Bài toán xác định thời gian trong dao động điều hòa

Việc xác định thời gian trong dao động điều hòa là một vấn đề khó trong chương trình vật lí lớp 12, các em học học sinh thường bối rối khi gặp vấn đề này. Để giải bài toán loại này, một số giáo viên và học sinh đã sử dụng những kiến thức liên quan đến phương trình lượng giác, tuy nhiên phương pháp này thuần túy toán học, phức tạp và dễ gây nhầm lẫn. Để giúp các em học sinh có phương pháp giải quyết nhanh chóng các loại bài tập này, đặc biệt là trong bài thi trắc nghiệm, tôi chọn và nghiên nghiên cứu đề tài:

“LIÊN HỆ GIỮA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA VÀ CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU

BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THỜI GIAN TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA”

* Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu

Đề tài này vận dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều để  đưa ra phương pháp giải các dạng bài tập về xác định thời gian trong dao động điều hòa.

Trên cơ sở những kết quả đã nghiên cứu sẽ giúp cho các em học sinh áp dụng để giải quyết các loại bài tập liên quan đến việc xác định thời gian trong Dao động cơ, Sóng cơ, Điện xoay chiều hay mạch dao động LC ...

* Phạm vi của đề tài

Đề tài nghiên cứu một vấn đề tương đối khó, đề cập đến các dạng bài tập nâng cao thường gặp trong  đề thi TSĐH, CĐ và chủ yếu dành cho học sinh lớp 12 Ban Khoa học tự nhiên. Với phạm vi một Sáng kiến - Kinh nghiệm ở trường THPT chúng tôi chỉ đề cập đến một số vấn đề:

          - Phương pháp xác định thời gian trong dao động điều hòa.

          - Giới thiệu một số trường hợp vận dụng.  

I. Cơ sở lí thuyết

I.1.Liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều

Xét một điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm O theo chiều dương với tốc độ góc w. Gọi P là hình chiếu của M lên trục Ox.

Giả sử ban đầu (t = 0) điểm M ở vị trí Mo được xác định bằng góc j. Ở thời điểm t, nó chuyển động đến M, xác định bởi góc:  j + Dj với Dj = wt.

Khi đó tọa độ của điểm P là:

x =  = OM.cos(wt + j)

Đặt OM = A, phương trình tọa độ của P được viết thành: x  = A.cos(wt + j).

Vậy điểm P dao động điều hòa.

*Kết luận: Một dao động điều hòa có thể được coi như hình chiếu của một vật chuyển động tròn đều lên một đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo.

 I.3.Xác định thời gian trong dao động điều hòa

Theo mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều, thời gian ngắn nhất vật chuyển động tròn đều đi từ M1 đến M2 cũng chính thời gian hình chiếu của nó (dao động điều hòa) đi từ điểm có li độ x1 đến điểm có li độ x2. Thời gian này được xác định bằng:  

với:  Ds =            = R.Dj;  Dj =               ; v = wR

Vậy:                              

II.Một số bài tập vận dụng

II.1. Bài tập về dao động cơ

Bài tập 1.Một vật dao động điều hòa với biên độ A và tần số f = 5Hz. Xác định thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ  đến vị trí có li độ   .

Hướng dẫn giải toán

Khi vật đi từ vị trí có li độ x1 =  đến vị trí có li độ x2 =   thì mất một khoảng thời gian ngắn nhất là ∆t, đúng bằng thời gian vật chuyển động tròn đều (với tốc độ góc w = 2pf trên đường tròn tâm O, bán kính R = A) đi từ M1 đến M2.

Ta có: w = 10p(rad/s)

Dj =                 = p - 2a,

mà  => a =  => ∆j =

Vậy, thời gian ngắn nhất vật đi từ x1 đến x2 là:

* Nhận xét: Đối với bài tập này học sinh dễ nhầm lẫn rằng thời gian vật đi từ x1 đến x2 là tỉ lệ với quãng đường ∆s = êx1 – x2ê= A, nên cho kết quả sai sẽ là:

Bài tập 2. Một vật dao động điều hoà theo phương trình: x = Acos(wt  -). Cho biết, từ thời điểm ban đầu vật đến li độ x =   trong khoảng thời gian ngắn nhất là , và tại điểm cách VTCB 2(cm) vật có vận tốc  (cm/s). Xác định tần số góc và biên độ A của dao động.

