Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 29)

111. NHÓM là gì?

Một tập hợp G gồm các phần tử a, b, c,..., trên đó một toán tử o được định nghĩa, được nói là tạo thành một NHÓM đối với toán tử đó nếu các tính chất sau đây đúng cho mọi a, b, c,... thuộc G:

(i) a o b thuộc tập G (tính đóng).

(ii) a o (b o c) = a o (b o c) (tính kết hợp).

(iii) Tồn tại một phần tử đặc biệt, gọi là phần tử đồng nhất e thuộc tập G sao cho e o a = a với mọi a thuộc G (tồn tại phần tử đồng nhất).

(iv) Với mọi phần tử a thuộc G, tồn tại một phần tử a^-1 thuộc G sao cho a o a^-1 = e (tồn tại phần tử đối nghịch).

112. Tập hợp các số nguyên với phép cộng có tạo thành một nhóm hay không?

Ở đây toán tử o kí hiệu cho phép cộng bình thường, tức là +.

(i) Vì tổng của hai số nguyên bất kì là một số nguyên, nên tính đóng được thỏa mãn.

(ii) Ba số nguyên a, b, c bất kì cộng lại theo hai dãy phối hợp cho tổng bằng nhau nên quy tắc kết hợp được thỏa mãn.

(iii) Phần tử đồng nhất đối với phép cộng là 0, tức là số không, cho nên a + 0 = a là một phát biểu đúng cho mọi số nguyên a.

(iv) Mỗi phần tử a có một phần tử đối là – a, nó cũng là một số nguyên. Ví dụ, đối của 2 là – 2, và 2 + (- 2) = 0, trong đó 0 là phần tử đồng nhất.

Như vậy, tập hợp các số nguyên thỏa mãn cả bốn tính chất nên nó tạo thành một nhóm đối với phép cộng.

113. Các số nguyên có tạo thành một nhóm đối với phép nhân hay không?

(v) Tích của hai số nguyên bất kì là một số nguyên, do đó tính đóng được thỏa mãn.

(vi) Ba số nguyên a, b, c bất kì nhân theo hai dãy phối hợp cho tích bằng nhau nên quy tắc kết hợp được thỏa mãn.

(vii) Phần tử đồng nhất đối với phép nhân là 1, nó là một số nguyên, cho nên tính chất thứ ba cũng được thỏa mãn.

(viii) Tính chất thứ tư không được thỏa mãn, vì nghịch đảo của một số nguyên không phải là một số nguyên mà là một phân số (ngoại lệ khi số nguyên đó là 1 hoặc - 1).

Lấy ví dụ, 2 × ½ = 1, cho nên nghịch đảo của số nguyên 2 là phân số ½ và không phải là số nguyên.

Vì một trong bốn yêu cầu của một nhóm không được thỏa mãn, nên các số nguyên không tạo thành một nhóm đối với phép nhân.

114. Nhóm Abel là gì?

Một nhóm G được nói là nhóm Abel hay nhóm giao hoán, nếu có thêm tính giao hoán của toán tử cũng được thỏa mãn, tức là a o b = b o a với mọi a, b thuộc G.

Các số nguyên đối với phép cộng tạo thành một nhóm Abel, vì a + b = b + a là đúng với mọi số nguyên.

Sự giao hoán hàm ý rằng trật tự của các phần tử trong toán tử không gây ra sự khác biệt.

Vì 2 + 3 = 3 + 2, và tính chất này đúng với hai số nguyên bất kì, nên phép cộng được nói là có tính giao hoán đối với tập hợp các số nguyên.

115. Những thực thể nào có thể là các “phần tử” của một nhóm và những loại toán tử nào có thể được định nghĩa trên chúng?

Các phần tử của một nhóm có thể là các con số như trong số học, hoặc các điểm như trong hình học. Chúng có thể là các phép biến đổi như trong đại số hoặc hình học, hoặc bất cứ cái gì.

Toán tử có thể là phép cộng và phép nhân như trong đại số. Nó có thể là một phép quay xung quanh một điểm hoặc một trục như trong hình học. Nó có thể là bất kì quy tắc nào kết hợp hai phần tử thuộc một tập hợp để tạo ra một phần tử thứ ba thuộc tập hợp đó, như trong trường hợp hai phép biến đổi áp dụng liên tiếp cho ta một phép biến đổi thứ ba.

116. Cái gì đã dẫn tới lí thuyết nhóm?

Ban đầu, lí thuyết nhóm được phát triển để khảo sát vì sao một số phương trình bậc cao hơn bốn có thể giải được nghiên cứu khai căn còn những phương trình khác thì không giải được như thế.

Trong lúc tìm tòi như thế, lần đầu tiên người ta quan sát thấy sự đối xứng của các nghiệm của phương trình là cái cơ bản cho phép giải cả bài toán.

Sau này, lí thuyết nhóm được dùng làm một công cụ để nghiên cứu những cái cân đối quan trọng, ví dụ như các đối xứng, của thế giới thực tế.

117. Nghiên cứu các đối xứng như thế nhằm mục đích gì?

Khảo sát các đối xứng đa dạng có thể dẫn tới những hiểu biết sâu sắc không thể nào có được bằng cách suy biện trực tiếp.

Lí thuyết nhóm giúp làm sáng tỏ các đối xứng, thành ra giúp người ta hiểu sâu hơn các hiện tượng khác nhau.

118. Lí thuyết nhóm còn được áp dụng ở đâu?

Nó được áp dụng trong nhiều ngành khoa học, đáng chú ý là trong hình học, tinh thể học, vật lí học, hóa học, sinh học phân tử, và lí thuyết không gian và thời gian, nơi các quy luật đối xứng có một vai trò quan trọng.