Benjamin Crowell
4.2 Khảo sát định lượng sự phản xạ
Trong mục tự chọn này, chúng ta phân tích nguyên nhân tại sao sự phản xạ xảy ra ở ranh giới tốc độ thay đổi, tiên đoán định lượng cường độ phản xạ và truyền qua, và thảo luận cách tiên đoán loại sóng phản xạ nào bị lộn ngược và loại sóng phản xạ nào không bị lộn ngược. Các chi tiết đẫm máu có khả năng gây hứng thú chủ yếu với những học sinh tập trung vào khoa học vật lí, nhưng tất cả độc giả được khuyến khích nên đọc lướt qua ít nhất hai mục nhỏ để có cái nhìn vật lí sâu sắc.
Tại sao xảy ra sự phản xạ
Để tìm hiểu những nguyên nhân cơ bản cho cái thật sự xảy ra tại ranh giới giữa các môi trường, trước hết hãy nói về cái không xảy ra. Nhằm mục đích cụ thể, xét một sóng sin trên một sợi dây. Nếu như sóng tiến triển từ phần nặng hơn của sợi dây, trong đó vận tốc của nó thấp, sang phần trọng lượng nhẹ hơn, trong đó vận tốc của nó cao, thì phương trình v = fl cho chúng ta biết nó phải thay đổi tần số của nó, hoặc bước sóng của nó, hoặc cả hai. Nếu chỉ có tần số thay đổi, thì các phần của sóng trong hai đoạn khác nhau của sợi dây sẽ nhanh chóng mất đồng bộ với nhau, tạo ra một sự gián đoạn trong sóng, hình h/1. Điều này không thực tế, nên chúng ta biết rằng bước sóng phải thay đổi, còn tần số vẫn không đổi, 2.
h/1. Một sự thay đổi tần số mà không thay đổi bước sóng sẽ tạo ra một sự gián đoạn trong sóng. 2. Một sự thay đổi đơn giản ở bước sóng mà không có sự phản xạ sẽ mang lại một nút thắt nhọn ở trong sóng.
Nhưng vẫn có một số thứ không hợp lí về hình 2. Sự thay đổi đột ngột hình dạng của sóng mang lại một nút thắt sắc nhọn tại ranh giới. Điều này thật sự không thể xảy ra, vì môi trường có xu hướng gia tốc theo một kiểu loại trừ sự cong. Một nút thắt nhọn tương ứng với một độ cong vô hạn tại một điểm, nó sẽ tạo ra một gia tốc vô hạn, không phù hợp với kiểu bằng phẳng của chuyển động sóng nhìn thấy trong hình 2. Các sóng có thể có nút thắt, nhưng không phải nút thắt tĩnh tại.
Chúng ta kết luận là nếu không thừa nhận sự phản xạ một phần của sóng, thì chúng ta không thể thỏa mãn đồng thời các yêu cầu của (1) tính liên tục của sóng, và (2) không có sự thay đổi đột ngột độ dốc của sóng. (Học sinh đã học giải tích sẽ nhận ra yêu cầu này gắn liền với giả sử rằng cả sóng và đạo hàm của nó đều là những hàm liên tục)
Có phải điều này gắn liền với bằng chứng rằng sự phản xạ xảy ra ? Không hẳn như vậy. Chúng ta chỉ mới chứng minh rằng những loại chuyển động sóng nhất định không phải là đáp án hợp lí. Trong mục nhỏ sau đây, chúng ta chứng minh một đán áp hợp lí có thể luôn luôn tìm thấy trong đó sự phản xạ xảy ra. Ngày nay, trong vật lí, chúng ta thường giả sử (nhưng ít khi chứng minh chính thức) rằng các phương trình chuyển động có một nghiệm duy nhất, vì nếu không thì một tập hợp những điều kiện ban đầu cho trước có thể dẫn đến hành trạng khác sau này, nhưng vũ trụ Newton được cho là có tính tất định. Vì đáp án phải là duy nhất, và chúng ta nhận được bên dưới một đáp án hợp lí bao hàm một xung phản xạ, nên chúng ta sẽ đi tới cái gắn liền với bằng chứng của sự phản xạ.
i/ Một xung bị phản xạ một phần và truyền qua một phần tại ranh giới giữa hai sợi dây trong đó tốc độ sóng là khác nhau. Hình ở trên cho thấy xung sóng chạy sang bên phải, hướng về sợi dây nặng hơn. Để cho dễ nhìn, tất cả trừ hình đầu tiên và hình cuối cùng đều vẽ phác thảo giản lược. Một khi xung phản xạ bắt đầu đi ra khỏi ranh giới, nó cộng vào với phần đuôi của xung tới. Tổng của chúng, vẽ bằng đường dày hơn, là cái thật sự được quan sát thấy.