Hướng dẫn giải toán

Ở thời điểm ban đầu (t1 = 0), vật có: , tức là vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

Ở thời điểm t2 = , vật qua li độ x2 =  theo chiều dương.

Áp dụng công thức:=> ,

với ∆t = t2 – t1  =  ; cosa =   => a  = ; ∆j =  =

Vậy: (rad/s)  và A =  

Bài tập 3. Một lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng k = 100N/m. Một đầu treo vào một điểm cố định, đầu còn lại treo một vật nặng khối lượng 500g. Từ vị trí cân bằng kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 10cm rồi buông nhẹ cho vật dao động điều hòa. Lấy g = 10m/s2. Xác định khoảng thời gian mà lò xo bị nén, bị dãn trong một chu kỳ.

Hướng dẫn giải toán

Ta có: w = = 10(rad/s)

Độ dãn của lò xo ở vị trí cân bằng là: ; A = 10cm > ∆l

          Thời gian lò xo nén Dt1 là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí lò xo không biến dạngđến vị trí cao nhất và trở về vị trí cũ.

Dt1 = , với sina =  => a = ; ∆j = p - 2a  =

Vậy: Dt1 =

Thời gian lò xo dãn Dt2 là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí lò xo không biến dạngđến vị trí thấp nhất và trở về vị trí cũ: Dt2  =

*Chú ý: Cũng có thể tính: Dt2  = T - Dt1

II.2.Bài tập về sóng cơ

Bài tập 4. Hai điểm M, N cùng nằm trên một phương truyền sóng cách nhau x = λ/3, sóng có biên độ A, chu kì T. Tại thời điểm t­1 = 0, có uM = +3cm và uN = -3cm. Ở thời điểm t2 liền sau đó có uM = +A, biết sóng truyền từ N đến M. Xác định A và t2.

Hướng dẫn

Ta có độ lệch pha giữa M và N là:  => ,

dựa vào hình vẽ, ta có thể xác định biên độ sóng là: A = (cm)

Ở thời điểm t1, li độ của điểm M đang giảm. Đến thời điểm t2 liền sau đó, li độ tại M là uM  = +A.

Ta có  với ;

=>

Vậy:

Bài tập 5. Sóng dừng trên một sợi dây có biên độ ở bụng là 5cm. Giữa hai điểm M, N có biên độ 2,5cm cách nhau x = 20cm các điểm luôn dao động với biên độ nhỏ hơn 2,5cm. Tìm bước sóng.

Hướng dẫn

Tại mỗi điểm, dao động của các phẩn tử trên dây là dao động điều hòa. Độ lệch pha giữa M, N xác định theo công thức: (4.1)

Do các điểm giữa M, N đều có biên độ nhỏ hơn biên độ dao động tại M, N nên chúng là hai điểm gần nhau nhất đối xứng qua một nút sóng. Độ lệch pha giữa M và N dễ dàng tính được , thay vào (4.1) ta được:  

=> l = 6x = 120cm.

     II.3.Bài tập về dòng điện xoay chiều

Bài tập 6. Điện áp giữa hai đầu một đoạn mạch có biểu thức u = 220cos(100pt – p/2)(V), t tính bằng giây(s). Kể từ thời điểm ban đầu(t1 = 0), thời điểm đầu tiên điện áp tức thời có độ lớn bằng giá trị hiệu dụng và điện áp đang giảm là t2. Hãy xác định t2.

Hướng dẫn giải toán

Ở thời điểm t1 = 0, có:

tức là điện áp tức thời bằng 0 và đang tăng.

Ở thời điểm t2, có: u2 = 220(V) và đang giảm.

