Mục tiêu:
- So sánh và trình bày những hệ dao động tắt dần chậm và tắt dần nhanh
- Giải thích hệ tắt dần tới hạn
Hình 1. Để bù cho những lực đang tắt dần, người cha này cần phải liên tục đẩy cái xích đu
Một sợi dây đàn ghita ngừng dao động vài giây sau khi gảy. Để giữ một đứa trẻ vui vẻ trên cái xích đu, bạn phải tiếp tục đẩy. Mặc dù chúng ta thường có thể xem lực ma sát và những lực không thế khác là nhỏ không đáng kể, nhưng chuyển động hoàn toàn không tắt dần là hiếm gặp. Thật vậy, chúng ta còn có thể muốn làm tắt dần các dao động, ví dụ như các bộ giảm xóc trên ô tô.
Đối với một hệ có lượng tắt dần nhỏ, chu kì và tần số gần như bằng với khi chuyển động điều hòa đơn giản, nhưng biên độ giảm dần như thể hiện trong Hình 2. Điều này xảy ra vì lực cản không thế lấy năng lượng ra khỏi hệ, thường thì ở dạng nhiệt năng. Nói chung, năng lượng bị lấy đi bởi những lực không thế được mô tả như sau
Wnc = Δ(KE + PE) (1)
Trong đó Wnc là công thực hiện bởi một lực không thế (ở đây là lực cản). Đối với một dao động tử điều hòa tắt dần, Wnc là âm vì nó lấy cơ năng (KE + PE) ra khỏi hệ.
Hình 2. Trong đồ thị li độ theo thời gian này cho một dao động tử điều hòa có lượng tắt dần nhỏ, biên độ giảm dần, nhưng chu kì và tần số thì gần bằng như khi hệ hoàn toàn không tắt dần.
Nếu bạn từ từ tăng lượng tắt dần trong một hệ, thì chu kì và tần số bắt đầu bị ảnh hưởng, vì sự tắt dần kháng lại và do đó làm chậm chuyển động qua lại. (Hợp lực là nhỏ hơn theo cả hai chiều.) Nếu có sự tắt dần rất lớn, thì hệ thậm chí không dao động nữa – nó từ từ tiến về vị trí cân bằng. Hình 3 biểu diễn li độ của một dao động tử điều hòa cho những lượng tắt dần khác nhau. Khi ta muốn làm tắt các dao động, ví dụ ở bộ giảm xóc của xe hơi, ta có thể muốn hệ trở về vị trí cân bằng càng nhanh càng tốt. Tắt dần tới hạn được định nghĩa là điều kiện trong đó sự tắt dần của một dao động tử mang nó trở lại vị trí cân bằng của nó càng nhanh càng tốt. Hệ tắt dần tới hạn có thể vượt qua khỏi vị trí cân bằng, nhưng nếu khi như thế nó sẽ chỉ vượt qua một lần. Sự tắt dần tới hạn được biểu diễn bởi đường cong A trong Hình 3. Với sự tắt dần dưới mức tới hạn, hệ sẽ trở lại vị trí cân bằng nhanh hơn nhưng sẽ vượt qua và đi qua nó một hoặc nhiều lần. Một hệ như vậy là tắt dần nhanh; li độ của nó được biểu diễn bởi đường cong trong Hình 2. Đường cong B trong Hình 3 biểu diễn một hệ tắt dần chậm. Như với sự tắt dần tới hạn, nó có thể vượt quá vị trí cân bằng, nhưng sẽ đi tới trạng thái cân bằng trong một khoảng thời gian lâu hơn.
Hình 3. Li độ theo thời gian cho một dao động tử điều hòa tắt dần tới hạn (A) và một dao động tử điều hòa tắt dần chậm (B). Dao động tử tắt dần tới hạn trở lại vị trí cân bằng x = 0 trong thời gian nhỏ nhất có thể mà không vượt qua.
Người ta thường muốn có sự tắt dần tới hạn, bởi vì một hệ như vậy trở lại vị trí cân bằng nhanh chóng và nó cũng ở lại vị trí cân bằng. Ngoài ra, một lực không đổi tác dụng lên một hệ tắt dần tới hạn đưa hệ đến một vị trí cân bằng mới trong thời gian ngắn nhất mà không vượt quá hay dao động quanh vị trí mới đó. Ví dụ, khi bạn đứng trên một cái cân có kim chỉ, cái kim đi tới vị trí cân bằng của nó mà không dao động. Sẽ khá bất tiện nếu cái kim dao động xung quanh vị trí cân bằng mới đó trong một lúc nhất định rồi mới dừng lại. Các lực tắt dần có thể biến thiên rất nhiều về đặc điểm. Lực ma sát, chẳng hạn, thỉnh thoảng độc lập với vận tốc (cái được giả định trong phần lớn tài liệu này). Nhưng nhiều lực cản phụ thuộc vào vận tốc – có khi phụ thuộc phức tạp, có khi tỉ lệ đơn giản với vận tốc.
