử dụng để đếm các vật khi mà toàn bộ tính chất của các vật đó bị bỏ qua, trừ số lượng của chúng.

Nhưng nếu những yếu tố khác được xét đến, thì chúng có thể dẫn tới những kết luận kì lạ hoặc bất ngờ như câu chuyện dưới đây sẽ làm rõ.

Trong lớp bình dân học vụ ở một ngôi làng nọ, người thầy dạy đang cố gắng giảng giải phép toán trừ như sau:

Thầy: Có 11 con cừu, 7 con nhảy ra khỏi chuồng thì sẽ còn lại mấy con?

Trò: Không còn con nào cả!

Thầy: Vì sao vậy? Nếu 7 con chạy qua bên này rồi thì bên kia còn lại 4 con chứ! Sao lại không còn con nào?

Mấy người học trò vẫn chưa chịu thôi.

Trò: Trời ơi, có lẽ thầy biết làm toán đó. Nhưng thầy không hiểu mấy con con cừu rồi!

55. Thủ tục giải các bài toán đại số là gì?

Để giải các bài toán, chúng được chuyển thành các phương trình. Cách giải các phương trình là chủ để trọng tâm của đại số học, phần tiếp theo sẽ giới thiệu ngắn gọn về chúng.

56. Phương trình bậc nhất là gì?

Một phương trình có dạng ax + b = 0, trong đó x là một thực thể chưa biết, được gọi là một phương trình bậc nhất.

Nó có thể được giải một cách dễ dàng.

Nếu ax + b = 0 thì ax = - b và x = - b/a.

Trong những bài toán đã nêu ở trên, phương trình 2x = 30 là một phương trình bậc nhất.

57. Phương trình bậc hai là gì?

Một phương trình bậc hai thì có dạng ax² + bx + c = 0.

Nó có hai nghiệm, mặc dù đôi khi hai nghiệm đó trùng nhau.

58. Phương trình bậc hai được giải như thế nào?

Công cụ chính để giải phương trình bậc hai là một công thức được suy luận ra như sau:

Trước tiên, chia mỗi số hạng của phương trình cho a. Số hạng c/a được chuyển sang vế bên kia cùng với dấu trừ và sau đó cộng b²/4a² vào cả hai vế, rồi lấy căn bậc hai cả hai vế, tức là

ax² + bx + c = 0

59. Những phương pháp nghiệm này đã được phát triển khi nào?

Người ta tin rằng các phương trình bậc nhất đã được giải bởi người Ai Cập vào khoảng 4000 năm trước. Phương trình bậc hai đã được giải bởi người Hindu vào thời cổ xưa, còn các phương trình tổng quát bậc ba và bậc bốn chỉ mới được giải bởi các nhà đại số học người Italy vào thế kỉ 16.

60. Một phương trình có bao nhiêu nghiệm?

Một phương trình bậc nhất thì có một nghiệm, bậc hai có hai nghiệm, bậc ba có ba nghiệm, và cứ thế số nghiệm theo bậc của phương trình.

Vào giai đoạn đầu của lịch sử toán học, người ta chỉ công nhận nghiệm dương của các phương trình, còn nghiệm âm bị xem là sai.

61. Có phải mọi phương trình đại số đều có nghiệm thực?

Không. Có những phương trình như x² + 1 = 0 không có nghiệm thực nào.

Phương trình x² + 1 = 0 có hai nghiệm là i và – i, trong đó i là kí hiệu của √-1, tức là căn bậc hai của – 1.

Có thể nói rằng mỗi phương trình bậc hai có hai nghiệm, cái cần thiết là công nhận tồn tại số phức – cái đã có thời người ta phủ nhận.

Một con số có dạng a + it được gọi là số phức. Nếu a = 0 thì con số đó đôi khi được gọi là số ảo.

Nhưng phương trình x² – 2 = 0 thì có hai nghiệm thực, √2 và – √2.

Những nghiệm như thế đã gây khó khăn cho các nhà toán học, cho đến khi số vô tỉ được thừa nhận là một tập số.

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch
Phần tiếp theo >>

Bài trước | Bài kế tiếp