Ta có:

với: ∆j =  + a; cosa = => a = rad => ∆j =  +  = rad

=>

Vậy:

Bài tập 7. Mắc một đèn vào nguồn điện xoay chiều có điện áp tức thời là  Đèn chỉ phát sáng khi điện áp đặt vào đèn có độ lớn không nhỏ hơn . Xác định tỉ số thời gian đèn sáng và tắt trong một chu kỳ.

Hướng dẫn giải toán

Điều kiện để đèn sáng là:  

Trong mỗi nửa chu kì, khoảng thời gian đèn tắt là:

∆t1 = , với ∆j1 = p - 2a, cosa =   => a = rad => ∆j1  = rad

=> ∆t1 =

Trong một chu kì, thời gian đèn tắt là: 2∆t1 =

và thời gian đèn sáng trong một chu kì là: T - 2∆t1 =

Vậy, tỉ số thời gian đèn sáng và tắt trong một chu kì là:

II.4.Bài tập về mạch dao động LC

Bài tập 8. Một mạch dao động điện từ lí tưởng đang có dao động điện từ tự do. Tại thời điểm t = 0, tụ điện bắt đầu phóng điện. Sau khoảng thời gian ngắn nhất Dt = 10-6s thì điện tích trên một bản tụ điện bằng một nửa giá trị cực đại. Tính chu kì dao động riêng của mạch.

Hướng dẫn giải toán

Ở thời điểm đầu (t = 0), điện tích trên một bản tụ là: q1 = qo

Sau khoảng thời gian ngắn nhất ∆t, điện tích trên một bản tụ điện là: q2 =   

Ta có: ∆j =                = rad => Dt =  

Vậy, chu kì dao động riêng của mạch là: T = 6∆t = 6.10-6s

Bài tập 9. Một mạch dao động LC lí tưởng đang có dao động điện từ tự do. Điện tích trên một bản tụ điện có biểu thức: q = qocos(106pt - (C). Kể từ thời điểm ban đầu( t = 0), sau một khoảng thời gian ngắn nhất là bao lâu thì năng lượng điện trường trên tụ điện bằng ba lần năng lượng từ trường ở cuộn cảm?

Hướng dẫn giải toán

Ở thời điểm ban đầu t = 0, điện tích trên một bản tụ là q1 = 0.

Sau đó một khoảng thời gian ngắn nhất ∆t, thì WL = WC

=> W = WC + WC = WC ó => q2 = qo hoặc q2 = -qo

Ta có:

với ∆j = ; mà: cosa = => a =  => ∆j =

Vậy:

Bài tập 10. Một mạch dao dộng LC lí tưởng có chu kì dao động là T. Tại một thời điểm điện tích trên tụ điện bằng 6.10-7C, sau đó một khoảng thời gian Dt = 3T/4 cường độ dòng điện trong mạch bằng 1,2p.10-3A. Tìm chu kì T.

Hướng dẫn giải toán

Giả sử ở thời điểm ban đầu t1, điện tích trên tụ điện có giá trị q1. Ở thời điểm t2, sau đó một khoảng thời gian ∆t =  ta có rad

Theo giản đồ véc tơ: j­1 + j2  =  

=> sinj2 = cosj1 (10.1)

Từ công thức: =>

Do đó, (10.1) <=>  => rad/s

Vậy : T = 10-3s

II.5.Bài tập đề nghị

Bài tập 1. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100cm/s2 là . Lấy p2 =10. Xác định tần số dao động của vật.                                                              ĐS: f = 1Hz.

Bài tập 2. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng khi cân bằng lò xo dãn 3cm. Bỏ qua mọi lực cản. Kích thích cho vật dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với chu kỳ T thì thấy thời gian lò xo bị nén trong một chu kì là . Xác định biên độ dao động của vật.                                     ĐS: A = 6cm.

Bài tập 3. Một vật có khối lượng m = 1,6 kg dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(wt + p/2) cm. Lấy gốc toạ độ tại vị trí cân bằng. Trong khoảng thời gian  đầu tiên kề từ thời điểm to = 0, vật đi đựơc 2 cm. Tính độ  cứng của lò xo.

