Bài giảng Dao động và Sóng (Phần 2)

Benjamin Crowell

1.2 Chuyển động điều hòa đơn giản

Tại sao các dao động dạng sin lại quá phổ biến ?

Nếu chúng ta thật sự xây dựng hệ lò xo – vật nặng đã nói trong phần trước và đo chuyển động của nó một cách chính xác, chúng ta sẽ thấy đồ thị x – t của nó gần như là một dạng sóng sin hoàn hảo, như thể hiện trên hình e/1. (Chúng ta gọi nó là sóng sin hay “hàm sin” ngay cả khi nó là cosin, vì sin hay cosin lệch nhau một lượng có phần độc đoán theo phương ngang) Có thể không có gì ngạc nhiên trước sự uốn lượn của hàm tổng quát kiểu này, nhưng tại sao nó lại hoàn hảo đặc biệt về mặt toán học như vậy ? Tại sao nó không có hình răng cưa như 2 hay một số hình dạng khác như 3 ? Bí ẩn sâu sắc thêm khi chúng ta thấy một lượng lớn các hệ dao động rõ ràng không có liên quan biểu hiện cùng đặc điểm toán học đó. Một cái âm thoa, một cái cây kéo ở một đầu và buông ra, một chiếc xe hơi nảy trên bộ chống sốc của nó, tất cả những hệ này sẽ biểu hiện chuyển động dạng sóng sin dưới một điều kiện: biên độ của chuyển động phải nhỏ.

Thật chẳng khó khăn gì việc thấy qua trực giác tại sao hai đầu của biên độ tác dụng khác nhau. Ví dụ, một chiếc xe nảy nhẹ trên bộ chống sốc của nó có thể chạy nhẹ nhàng, nhưng nếu chúng ta gấp đôi biên độ của các dao động, thì đáy xe có thể bắt đầu chạm đất, e/4. (Mặc dù chúng ta đang giả sử cho đơn giản trong chương này rằng năng lượng không bao giờ bị tiêu hao, nhưng đây rõ ràng không phải là một giả định thực tế cho lắm trong ví dụ này. Mỗi lần chiếc xe đụng đất, nó sẽ chuyển một chút động năng và thế năng của nó thành nhiệt và âm thanh, nên các dao động thật ra sẽ tắt đi khá nhanh, chứ không lặp lại nhiều chu trình như biểu diễn trên hình)

Chìa khóa để hiểu được một vật dao động như thế nào là biết lực tác dụng lên vật phụ thuộc như thế nào vào vị trí của vật. Nếu một vật đang dao động sang trái và phải, thì nó có một lực hướng sang trái khi nó ở phía bên phải, và một lực hướng sang phải khi nó ở phía bên trái. Trong không gian một chiều, chúng ta có thể biểu diễn hướng của lực bằng một dấu dương hoặc âm, và vì lực thay đổi từ dương sang âm cho nên phải có một điểm ở chính giữa tại đó lực bằng không. Đây là điểm cân bằng, nơi vật sẽ vẫn ở yên nếu nó được buông ra lúc nghỉ. Cho tiện kí hiệu suốt chương này, chúng ta sẽ định nghĩa gốc của hệ tọa độ của chúng ta sao cho x bằng không tại vị trí cân bằng.

Ví dụ đơn giản nhất là vật nặng gắn với lò xo, trong đó lực tác dụng lên vật nặng cho bởi định luật Hooke

F = - kx

Chúng ta có thể hình dung hành trạng của lực này bằng đồ thị F theo t, như biểu diễn trên hinh f. Đồ thị là một đường thẳng, và hằng số lò xo k bằng với trừ độ dốc của nó. Lò xo cứng hơn có giá trị k lớn hơn và độ dốc nghiêng hơn. Định luật Hooke chỉ là một sự gần đúng, nhưng nó hoạt động rất tốt đối với đa số lò xo trong cuộc sống thực tế, đồng thời lò xo không bị nén hay bị kéo căng quá nhiều đến mức nó bị bẻ cong hay hỏng vĩnh viễn.

Định lí quan trọng sau đây, có bằng chứng cho trong mục tự chọn 1.3, liên hệ đồ thị chuyển động với đồ thị lực:

Định lí: Một đồ thị lực là đường thẳng gây ra một đồ thị chuyển động dạng sin.

Nếu hợp lực tác dụng lên một vật đang dao động chỉ phụ thuộc vào vị trí của vật, và liên hệ với độ dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng bởi một phương trình có dạng F = - kx, thì chuyển động của vật biểu hiện một đồ thị dạng sin với chu kì

Cho dù bạn không đọc phần chứng minh, thật chẳng quá khó việc hiểu tại sao phương trình cho chu kì là có ý nghĩa. Một khối lượng lớn hơn gây ra chu kì lớn hơn, vì lực đó sẽ không thể nào quật cho vật nặng tới lui rất nhanh. Một giá trị lớn hơn của k gây ra chu kì ngắn hơn, vì lực mạnh hơn có thể quật cho vật tới lui nhanh hơn.

