Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 16)

146. Chủ nghĩa hình thức Hilbert có nghĩa là gì?

Sự tiên đề hóa các hệ thống toán học đưa đến quan điểm rằng toán học được xem là một trò chơi thuần túy với những nước đi thuần túy trên giấy tuân theo những quy tắc rõ ràng nhất định. Trò chơi và các nước đi đó được xem là không có ý nghĩa hay cách hiểu gì cả.

Vì thế, các hệ thống được hình thức hóa theo nghĩa này và kết cục là chủ nghĩa hình thức Hilbert.

147. Ưu điểm của chủ nghĩa hình thức này là gì?

Ưu điểm của việc xem những hệ thống toán học là những hệ hình thức là nhờ đó người ta thoát khỏi nhiều câu hỏi rắc rối và không cần thiết, nếu không thì chúng là câu hỏi căn bản và không dễ gì bác bỏ triệt để.

148. Những câu hỏi đó là gì?

Để sáng tỏ, hãy xét những câu hỏi sau đây:

Các con số là gì?

Các con số có tồn tại không?

Làm thế nào chúng ta biết được các quy tắc của các con số là đúng?

Những câu hỏi này khác như vậy là những câu hỏi quan trọng, nhưng trong một hệ hình thức hóa thì chúng trở nên không cần thiết và phải rời khỏi cuộc chơi.

Các công thức của hệ, khi đó, có ý nghĩa bất kì, chúng không đúng cũng chẳng sai, và không đưa ra khẳng định nào về sự tồn tại của bất cứ cái gì.

149. Gödel chứng minh kết quả của ông như thế nào?

Gödel đánh số các kí hiệu, các công thức, và các chuỗi công thức, tức là các chứng minh trong chủ nghĩa hình thức Hilbert theo một kiểu nhất định gọi là đánh số Gödel, và từ đó biến đổi mọi khẳng định thành những mệnh đề toán học.

Phương pháp của ông gồm một tập hợp những quy tắc tạo ra một tương ứng một-một giữa các số nguyên và những kí hiệu đa dạng hoặc các tổ hợp kí hiệu. Khi đó ông có thể chứng minh rằng tính nhất quán của số học là không thể quyết định được bởi bất kì lập luận nào thuộc chủ nghĩa hình thức của số học.

Để tiếp tục chứng minh thật sự, người ta phải quán triệt trước bốn mươi sáu định nghĩa sơ bộ và một vài bổ đề quan trọng.

Chứng minh đó là khó và lập luận quá phức tạp để một người không chuyên toán có thể theo dõi.

150. Nghiên cứu của Gödel chỉ có ý nghĩa tiêu cực thôi hay sao?

Không.

Công trình của Gödel đưa ra một kĩ thuật phân tích mới trong các nền tảng của toán học và làm phát sinh một ngành toán học rất quan trọng, đó là Lí thuyết Chứng minh.

Kĩ thuật thật sự đã đánh thức sự hoạt động sôi nổi trong ngành logic toán và kết cục của nó khó mà nói trước được.

Công trình của Gödel thật ra đã khích lệ, chứ không làm thoái chí sự sáng tạo toán học.

151. Bài học do khám phá to lớn này mang lại là gì?

Khám phá để đời này làm sáng tỏ những hạn chế cố hữu của phương pháp suy luận. Nó thường được xem là một trong những thành tựu trí tuệ vĩ đại nhất của thế kỉ hai mươi.

Tuy nhiên, nó không nhất thiết gây ra sự chán nản hay tuyệt vọng.

Nó chỉ hàm ý rằng những phương pháp nghiên cứu sâu sắc hơn và phức tạp hơn vẫn chưa được nghĩ ra, vì luận giải sáng tạo thừa nhận không có hạn chế.

152. Vậy phương pháp tiên đề có bị từ bỏ hay không?

Không, còn lâu người ta mới bỏ. Trái lại, nó được công nhận là một kiểu mẫu biểu thị khuôn khổ logic được chấp nhận của bất kì mô hình toán học nào.

Thật vậy, kết quả của Gödel không dính líu gì đến công việc hằng ngày của chúng ta, nó không gây đe dọa cho cả nền toán học đang được sử dụng hằng ngày và ở mọi nơi.

153. Việc chấp nhận phương pháp tiên đề có công dụng gì khi mà một hệ nhất quán thì không thể hoàn chỉnh?

Đúng là với một số lượng đáng kể các phân ngành toán học, chúng ta không thể có những hệ hoàn chỉnh mà chỉ có những hệ không hoàn chỉnh được chúng ta khai sáng thêm. Ưu điểm là nó mang đến nhiều thành quả.

Tính không hoàn chỉnh của hệ không gây ngăn trở đối với công dụng của nó.