ĐS:k = 40N/m

Bài tập 4. Một sóng ngang có bước sóng l  truyền trên một sợi dây căng ngang. Hai điểm P và Q trên sợi dây cách nhau là 5l/4 và sóng truyền theo chiều từ P đến Q. Chọn trục biểu diễn ly độ của các điểm có chiều dương hướng lên trên. Tại một thời điểm nào đó P có ly độ dương và đang chuyển động đi xuống. Tại thời điểm đó Q sẽ có ly độ và chiều chuyển động tương ứng là

ĐS: Dương, đi lên

Bài tập 5.Một sợi dây đàn hồi OM = 90cm được căng nằm ngang. Khi M được kích thích trên dây hình thành 3 bó sóng, biên độ tại bụng là 3cm. Tại N gần O nhất có biên độ dao động là 1,5cm. Tính ON.

ĐS: ON = 5cm.

Bài tập 6. Tại thời điểm t, điện áp u = 200cos(100 πt – p/2) (V) (u tính bằng V; t tính bằng s) có giá trị 100V và đang giảm. Sau đó 1/300s, điện áp này có giá trị bao nhiều? 

ĐS: u = -110

Bài tập 7.Một đèn ống mắc vào điện áp xoay chiều có u = 110cos100pt(V). Biết đèn chỉ sáng nếu điện áp của đèn có giá trị êuê ³ 110V. Hỏi trong một chu kì của dòng điện, thời gian đèn sáng là bao nhiêu?

ĐS: ∆t = 10-2s

Bài tập 8. Một mạch dao động LC lí tưởng có tần số riêng f = 1MHz. Xác định thời gian giữa hai lần liên tiếp năng lượng điện trường trên tụ điện bằng năng lượng từ trường trong ống dây.            ĐS: ∆t = 25.10-8s

Bài tập 9. Một mạch dao dộng LC có chu kì T =10-3s. Tại một thời điểm điện tích trên tụ bằng 6.10-7C, sau đó 5.10-4s cường độ dòng điện trong mạch bằng 1,6.10-3A. Tìm điện tích cực đại trên tụ điện.

ĐS: qo  =10-6C

KẾT LUẬN

Xuất phát từ kinh nghiệm của bản thân, từ thực tế nhiều năm giảng dạy ở trường THPT, bản thân tôi đúc rút thành kinh nghiệm mong rằng sẽ giúp cho các em học sinh thấy rõ hơn mối quan hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều để từ đó có thể vận dụng để giải các loại bài tập liên quan.

Sở dĩ chúng tôi đưa thêm  các ví dụ về dòng điện xoay chiều, mạch dao động LC... là để giúp các em học sinh thấy rằng, ngoài dao động cơ thì dao động điện, dòng điện xoay chiều, điện tích hay điện áp trên tụ điện của mạch LC...cũng là những đại lượng biến thiên điều hòa theo thời gian nên có thể vận dụng phương pháp này để giải. 

Bên cạnh những bài tập vận dụng có hướng dẫn, chúng tôi đưa ra những bài tập đề nghị nhằm giúp các em học sinh lựa chọn cách giải phù hợp để rèn luyện kỹ năng và phương pháp làm bài.

Đề tài này đã được áp dụng cho học sinh lớp 12A4 - Trường THPT Gio Linh, năm học 2010 – 2011, hầu hết học sinh đã nắm được phương pháp và vận dụng rất tốt trong việc giải bài tập liên quan.

Do thời gian có hạn nên đề tài này chưa được áp dụng rộng rãi và chắc chắn không tránh hết những thiếu sót. Vì vậy rất mong được sự góp ý của quý thầy cô giáo và các bạn động nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn và được áp dụng phổ biến hơn trong những năm học tới.

Bài viết trích đăng từ file Sáng kiến kinh nghiệm của Thầy

Trần Trung Tuyến - CTV Thư Viện Vật Lý

Bài trước | Bài kế tiếp