73. Hình học giải tích là gì?
Lĩnh vực nghiên cứu các đường cong và các mặt với sự hỗ trợ của toán học giải tích được gọi là hình học giải tích.
Hình học giải tích nghiên cứu những bài toán đa dạng vượt ra ngoài phép tính độ dốc và độ cong.
Nó cũng nghiên cứu bài toán rất quan trọng của trắc đạc, tức là bài toán xác định khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm trên một bề mặt.
74. Hệ tọa độ ba chiều là gì?
Nếu ta bổ sung thêm một trục Oz vuông góc với trục Ox và Oy, tức là vuông góc với mặt phẳng trang giấy và đo các khoảng cách song song với Ox, Oy và Oz theo trật tự đó, thì một điểm P trong không gian có thể được xác định bởi bộ ba số thực xếp theo trật tự (x1, y1, z1).
Ngược lại, một bộ ba số thực bất kì xếp theo trật tự xác định duy nhất một điểm trong không gian. (x1, y1, z1) được gọi là các tọa độ của điểm P.
Hình học tọa độ ba chiều nghiên cứu các điểm trong không gian hay, tương đương, những bộ ba số trật tự.
75. Hình học n chiều là gì?
Cayley và nhà toán học người Đức Grassmann, độc lập nhau, đã khái quát hóa hình học tọa độ hai chiều.
Trong hình học tọa độ hai chiều, một điểm được xác định bởi hai tọa độ và khoảng cách giữa hai điểm có tọa độ (x1, y1) và (x2, y2) được cho bởi
Theo định lí Pythagoras: PQ2 = PM2 + MQ2
Hay PQ2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
Biểu thức này có thể được khái quát hóa, và trong hình học tọa độ bốn chiều, khoảng giữa hai điểm có tọa độ (x1, y1, z1, t1) và (x2, y2, z2, t2) được cho bởi
Ta có thể tiếp tục khái quát hóa cho hình học tọa độ n chiều, khoảng giữa hai điểm có tọa độ (x1, x2, x3, x4,..., xn) và (y1, y2, y3, y4,..., yn) được cho bởi
Mỗi khái niệm trong hình học hai chiều có thể khái quát hóa thành một khái niệm tương đương n chiều. Vì không gian mà chúng ta đang sống trong đó là ba chiều, nên trực quan hình học không thể cảm nhận vượt quá ba chiều, nhưng sự tương tự là rất có ích.
76. Hình học tọa độ bốn chiều có ứng dụng gì?
Hình học tọa độ bốn chiều có công dụng lớn đối với các nhà vật lí.
Giống hệt như một điểm trong một mặt phẳng hoàn toàn được xác định bởi hai con số gọi là tọa độ và một điểm trong không gian được xác định bởi ba tọa độ, một sự kiện được xác định bởi ba tọa độ cho biết vị trí trong không gian và tọa độ thứ tư cho biết thời điểm xảy ra.
Khoảng cách giữa hai sự kiện, tức là khoảng cách không-thời gian, như nó thường được gọi, được cho bởi
Hình học này đã được khai thác làm một công cụ thiết yếu trong phát triển của thuyết tương đối và trong nghiên cứu không gian, thời gian và lực hấp dẫn.
77. Khái niệm không gian trong toán học là gì?
Thuật ngữ không gian có hai ý nghĩa.
Hiểu theo một nghĩa nó là không gian thật sự bình thường, tức là không gian trải nghiệm của chúng ta.
Hiểu theo nghĩa khác, thì nó là “không gian trừu tượng”, tức là xét một tập hợp những đối tượng đồng nhất trong đó các liên hệ dạng không gian là đúng. Ví dụ, “khoảng cách” giữa hai vật có thể được xác định trong không gian này.
Trong toán học, người ta thường hiểu theo hàm nghĩa thứ hai.
78. Điểm là gì?
Khái niệm điểm trong hình học tọa độ hai chiều là nguyên tố không gian có vị trí có thể được cố định bởi hai khoảng cách. Do đó, không gian hai chiều có thể được xem là một tập hợp gồm tất cả những nguyên tố đó có vị trí có thể được cố định bởi hai chiều dài.
Tương tự, không gian ba chiều có thể được xem là một tập hợp gồm tất cả những nguyên tố có vị trí có thể được cố định bởi ba chiều dài.