154. Vì sao phương pháp tiên đề được sử dụng rộng rãi như thế khi mà nó có những hạn chế cố hữu?

Phương pháp tiên đề và những hạn chế của nó là một bộ phận của những nền tảng toán học, còn việc nó được sử dụng rộng rãi là do sự áp dụng mang đến nhiều thành quả của nó.

Vì thế, lời khuyên là nên phân biệt giữa toán học và các ứng dụng của toán học.

Ví dụ, một hệ thống toán học mà chúng ta gọi là hình học không nhất thiết là một mô tả của không gian thực tế. Việc khẳng định một loại hình học nhất định là một mô tả của một không gian vật lí là một phát biểu vật lí, chứ không phải một phát biểu toán học.

Do đó, trong những ứng dụng rộng rãi của toán học, người ta không phải quan tâm về sự tồn tại toán học và các khái niệm toán học, chúng thật sự thuộc về miền đất nền tảng của toán học.

155. Cái gì là thích đáng cho các ứng dụng của toán học?

Cái thích đáng hay quan trọng cho các ứng dụng là các tiên đề và các khái niệm của một hệ thống toán học phải ăn khớp với các phát biểu về các đối tượng có thật và phải có thể xác nhận những phát biểu đó trên phương diện vật lí.

Kết quả của Gödel chẳng có liên quan gì đến các ứng dụng của toán học. Nó là kết quả của một nghiên cứu có chiều sâu về những nền tảng của toán học nói chung và sự tồn tại toán học nói riêng.

156. Tồn tại toán học có ý nghĩa chính xác là gì?

Chúng ta đã thấy các điểm và các đường thẳng của hình học là các trừu tượng của các đối tượng vật lí của chúng và không nhất thiết tương đồng với chúng.

Tương tự như vậy, các thực thể toán học không nhất thiết phải liên hệ gần gũi với các vật thể của thế giới vật chất.

Điều này cho thấy tồn tại toán học khác với tồn tại vật lí như thế nào.

Trong các ứng dụng của toán học, nếu mô hình vật lí khớp với mô hình toán học, thì các kết quả toán học có thể được tận dụng, nhưng sự tương ứng hoàn toàn giữa hai bên là không nhất thiết.

Các ứng dụng có liên quan với tồn tại vật lí nhưng các mô hình toán học thì chỉ quan tâm đến tồn tại toán học.

157. Tập hợp gồm những tiên đề nào là đủ cho đại số ở trường phổ thông?

Đại số ở nhà trường chủ yếu xử lí các con số. Tính chất của những con số và các toán tử thường gặp trên chúng có thể được phát triển từ tập hợp gồm những tiên đề sau đây:

1. Với hai con số bất kì, tổng của chúng được xác định duy nhất.

2. Với hai con số bất kì, tích của chúng được xác định duy nhất.

3. Tồn tại một số 0 có tính chất a + 0 = a.

4. Với mỗi số a, tồn tại một số x sao cho a + x = 0.

5. Phép cộng có tính giao hoán, tức là a + b = b + a.

6. Phép cộng có tính kết hợp, tức là a + (b + c) = (a + b) + c.

7. Phép nhân có tính giao hoán, tức là ab = ba.

8. Phép nhân có tính kết hợp, tức là a(bc) = (ab)c.

9. Phép nhân có tính phân phối, tức là a(b + c) = ab + ac; (b + c)a = ba + ca.

10. Với mỗi số a và b khác không, tồn tại một số x duy nhất sao cho bx = a.

Bất kì hệ đại lượng nào thỏa mãn mười điều kiện này được gọi là một trường.

Các ví dụ của trường là tập hợp số hữu tỉ, tập hợp số thực, và tập hợp số phức.

Trong mỗi trường hợp này, khi cộng và nhân các số thuộc tập hợp cho ta một con số cũng thuộc tập hợp đó, và các toán tử thỏa mãn mười điều kiện trên.

Ngoài những ví dụ này, có nhiều đại lượng khác của tự nhiên cũng tạo thành một trường. Các phân thức đại số, chẳng hạn, cũng tuân theo mười điều kiện này và vì thế tạo thành một trường.

158. Các hệ thống tiên đề mới được tạo ra như thế nào?

Có thể thu được những hệ thống tiên đề mới bằng cách loại trừ một hoặc nhiều tiên đề của một hệ thống đã cho.

Ví dụ, bằng cách bỏ đi tiên đề 7, chúng ta có một hệ tuân theo đại số ma trận, trong đó tích của hai ma trận phụ thuộc vào trật tự chúng được đem nhân.

Cũng có thể thu được những hệ thống tiên đề mới từ một hệ đã cho bằng cách thay đổi một hoặc nhiều tiên đề của nó theo một kiểu thích hợp.

Sự ra đời của một hệ tiên đề cho hình học phi Euclid từ các tiên đề của hình học Euclid, bằng cách thay thế tiên đề hai đường song song bởi một trong những phủ nhận của nó, là một ví dụ cho cách thu về một hệ thống tiên đề mới theo kiểu này.

Hết Chương 1