Ví dụ 1. Ma sát tác dụng lên một vật nối với lò xo
Chuyển động dao động tắt dần có ý nghĩa trong nhiều hệ, và khả năng điều khiển sự tắt dần còn quan trọng hơn nữa. Thường thì để có sự tắt dần người ta dùng các lực không thế như lực ma sát giữa các bề mặt, và lực nhớt cho những vật chuyển động trong chất lỏng. Ví dụ sau đây xét lực ma sát. Giả sử một vật 0,200 kg được nối với một lò xo như trong Hình 4, nhưng có sự ma sát đơn giản giữa vật và bề mặt, và hệ số ma sát μk bằng 0,0800. (a) Tính lực ma sát giữa hai bề mặt. (b) Tính quãng đường vật đi được nếu nó được thả ra cách vị trí cân bằng 0,100 m, bắt đầu với v = 0. Độ cứng của lò xo k = 50,0 N/m.
Hình 4. Sự chuyển hóa năng lượng trong một chuyển động điều hòa đơn giản được minh họa cho một vật gắn với một lò xo trên một bề mặt có ma sát.
Chiến lược
Bài toán này đòi hỏi bạn kết hợp kiến thức của những khái niệm khác nhau về sóng, dao động và sự tắt dần. Để giải một bài toán nhiều khái niệm đan xen như vậy, trước tiên bạn phải nhận ra các nguyên lí vật lí có liên quan. Câu (a) là về lực ma sát. Đây là chủ đề liên quan đến sự ứng dụng các định luật Newton. Câu (b) đòi hỏi kiến thức về công và sự bảo toàn năng lượng, cũng như một số kiến thức về những hệ dao động theo phương ngang.
Bây giờ ta đã nhận ra những nguyên lí ta phải áp dụng để giải bài toán, ta cần nhận ra cái đã biết và cái chưa biết cho mỗi yêu cầu của bài toán, đồng thời nhận ra đại lượng không đổi trong câu (a) và câu (b) của bài toán.
Giải câu a
1. Chọn phương trình thích hợp. Lực ma sát f = μkmg.
2. Nhận dạng những giá trị đã biết.
3. Thay những giá trị đã biết vào phương trình:
f = (0,0800)(0,200 kg)(9,80 m/s2)
4. Tính và đổi đơn vị f = 0,157 N.
Nhận xét câu a
Lực ở đây là nhỏ vì hệ vật và hệ số ma sát nhỏ.
Giải câu b
Nhận dạng cái đã biết:
- Hệ có liên quan đến thế năng đàn hồi vì lò xo nén lại và giãn ra, lực ma sát có liên quan đến công thực hiện và động năng vì vật tăng tốc độ và giảm tốc độ.
- Năng lượng không được bảo toàn khi vật dao động vì ma sát không phải là một lực thế.
- Chuyển động theo phương ngang, nên không cần xét đến thế năng trọng trường.
- Vì chuyển động bắt đầu từ trạng thái nghỉ, nên năng lượng trong hệ lúc đầu là PEi = ½ kX2. Năng lượng này bị tiêu hao do công thực hiện bởi lực ma sát Wnc = – fd, trong đó d là quãng đường tổng cộng đã đi và f = μkmg là lực ma sát. Khi hệ ngừng chuyển động, lực ma sát sẽ cân bằng với lực tác dụng bởi lò xo, nên PEf = ½ kx2, trong đó x là vị trí cuối cùng và được cho bởi
F = f
kx = μkmg
x = μkmg / k (3)
1. Cho công thực hiện bằng với năng lượng tiêu hao, giải tìm quãng đường d.
2. Công thực hiện bởi lực không thế trên bằng với thế năng đàn hồi dự trữ ban đầu. Nhận dạng phương trình đúng để sử dụng:
Wnc=Δ(KE + PE) = PEf − PEi = ½ k [(μkmg / k)2 − X2] (4)
