51. Hình học xạ ảnh là gì?
Xét một người họa sĩ đứng trước quang cảnh mà anh ta muốn vẽ lại. Ta có thể hình dung cái khung vẽ của anh ta là một màn kính trong suốt xen giữa quang cảnh và mắt của anh ta. Hình vẽ trên khung vẽ hóa ra là hình chiếu của quang cảnh trên màn kính với tâm chiếu nằm tại mắt của người họa sĩ.
Vì khung vẽ thật sự thì không trong suốt và quang cảnh mà người họa sĩ muốn vẽ có thể chỉ nằm trong trí tưởng tượng của anh ta, nên người họa sĩ cần một khuôn khổ toán học để cho phép anh ta miêu tả thế giới thực ba chiều trên một khung vẽ hai chiều.
Hình học xạ ảnh cung cấp một khuôn khổ như thế. Nó nghiên cứu tính chất hình học của những hình vẽ vẫn bất biến dưới những phép chiếu như vậy.
52. Đó là những phép chiếu nào?
Ví dụ quen thuộc nhất của một phép chiếu như vậy là cái bóng do một nguồn sáng điểm tạo ra.
Cái bóng của một hình tròn do một nguồn sáng điểm tạo ra không phải lúc nào cũng tròn. Chúng là những hình elip dẹt ít hoặc dẹt nhiều.
Bóng của một hình vuông có thể là hình bình hành, hoặc là một tứ giác nào đó.
Bóng của một tam giác vuông không phải lúc nào cũng là tam giác vuông.
Những viên gạch lát hình vuông dưới sàn nhà thì trong tranh không được vẽ là hình vuông. Nhưng ấn tượng để lại trong mắt người nhìn vẫn giống như những viên gạch thật.
53. Hình chiếu khác với hình gốc ở những chỗ nào?
Trong hình chiếu do một nguồn điểm gây ra, kích cỡ của các góc, các diện tích và các đoạn thẳng bị biến dạng, nhưng có một số tính chất không bị thay đổi sao cho cấu trúc của hình gốc thường có thể được nhận ra trên khung vẽ.
54. Đó là những tính chất nào?
Đó là những tính chất khá đơn giản:
Hình chiếu của một điểm là một điểm và hình chiếu của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng, tức là một đoạn thẳng thì sẽ không bị cong. Như vậy, hình chiếu của một tam giác sẽ luôn luôn là một tam giác, và hình chiếu của một tứ giác sẽ luôn vẫn là tứ giác.
Ba tính chất quan trọng được rút ra từ những tính chất đơn giản này:
(i) Nếu một điểm nằm trên một đoạn thẳng thì sau phép chiếu điểm tương ứng sẽ nằm trên đoạn thẳng tương ứng. Tính chất này gọi là tính rơi.
(ii) Nếu ba điểm trở lên cùng nằm trên một đoạn thẳng, thì hình chiếu tương ứng của chúng cũng sẽ nằm trên một đoạn thẳng. Tính chất này gọi là cộng tuyến.
(iii) Nếu ba đoạn thẳng trở lên cùng cắt qua một điểm, thì hình chiếu của chúng sẽ cắt qua một điểm. Tính chất này gọi là đồng quy.
55. Hình học xạ ảnh được áp dụng ở đâu?
Hình học xạ ảnh có ứng dụng trong lĩnh vực nhiếp ảnh trên không, kiến trúc và trong các bài tập phối cảnh mà các họa sĩ thường nghiên cứu.
56. Hình học xạ ảnh khác với hình học Euclid ở chỗ nào?
Các định lí của hình học Euclid xét độ lớn của các chiều dài, các góc và các diện tích theo các khái niệm liên quan tương đẳng và đồng dạng.
Đây là những tính chất đo đạc. Chúng xử lí các độ lớn và bất biến dưới những chuyển động nào đó.
Hình học xạ ảnh xét các tính chất chiếu hay các tính chất bất biến dưới phép chiếu, tức là tính tính rơi, cộng tuyến và đồng quy.
57. Có cần thiết phân biệt giữa các tính chất chiếu và tính chất đo đạc hay không?
Sự phân biệt giữa các tính chất đo đạc và tính chất chiếu của các hình đã được nghiên cứu bởi nhà toán học người Anh Cayley. Ông xét toàn bộ vấn đề trên phương diện đại số và đã thống nhất cả hai.
Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
Trần Nghiêm dịch
Phần tiếp theo >>