Với ba tọa độ là đã đạt tới giới hạn của nhận thức trực quan vì người ta không thể nào hình dung ra trong không gian thật vị trí của một điểm với bốn hoặc nhiều tọa độ.
79. Làm sao nhận thức được không gian n chiều?
Thay vì gán ba chiều dài để cố định vị trí của một điểm trong không gian ba chiều, ta hãy nói rằng ta gán ba con số để cố định điểm đó. Khi này, điểm đó là một bộ ba trật tự đơn thuần và không cần thiết xem nó nằm trong một không gian thật sự nơi mắt chúng ta có thể nhìn vào.
Một khi dẹp bỏ được cái bản năng hình dung thị giác phiền toái kia và một điểm được nhận định là một bộ ba con số, thì ta chẳng có gì ngần ngại để thay con số 3 bằng số tổng quát n. Và chúng ta có một “không gian” n chiều, trong đó n có thể nhận giá trị lớn hơn 3.
Khi đó, một “điểm” tốt hơn nên được gọi là một “nguyên tố” và “không gian” là “đa diện”.
80. Đa diện có là một khái niệm tổng quát hơn không?
Tên gọi “đa diện” mang tính khái quát hơn và chính xác hơn thuật ngữ “không gian”.
Một đa diện đại khái giống như một lớp.
Một mặt phẳng là một lớp gồm tất cả những điểm được xác định duy nhất bởi hai tọa độ, và do đó nó là một đa diện hai chiều.
Tương tự, không gian của hình học tọa độ ba chiều có thể được xem là đa diện ba chiều vì ba tọa độ là cần thiết để cố định những điểm nằm trong đó.
Nếu cần n con số hay tọa độ để cố định mỗi nguyên tố của một đa diện, dù nó là không gian hay một lớp bất kì nào khác, thì nó được gọi là một đa diện n chiều.
Đa diện được cho là không có thuộc tính, ngoại trừ việc nó là một lớp.
81. Chúng ta có những đa diện khác nữa không?
Chúng ta có nhiều loại đa diện chẳng có liên quan gì đến không gian hay hình học. Một đa diện ba chiều sẽ là một lớp nguyên tố, mỗi nguyên tố trong đó sẽ cần đúng ba con số để xác định nó.
Một nhóm người có thể được xem là một đa diện – và một đa diện ba chiều, với ba con số x1, x2, x3 biểu diễn tuổi tác, chiều cao và cân nặng, là cần và đủ để phân biệt họ.
Cũng nhóm người đó có thể được xem là một đa diện bốn chiều, nếu bốn con số x1, x2, x3, x4 biểu diễn tuổi tác, chiều cao, cân nặng, và số nhà được sử dụng. Nhóm người đó trở thành một đa diện năm chiều nếu bổ sung thêm một con số x5 biểu diễn thu nhập.
Chúng ta cũng có thể nghĩ tới một đa diện bốn chiều gồm các hạt chất khí, sử dụng ba chiều để cố định vị trí của chúng và một chiều cố định mật độ của chúng.
82. Ưu điểm của biểu diễn như thế là gì?
Giả sử chúng ta muốn minh họa sự phụ thuộc của áp suất chất khí vào thể tích của nó.
Ta làm việc này bằng cách dựng hai trục trong một mặt phẳng, dùng một trục biểu diễn thể tích, còn trục kia là áp suất. Đường cong thu được sẽ là một hyperbol cho một chất khí lí tưởng ở nhiệt độ không đổi.
Nếu chúng ta có một hệ phức tạp hơn có trạng thái được cho không phải bởi hai thuộc tính mà nói ví dụ năm thuộc tính, thì đồ thị biểu diễn hành trạng của nó liên quan đến một không gian năm chiều, tức là trạng thái của hệ này có thể được xem là một điểm trong một không gian năm chiều nào đó.
Tương tự, nếu trạng thái của một hệ được cho bởi n thuộc tính, hay n biến, thì trạng thái của nó có thể được xem là một điểm trong một không gian n chiều nào đó.
Ưu điểm của cách biểu diễn như thế là việc nghiên cứu một hệ được thực hiện bằng cách áp dụng và mở rộng các tương đương hình học và các khái niệm quen thuộc.
Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
Trần Nghiêm dịch
Phần tiếp theo >>