Cường độ phản xạ
Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra, trong trường hợp sóng trên một sợi dây, rằng có khả năng thỏa mãn những điều kiện vật lí cho ở trênbc xây dựng một sóng phản xạ, và giống như một phần thưởng, điều này sẽ mang lại một phương trình cho tỉ lệ phản xạ và truyền qua và một tiên đoán xem những điều kiện nào sẽ dẫn đến sự phản xạ lộn ngược và điều kiện nào dẫn đến sự phản xạ không lộn ngược. Chúng ta chỉ giả sử rằng nguyên lí chồng chất phát huy tác dụng, nó là sự gần đúng tốt cho các sóng trên một sợi dây có biên độ đủ nhỏ.
Đặt các biên độ chưa biết của sóng phản xạ và truyền qua tương ứng là R và T. Một sự phản xạ lộn ngược sẽ được biểu diễn bằng một giá trị âm của R. Chúng ta có thể không mất công xét chung chung sóng tới (ban đầu) phải có biên độ đơn vị. Sự chồng chất cho chúng ta biết rằng nếu, chẳng hạn, sóng tới tăng gấp đôi biên độ này, thì chúng ta có thể tức thì tìm thấy đáp án tương ứng dễ dàng bằng cách gấp đôi R và T.
Ngay bên trái ranh giới, chiều cao của sóng được cho bởi chiều cao 1 của sóng tới, cộng với chiều cao R của phần sóng phản xạ vừa mới được tạo ra và bắt đầu đi trở lại, cho độ cao tổng là 1 + R. Ở phía bên phải ngay liền kề ranh giới, sóng truyền qua có chiều cao T. Để tránh gián đoạn, chúng ta phải có
1 + R = T
Tiếp theo, chúng ta chuyển sang yêu cầu các độ dốc bằng nhau ở cả hai phía của ranh giới. Gọi độ dốc của sóng tới là s ngay phía bên trái của tiếp giáp. Nếu sóng bị phản xạ 100%, và không bị lộn ngược, thì độ dốc của sóng phản xạ sẽ là – s, vì sóng bị đảo chiều. Nói chung, độ dốc của sóng phản xạ bằng – sR, và độ dốc của các sóng chồng lấn ở phía bên trái cộng lên tới s – sR. Ở phía bên phải, độ dốc phụ thuộc vào biên độ, T, nhưng còn bị thay đổi bởi sự kéo căng hay nén lại của sóng do sự thay đổi tốc độ. Nếu, ví dụ, tốc độ sóng lớn gấp đôi ở phía bên phải, thì độ dốc bị giảm đi một nửa theo kết quả này. Độ dốc ở phía bên phải do đó là s(v1/v2)T, trong đó v1 là vận tốc sóng trong môi trường ban đầu, và v2 là vận tốc sóng trong môi trường mới. Cân bằng độ dốc cho ta s – sR = s(v1/v2)T, hay
Phương trình thứ nhất cho thấy không có sự phản xạ trừ khi hai tốc độ sóng là khác nhau, và sóng phản xạ bị lộn ngược trong sự phản xạ trở lại môi trường nhanh.
Năng lượng của sóng truyền qua và sóng phản xạ luôn luôn bằng với năng lượng của sóng ban đầu. Không bao giờ có bất kì sự thất thoát (hay thu thêm) đột ngột nào ở năng lượng khi sóng đi qua một ranh giới. (Sự chuyển hóa năng lượng sóng thành nhiệt xảy ra đối với nhiều loại sóng, nhưng nó xảy ra trong môi trường) Phương trình cho T, thật bất ngờ, cho phép biên độ của sóng truyền qua lớn hơn 1, tức là lớn hơn biên độ của sóng tới. Điều này không vi phạm sự bảo toàn năng lượng, vì điều này xảy ra khi mà sợi dây thứ hai nhẹ hơn, làm giảm động năng của nó, và xung truyền qua rộng hơn và ít bị cong hơn, làm giảm thế năng của nó.
Sự phản xạ lộn ngược và không lộn ngược nói chung
Đối với sóng trên một sợi dây, sự phản xạ trở vào môi trường nhanh hơn là bị lộn ngược, còn phản xạ vào môi trường chậm hơn thì không bị lộn ngược. Điều này có đúng đối với mọi loại sóng hay không ? Câu trả lời khá tinh vi là nó phụ thuộc vào tính chất gì của sóng mà ban đang nói tới.