3. Nhắc lại rằng Wnc = – fd.
4. Thay lực ma sát f = μkmg vào Wnc = – fd, ta được
Wnc = – μkmgd (5)
5. Kết hợp hai phương trình trên, ta được
½ k [(μkmg / k)2 − X2] = − μkmgd (6)
6. Giải phương trình cho d
d = (k / 2μkmg) [X2 – (μkmg / k)2] (7)
7. Thay những giá trị đã biết vào phương trình thu được
d = (50,0 N/m / 2.0,0800.0,200 kg.9,80 m/s2)) [(0,100 m)2 – ((0,0800.0,200 kg.9,80 m/s2) / 50,0 N/m)2] (8)
8. Tính d và đổi đơn vị d = 1,59 m. (9)
Nhận xét câu b
Đây là tổng quãng đường đi qua lại điểm x = 0, tức vị trí cân bằng lúc không tắt dần. Số dao động quanh vị trí cân bằng sẽ lớn hơn d/X = (1,59 m) / (0,100 m) = 15,9 vì biên độ của các dao động đang giảm theo thời gian. Lúc cuối dao động, hệ này sẽ không trở lại điểm x = 0 đối với loại lực cản như thế này, vì lực ma sát nghỉ sẽ lớn hơn lực hồi phục. Hệ này là hệ tắt dần nhanh. Trái lại, một hệ tắt dần chậm với một lực cản không đổi đơn giản sẽ không đi qua vị trí cân bằng x = 0 một lần. Ví dụ, nếu hệ này có lực cản lớn hơn 20 lần, thì nó sẽ chỉ di chuyển được 0,0484 m về phía vị trí cân bằng từ vị trí ban đầu 0,100 m của nó.
Ví dụ này minh họa cách áp dụng chiến lược giải toán cho những tình huống tích hợp những khái niệm khác nhau mà bạn đã học. Bước thứ nhất là nhận ra các nguyên lí vật lí có liên quan trong bài toán. Bước thứ hai là giải tìm những cái chưa biết bằng cách sử dụng những chiến lược giải toán quen thuộc.
Kiểm tra kiến thức
Tại sao các dao động tử điều hòa hoàn toàn không tắt dần lại hiếm gặp?
Trả lời
Lực ma sát thường xuất hiện hễ khi một vật đang chuyển động. Lực ma sát gây ra sự tắt dần ở dao động tử điều hòa.
Kiểm tra kiến thức
Hãy mô tả sự khác biệt giữa sự tắt dần chậm, tắt dần nhanh và tắt dần tới hạn.
Trả lời
Một hệ tắt dần chậm tiến chậm về vị trí cân bằng. Một hệ tắt dần nhanh tiến nhanh về vị trí cân bằng, nhưng sẽ dao động xung quanh điểm cân bằng đó. Một hệ tắt dần tới hạn tiến về vị trí cân bằng càng nhanh càng tốt mà không dao động xung quanh vị trí cân bằng đó.
Tóm tắt
- Các dao động tử điều hòa tắt dần có những lực không thế làm tiêu hao năng lượng của chúng.
- Sự tắt dần tới hạn đưa hệ trở lại vị trí cân bằng càng nhanh càng tốt mà không vượt qua điểm cân bằng.
- Một hệ tắt dần nhanh sẽ dao động xung quanh vị trí cân bằng.
- Một hệ tắt dần chậm tiến về vị trí cân bằng lâu hơn một hệ tắt dần tới hạn.
Câu hỏi củng cố
1. Nêu một ví dụ của một dao động tử điều hòa tắt dần. (Chúng dễ gặp hơn các dao động tử điều hòa đơn giản hay dao động tử điều hòa không tắt dần.)
2. Một chiếc xe hơi sẽ rung bật như thế nào sau khi đi qua một mô đất dưới từng trường hợp sau đây:
- tắt dần chậm
- tắt dần nhanh
- tắt dần tới hạn
3. Đa số các dao động tử điều hòa là tắt dần và, nếu không được điều khiển, cuối cùng sẽ dừng lại. Quan sát này có liên quan như thế nào với nguyên lí thứ hai của nhiệt động lực học?
Câu hỏi và bài tập
1. Biên độ của một dao động tử tắt dần giảm 3,0% trong mỗi chu kì. Hỏi cơ năng của dao động tử đó giảm bao nhiêu phần trăm trong mỗi chu kì?
Thuật ngữ
- tắt dần tới hạn: điều kiện trong đó sự tắt dần của một dao động tử làm cho nó trở lại vị trí cân bằng càng nhanh càng tốt mà không dao động quanh vị trí này.
- tắt dần chậm: điều kiện trong đó sự tắt dần của một dao động tử làm cho nó trở lại vị trí cân bằng mà không dao động, dao động tử tiến về vị trí cân bằng chậm hơn trong hệ tắt dần tới hạn.
- tắt dần nhanh: điều kiện trong đó sự tắt dần của một dao động tử làm cho nó trở lại vị trí cân bằng với biên độ giảm dần về không, hệ trở lại vị trí cân bằng nhanh hơn nhưng vượt quá và đi qua vị trí cân bằng một hoặc nhiều lần.
Trần Nghiêm (thuvienvatly.com) dịch
Theo OpenStaxCollege
