Tính điện trở của đoạn mạch phân nhánh

Chúng tôi trích giới thiệu với các bạn một số bản dịch từ tác phẩm Những câu hỏi và bài tập vật lí phổ thông của hai tác giả người Nga L. Tarasov và A. Tarasova, sách xuất bản ở Nga năm 1968. Bản dịch lại từ bản tiếng Anh xuất bản năm 1973.

Các bài giảng được trình bày dưới dạng thảo luận hỏi đáp giữa giáo viên (GV) và học sinh (HS).

§29. Tính điện trở của đoạn mạch phân nhánh

GV: Tính điện trở của đoạn mạch điện như ở Hình 117a. Các em có thể bỏ qua điện trở của dây dẫn (dây nối).

HS A: Nếu điện trở của dây dẫn có thể bỏ qua được thì mấy đoạn dây nối có thể bỏ đi hoàn toàn. Điện trở cần tìm bằng 3R.

GV: Em đã trả lời mà không suy nghĩ. Bỏ qua điện trở của dây dẫn và bỏ đi dây nối là những cái hoàn toàn khác nhau (mặc dù một số thí sinh cho là giống nhau). Để bỏ một đoạn dây ra khỏi mạch điện có nghĩa là thay nó bằng một điện trở vô cùng lớn. Ở đây, trái lại, điện trở của dây nối là bằng không.

HS A: Vâng, tất nhiên. Em đã không suy nghĩ chu đáo. Nhưng bây giờ em sẽ lí giải như sau. Tại điểm A dòng điện chia thành hai dòng có chiều I được vẽ bằng mũi tên trên Hình 117b. Ở đây điện trở ở giữa có thể bỏ qua hoàn toàn và điện trở toàn phần là R/2.

GV: Lại sai nữa rồi! Tôi khuyên em nên sử dụng quy tắc sau đây: tìm những điểm trong mạch điện có cùng điện thế và sau đó thay đổi sơ đồ sao cho những điểm này trùng với nhau. Dòng điện chạy trong các nhánh khác nhau của mạch điện sẽ vẫn không đổi, nhưng sơ đồ có thể vẽ đơn giản đi nhiều. Tôi đã nói về vấn đề ở §27. Vì trong bài toán đã cho, điện trở của các dây nối bằng không, nên điểm A và A₁ có cùng điện thế. Tương tự, điểm B và B₁ có cùng điện thế. Theo quy tắc tôi vừa nói, chúng ta sẽ thay đổi sơ đồ sao cho các điểm có điện thế bằng nhau cuối cùng sẽ trùng với nhau. Với mục đích này, chúng ta sẽ thu ngắn dần chiều dài của các dây nối. Các giai đoạn liên tiếp của quá trình này được minh họa trên Hình 117c. Từ đó ta tìm được cách mắc đã cho tương ứng một sắp xếp gồm ba điện trở mắc song song. Do đó, điện trở toàn phần của đoạn mạch là R/3.

HS A: Vâng, đúng rồi. Cái khá rõ ràng từ Hình 117c là các điện trở mắc song song với nhau.

GV: Chúng ta hãy xét ví dụ sau đây. Ta có một hình lập phương tạo bởi các dây nối, mỗi cạnh có điện trở R (Hình 118a). Hình lập phương đó được mắc vào một mạch điện như hình vẽ. Tính điện trở tương đương của hình lập phương.

Chúng ta có thể bắt đầu bằng cách áp dụng quy tắc tôi vừa nói. Hãy chỉ ra những điểm có cùng điện thế.

HS A: Em nghĩ ba điểm A, A₁ và A₂ sẽ có cùng điện thế (xem Hình 118a) vì ba cạnh của hình lập phương (DA, DA₁ và DA₂) là hoàn toàn tương đương nhau.

GV: Đúng rồi, và tương tự cho các cạnh BC, BC₁ và BC₂. Do vậy, các điểm C, C₁ và C₂ sẽ có cùng điện thế. Tiếp theo, chúng ta hãy cắt rời hình lập phương dây của chúng ta tại những điểm vừa nêu và, sau khi uốn cong các cạnh dây, nối chúng lại sao cho những điểm có điện thế bằng nhau thì trùng với nhau. Sơ đồ bây giờ sẽ trông như thế nào?