Hãy bắt đầu bằng cách xét các nhiễu loạn sóng của xe cộ trên đường cao tốc. Bất kì ai thường xuyên lái xe trên những con đường cao tốc đông đúc đã từng chứng kiến hiện tượng trong đó một người tài xế đạp phanh, bắt đầu một chuỗi phản ứng truyền ngược ra phía sau đường cao tốc khi từng người tập trung chú ý để tránh chạm trúng xe đằng trước. Lí do vì sao loại sóng này được nói tới là vì nó mang lại một ví dụ đơn giản, dễ hình dung về sự mô tả của chúng ta về một sóng tùy thuộc vào khía cạnh nào của sóng mà chúng ta có trong đầu. Trong luồng xe cộ nối đuôi nhau đều đặn trên đường cao tốc, cả mật độ xe và vận tốc của chúng đều không đổi dọc theo con đường. Vì không có sự nhiễu loạn nào trong kiểu vận tốc và mật độ không đổi này, nên chúng ta nói không có sóng nào hết. Bây giờ nếu một sóng được gây ra bởi một người đạp phanh, thì chúng ta có thể mô tả hoặc là một vùng mật độ cao hoặc là một vùng vận tốc giảm.
Làn sóng luồng xe cộ trên đường cao tốc thật ra là một ví dụ tốt của sóng âm, và một sóng âm có thể được mô tả tương tự hoặc bởi mật độ (hay áp suất) của không khí, hoặc bởi tốc độ của nó. Tương tự như vậy, nhiều loại sóng khác có thể mô tả bởi một trong hai hàm, một trong đó thường là đạo hàm của hàm kia lấy theo tọa độ.
Bây giờ hãy xét sự phản xạ. Nếu chúng ta thấy làn sóng đường cao tốc trong một cái gương, thì vùng mật độ cao vẫn sẽ trình hiện là mật độ cao, nhưng vận tốc theo hướng ngược lại bây giờ sẽ được mô tả bằng một số âm. Một người đang quan sát ảnh trong gương sẽ vẽ đồ thị mật độ giống hệt, nhưng đồ thị vận tốc sẽ bị đảo qua trục x, và vùng ban đầu có độ dốc âm của nó bây giờ sẽ có độ dốc dương. Mặc dù tôi không biết bất kì tình huống nào tương ứng với sự phản xạ của làn sóng giao thông, nhưng chúng ta có thể áp dụng trực tiếp cách lí giải tương tự cho sóng âm, và xác định sự phản xạ có thể là đảo ngược mật độ và không đảo ngược vận tốc, hoặc không đảo ngược mật độ và đảo ngược vận tốc.
Cũng loại tình huống này sẽ xảy ra mãi mãi khi người ta gặp phải những loại sóng mới, và áp dụng sự tương tự chúng ta chỉ cần xác định những đại lượng nào, như vận tốc, trở nên bị đảo dấu trong một ảnh qua gương và đại lượng nào, như mật độ, giữ nguyên không đổi.
j/ Một nhiễu loạn trên đường giao thông cao tốc.
Sóng ánh sáng, chẳng hạn, gồm một kiểu điện trường và từ trường đang lan truyền. Mọi thứ bạn phải biết để phân tích sự phản xạ của sóng ánh sáng là điện trường và từ trường hành xử như thế nào dưới sự phản xạ; bạn không cần phải biết cơ sở vật lí cụ thể của điện và từ học. Một điện trường có thể được phát hiện, ví dụ, bởi cách thức tóc của một người dựng ngược lên. Hướng của sợi tóc chỉ hướng của điện trường. Trong ảnh qua gương, sợi tóc chỉ theo hướng kia, nên điện trường rõ ràng bị đảo ngược trong ảnh qua gương. Tuy vậy, hành trạng của từ trường thì khá tinh vi. Tính chất từ của một thanh nam châm, chẳng hạn, gây ra bởi sự quay thẳng hàng của các electron quỹ đạo lớp ngoài cùng của các nguyên tử. Trong ảnh qua gương, hướng chuyển động quay bị đảo ngược, ví dụ từ chiều thuận sang chiều ngược chiều kim đồng hồ, và vì thế từ trường bị đảo ngược hai lần: một lần đơn giản do toàn bộ hình ảnh bị lật ngược, và một lần do chuyển động ngược lại của các electron. Nói cách khác, từ trường tự chúng không đảo ngược lại trong ảnh qua gương. Như vậy, chúng ta có thể tiên đoán sẽ có hai loại phản xạ có thể có của sóng ánh sáng. Trong một loại, điện trường bị đảo ngược và từ trường không bị đảo ngược. Trong loại kia, điện trường không bị đảo ngược, và từ trường bị đảo ngược.
Còn tiếp...