Điều này có vẻ trông như chỉ là một định lí mơ hồ về hệ lò xo – vật nặng, nhưng hình g cho thấy nó còn tổng quát hơn như thế. Hình g/1 mô tả một đường cong lực không phải là đường thẳng. Một hệ với đường cong lực F-x kiểu này sẽ có các dao động biên độ lớn thật phức tạp và không có dạng sin. Nhưng cũng hệ đó sẽ biểu hiện các dao động biên độ nhỏ dạng sin. Đây là vì mọi đường cong đều trông như đường thẳng khi nhìn thật cận cảnh. Nếu chúng ta phóng to đồ thị F-x như thể hiện trong hình g/2, thật trở nên khó mà nói rằng đồ thị đó không phải là đường thẳng. Nếu các dao động bị giới hạn trong vùng trình bày trong hình g/2, thì chúng sẽ rất gần dạng sin. Đây là lí do vì sao các dao động dạng sin là một đặc điểm phổ biến của mọi hệ dao động, nếu chúng ta tự hạn chế mình với những biên độ nhỏ. Vì thế, định lí đó có tầm quan trọng khái quát to lớn. Nó áp dụng cho toàn vũ trụ, cho các vật đa dạng từ các sao đang dao động tới các hạt nhân đang dao động. Một dao động dạng sin được gọi là một chuyển động điều hòa đơn giản. Chu kì gần đúng độc lập với biên độ, nếu biên độ nhỏ

Cho tới lúc này, chúng ta chưa hề đề cập đến khía cạnh phản trực giác nhất của phương trình

rốt cuộc nó không phụ thuộc vào biên độ. Theo trực giác, đa số mọi người sẽ trông đợi hệ lò xo – vật nặng mất nhiều thời gian hơn để hoàn thành một chu trình nếu như biên độ lớn hơn. (Chúng ta đang so sánh các biên độ khác nhau, nhưng cả hai vẫn đủ nhỏ để áp dụng định lí trên) Thật ra, các dao động biên độ lớn hơn mất cùng lượng thời gian như các dao động biên độ nhỏ. Đây là vì ở những biên độ lớn, lực lớn hơn, và do đó làm gia tốc vật đến tốc độ cao hơn.

Tương truyền thực tế này lần đầu tiên được chú ý tới bởi Galileo trong cái rõ ràng là một việc làm tín ngưỡng kém mang tính mê hoặc hơn. Một con gió mạnh sẽ bây giờ và sau đó khởi động một trong những ngọn đèn treo trong thánh đường đung đưa tới lui, và ông lưu ý thấy bất kể biên độ của dao động, chu kì của dao động dường như là bằng nhau.Tính đến thời điểm đó, ông đã tiến hành các thí nghiệm vật lí của mình với những kĩ thuật đo thời gian thô sơ như cảm giác xung nhịp của riêng ông hay hát một giai điệu để giữ phách nhạc. Nhưng sau khi về nhà và kiểm tra một con lắc, ông tự thuyết phục mình rằng ông đã tìm ra một phương pháp đo thời gian ưu việt hơn. Ngay cả không có hệ ròng rọc khác thường để giữ cho dao động của con lắc khỏi tắt dần, ông vẫn có thể thu được những phép đo thời gian rất chính xác, vì sự giảm đều đặn biên độ do ma sát không có ảnh hưởng lên chu kì của con lắc. (Galileo chưa bao giờ chế tạo được một đồng hồ quả lắc kiểu hiện đại với các ròng rọc, một kim phút và một kim giây, nhưng trong một thế hệ dụng cụ đó đã nhận lấy hình thể tồn tại hàng trăm năm sau này)

Ví dụ 4. Con lắc

So sánh chu kì của những con lắc có quả lắc khối lượng khác nhau.

Từ phương trình

chúng ta có thể trông đợi khối lượng lớn sẽ mang lại chu kì lớn. Tuy nhiên, sự tăng khối lượng cũng làm tăng lực tác dụng lên quả lắc: trọng lực và lực căng dây. Việc này làm tăng k cũng như m, nên chu kì của con lắc độc lập với m.

h/ Vật chuyển động theo vòng tròn ở tốc độ không đổi, nhưng cho dù tốc độ chung của nó là không đổi, nhưng các thành phân x và y của vận tốc của nó liên tục thay đổi, như thể hiện bởi những khoảng không bằng nhau của các điểm khi chiếu lên đường thẳng bên dưới. Chiếu lên đường thẳng đó, chuyển động của nó giống như chuyển động của một vật chịu một lực F = - kx.

Vì mọi thứ là không đổi trong phương trình này ngoại trừ x, nên chúng ta chứng minh được rằng chuyển động với lực tỉ lệ với x là giống như chuyển động tròn chiếu lên một đường thẳng, và do đó một lực tỉ lệ với x cho chuyển động dạng sin.  Cuối cùng, chúng ta nhận ra hệ số 4p²m/T² với k, và giải với T cho ta phương trình mong muốn cho chu kì

Vì phương trình này độc lập với r, nên T độc lập với biên độ, lệ thuộc vào giả định ban đầu về
F = - kx hoàn hảo, trong thực tế nó chỉ gần đúng đối với x nhỏ.

Ví dụ 5. Các vệ tinh của Mộc tinh

Ý tưởng đằng sau phép chứng minh này được minh họa thích hợp bởi các vệ tinh của Mộc tinh. Việc Galileo khám phá ra chúng là một sự kiện huyền thoại trong thiên văn học, vì nó chứng minh rằng không phải mọi thứ trong vũ trụ phải quay xung quanh Trái đất như người ta đã tin. Kính thiên văn của Galileo có chất lượng thật tồi so với các tiêu chuẩn hiện đại, nhưng hình i thể hiện một sự mô phỏng cách thức Mộc tinh và các vệ tinh của nó có thể xuất hiện tại những khoảng thời gian ba giờ qua một thiết bị lớn ngày nay. Vì chúng ta nhìn quỹ đạo tròn của các vệ tinh từ phía ngang, nên chúng dường như thực hiện những dao động hình sin. Trong khoảng thời gian này, vệ tinh trong cùng nhất, Io, đã hoàn thành nửa chu kì.

Còn tiếp...

Xem lại Phần 1