83. Có phải không gian thực tế của chúng ta nằm trong một không gian bốn chiều?
Khái niệm chiều thứ tư chỉ là một khái niệm trừu tượng được sáng tạo ra để mô tả theo ngôn ngữ hình học những ý tưởng không thể mô tả được bằng những biểu diễn hình học bình thường.
Nó được phát triển để đáp ứng yêu cầu của các hệ phụ thuộc vào vài ba biến số. Nhưng nó được dự tính chỉ là một phương pháp toán học mô hình hóa các hiện tượng vật lí và không liên quan gì với bản chất của không gian thực tế, chỉ có trong tiểu thuyết khoa học mới thường mô tả chiều không gian thứ tư.
Quan điểm cho rằng không gian ba chiều của chúng ta dìm trong một không gian bốn chiều thực sự là chất liệu của tư duy thần bí và chỉ là một sự xuyên tạc của những khái niệm khoa học.
84. Có thể áp dụng các khái niệm hình học cho đại số hay không?
Những bài toán đại số liên quan đến hai hay ba biến thường có cách hiểu hình học. Điều này có nghĩa là nếu một bài toán có một nghiệm đơn giản hoặc rõ ràng từ góc độ hình học, thì nghiệm đó cũng có ý nghĩa cho bài toán xét về phương diện đại số.
Một ví dụ sẽ làm sáng tỏ vấn đề.
Giả sử chúng ta muốn biết những nghiệm nguyên của bất đẳng thức
x2 + y2 < N
Về mặt hình học, bất đẳng thức x2 + y2 < N biểu diễn phần bên trong của vòng tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng √N , và bài toán được đơn giản thành như sau:
Có bao nhiêu điểm với tọa độ nguyên nằm bên trong vòng tròn bán kính √N?
Những điểm như thế là đỉnh của những hình vuông có cạnh bằng đơn vị chiều dài bên trong hình tròn. Số lượng điểm như thế nằm bên trong vòng tròn xấp xỉ bằng số lượng hình vuông nằm bên trong hình tròn, bằng diện tích của hình tròn bán kính .
Do đó, số lượng nghiệm nguyên của bất đẳng thức trên là khoảng πN.
Sai số ở kết quả tiến về không đối với những giá trị lớn của N.
Rõ ràng đáp số mặc dù hiển nhiên về mặt hình học nhưng không hiển nhiên từ phương diện đại số.
85. Kết quả trên có cái tương đương trong không gian cao chiều hơn hay không?
Bài toán tương ứng theo ba biến có thể được giải tương tự, nhưng nếu số lượng biến tăng vượt quá ba, thì phương pháp trên không còn áp dụng được.
Tuy nhiên, kết quả trên có thể được khái quát hóa cho bất kì số lượng biến nào để bài toán tương ứng theo n biến có một nghiệm trong đại số, mặc dù cách hiểu hình học không còn khả dụng vì không gian thực của chúng ta chỉ có ba chiều.
86. Hình học của không gian màu là gì?
Không gian được xem là một tập hợp của các điểm. Nhưng nếu các “điểm” là các vật, các sự kiện hay các trạng thái, thì tập hợp này có thể được xem là một “không gian” thuộc loại riêng của nó.
Khi đó, các khái niệm điểm, đường thẳng, khoảng cách,... được sử dụng với một ý nghĩa đã biến cải nhiều.
Một ví dụ của không gian như thế là không gian màu.
87. Không gian này tương ứng với hình học như thế nào?
Thị giác bình thường của con người có căn nguyên là ba màu. Sự cảm nhận một màu C là kết hợp của ba cảm nhận cơ bản: đỏ R, lục G và lam B với cường độ khác nhau, cho nên ta có
C = xR + yG + zB
trong đó x, y, z là kí hiệu cường độ, tính theo những đơn vị nhất định.
Một điểm có thể di chuyển trong không gian sang trái sang phải, ra trước ra sau, lên trên xuống dưới, cho nên sự cảm nhận màu sắc có thể biến thiên liên tục theo ba chiều bằng cách thay đổi các thành phần R, G và B của nó.
Tập hợp gồm tất cả những màu có thể có, do đó, được xem là không gian màu ba chiều.
Vì các cường độ không thể âm, nên x, y và z luôn luôn dương. Khi x = 0, y = 0, z = 0, ta không có màu gì hết (màu sắc vắng mặt hoàn toàn).
88. Điểm, đoạn và khoảng cách được định nghĩa như thế nào trong không gian này?
Ở đây, một “điểm” là một màu, “đoạn” AB là tập hợp thu được bằng cách trộn các màu A và B. “Khoảng cách” giữa hai màu được định nghĩa là độ dài của đường ngắn nhất nối giữa chúng. Phép đo chiều dài và khoảng cách trong không gian màu, do đó, được định nghĩa bởi một hình học phi Euclid nhất định.
89. Hình học của không gian màu có ứng dụng gì hay không?
Hình học của không gian màu cung cấp một cơ sở toán học chính xác để giải những bài toán về chất nhuộm trong ngành công nghiệp dệt, giúp phân biệt các tín hiệu màu, và những lĩnh vực có liên quan.
90. Hình học hữu hạn là gì?
Khái niệm không gian của chúng tôi là một tập hợp gồm các điểm hay các nguyên tố, chúng có số lượng vô hạn. Nhưng chúng ta còn có hình học của chỉ một số hữu hạn các điểm, ví dụ như 25 chẳng hạn.
Các tên gọi điểm, đường thẳng, khoảng cách, song song,... được sử dụng với ý nghĩa thích hợp cho hệ đang nghiên cứu.
Một hình học hữu hạn như thế áp dụng cho những bài toán nhất định, và đại số và lí thuyết số; và nó còn có ích trong lí thuyết mật mã và trong xây dựng các thiết kế thực nghiệm.
Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch
Phần tiếp theo >>