HS A: Chúng ta sẽ thu được sơ đồ như ở Hình 118b.

GV: Chính xác. Sơ đồ thu được ở Hình 118b là tương đương với sơ đồ ban đầu (với hình lập phương) nhưng đã đơn giản hơn nhiều. Bây giờ thì em chẳng gặp khó khăn gì khi tính điện trở tương đương cần tìm.

HS A: Nó bằng (1/3)R + (1/6)R + (1/3)R = (5/6)R.

HS B: Làm thế nào thầy tính được điện trở tương đương của một hình dây có dạng một hình vuông, với các đường chéo, nối thành một mạch điện như ở Hình 119a?

GV: Một lần nữa chúng ta phải tìm những điểm có cùng điện thế. Trong trường hợp đã cho, ta dễ dàng thấy rằng sơ đồ có một trục đối xứng mà tôi vẽ trên sơ đồ 119a bằng đường đứt nét. Rõ ràng mọi điểm nằm trên trục đối xứng này sẽ có cùng điện thế bằng một nửa tổng điện thế của điểm A và điểm D. Như vậy, điện thế của các điểm O, O₁ và O₂ là bằng nhau. Theo quy tắc trên, ta có thể nhập ba điểm này trùng với nhau. Từ đó, sơ đồ ghép điện trở được chia thành hai đoạn giống hệt nhau mắc nối tiếp. Một trong hai đoạn này được vẽ ở Hình 119b. Chẳng khó khăn gì tính được điện trở của đoạn này. Nếu mỗi dây dẫn, hay dây nối, trong hình vuông có cùng điện trở R, thì điện trở tương đương của đoạn mạch là (4/15)R. Như vậy, điện trở tương đương cần tìm của hình vuông bằng (8/15)R.

HS A: Ý thầy muốn nói là quy tắc chính là tìm những điểm trên sơ đồ có cùng điện thế và làm đơn giản sơ đồ bằng cách nhập những điểm này lại phải không?

GV: Đúng vậy. Để kết luận, tôi muốn nêu một thí dụ với một đoạn mạch vô hạn. Chúng ta được cho một mạch điện gồm một số vô hạn những đoạn lặp lại với điện trở R₁ và R₂ (Hình 120a). Tìm điện trở tương đương giữa điểm A và điểm B.

HS A: Có lẽ chúng ta nên sử dụng phương pháp quy nạp toán học thầy ạ? Trước tiên ta sẽ xét một đoạn, rồi hai đoạn, đến ba đoạn, và cứ thế. Cuối cùng, chúng ta sẽ cố gắng mở rộng kết quả cho n đoạn với trường hợp n → ∞.

GV: Không, ở đây chúng ta không cần phương pháp quy nạp toán học. Ta sẽ bắt đầu với thực tế là vô cùng sẽ không thay đổi nếu chúng ta loại bỏ một bộ phận ra khỏi nó. Ta sẽ cắt bỏ đoạn đầu tiên ra khỏi sơ đồ (cùng với đường đứt nét ở Hình 120a). Rõ ràng sẽ vẫn còn lại một số vô hạn đoạn và vì thế điện trở giữa điểm C và điểm D sẽ bằng điện trở tương đương R cần tìm. Như vậy, sơ đồ ban đầu có thể thay đổi thành sơ đồ ở Hình 120b. Đoạn mạch điện ở Hình 120b có điện trở tương đương là R₁ + RR₂(R + R₂). Vì đoạn này tương đương với đoạn ban đầu của mạch điện, nên điện trở của nó sẽ bằng điện trở cần tìm R. Như vậy, ta có

HS A: Vâng, đó chắc chắn là phương pháp giải toán hay.

Bài tập

63. Trong mạch điện ở Hình 121, E = 4V, r = 1 Ω và R = 45 Ω. Xác định số chỉ của volt kế và ampere kế.

64. Tìm điện trở tương đương của hình vuông vẽ ở Hình 119a, giả sử nó được nối thành mạch điện tại điểm A và điểm C.

65. Một hình lục giác đều với các đường chéo được làm bằng dây nối. Điện trở của mỗi đoạn dây nối là bằng R. Hình lục giác được mắc thành mạch điện như ở Hình 122a. Tính điện trở tương đương của hình lục giác.