Khối Lượng và Phương Trình E = γmc2 của thế kỷ

Phạm Xuân Yêm (10/11/2008)

Trong cách diễn đạt hiện đại của thuyết Tương Đối, chỉ có một khối lượng, đó là khối lượng theo nghĩa của Newton không thay đổi với vận tốc. Tiếc thay trong khá nhiều sách giáo khoa về thuyết tương đối hẹp ở Âu, Mỹ, Á ngày nay, nhiều thuật ngữ  thiếu thuần lý như khối lượng tương đối tính (relativistic mass), khối lượng bất động (rest mass) với ký hiệu nhầm lẫn m(v) hay m₀ hãy còn xuất hiện, mặc dầu Einstein đã cảnh báo từ năm 1948.

1-Vài điều sơ đẳng

1a- Khối lượng của vật chất là một khái niệm quan trọng trong khoa học mà nhân loại đã ý thức ít nhiều về nó có lẽ ngay từ thuở các nền văn hiến ngàn xưa thời Lưỡng Hà, Ai Cập, Hy Lạp, Trung Quốc, Ấn Độ. Một cách định tính, ta hãy khởi đầu với cơ học cổ điển của Galilei và Newton theo đó khối lượng m của một vật được hiểu như bản tính nội tại của nó, m gói ghém “số lượng của vật chất” kết tụ trong đó.

E=mc² - Công thức không thể nổi tiếng hơn

Sau nữa, phương trình căn bản của cơ học cổ điển F = ma = mdv/dt bảo cho ta khối lượng diễn tả quán tính của vật thể. Thực thế bất kỳ một lực F nào (trọng lực, lực điện-từ, lực hạt nhân, lực cơ bắp hay máy móc) khi áp đặt lên một vật A mang khối lượng m, vật đó sẽ chuyển động với gia tốc a. Cũng một lực F ấy khi tác động lên một vật B khác mang khối lượng ba lần lớn hơn A thì dĩ nhiên gia tốc của B so với A giảm đi ba lần, nó chuyển động chậm chạp hơn A hay có quán tính lớn gấp ba lần A. Vậy khối lượng biểu lộ khả năng quán tính của vật thể chống lại sự di động. Nếu không có một lực F nào áp đặt lên một vật thì nếu ban đầu đã chuyển động với một vận tốc v nào đó thì nó cứ tiếp tục di chuyển với vận tốc ấy, hoặc nếu đứng yên thì cứ mãi đứng yên. Tóm lại vì gia tốc a = 0 (do F = 0) nên vận tốc v cố định, không thay đổi với thời gian.

{loadposition article}

1b- Còn năng lượng? Dưới dạng sức nóng - mà ta gọi là nhiệt năng - có lẽ con người đã cảm nhận ra khái niệm năng lượng ngay từ thuở họ phát minh ra lửa cách đây khoảng 500000 năm, và không phải ngẫu nhiên mà ngôn từ calorie đã được dùng để chỉ định đơn vị năng lượng. Nó là căn nguyên tác động lên vạn vật để làm chúng biến đổi dưới mọi hình thái hoặc làm chúng di chuyển. Như vậy năng lượng chẳng thể tách rời khỏi lực và để diễn tả chính xác bằng ngôn từ toán học, năng lượng được định nghĩa như tích số của vectơ lực F nhân với vectơ chiều dài  x mà vật di chuyển do tác động của F áp đặt lên nó. Thực vậy, tích số F. x trước hết gọi là công làm ra bởi lực F tác động lên vật. Đó là một định nghĩa hợp lý và dễ hiểu vì nó chỉ định cái công sức mà lực phải bỏ ra để làm cho vật di chuyển một đoạn chiều dài  x với vận tốc v = dx/dt . Khi ta mang cho vật cái công sức của F thì vật đó phải biến đổi bởi vì nó thu nhận một năng lượng E, và ta định nghĩa năng lượng mà vật thu được này chính là công của lực F mang cho nó. Vậy E = F. x, và dưới dạng vi phân dE =  F.dx, ta suy ra là sự biến đổi theo thời gian t của năng lượng dE /dt chính là tích số F.v, dE/ dt = F.v mà ta sẽ dùng sau này để tìm ra phương trình E = γmc² của thế kỷ.

Trong cơ học có hai loại năng lượng thường được nhắc đến: thế năng và động năng. Thí dụ thứ nhất là trọng lực F_g = mg (với g = ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|g| ≈ 9.81m/s² chỉ định gia tốc tạo nên bởi trọng trường của trái đất). Sức hút F_g kéo khối lượng m rơi từ trên một độ cao h =  ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|x| xuống mặt đất. Vì F_g và  x song song và c‌‌ùng hướng về trung tâm trái đất nên F_g.x = mgh. Đại lượng mgh gọi là thế năng (potential energy) của vật đặt ở độ cao h so với mặt đất. Ở bất kỳ một điểm cao h nào đó, vật mang sẵn một năng lượng mgh tiềm tàng, một thế năng. Thí dụ thứ hai là với bất cứ một lực F nào, ta cũng có dE =  F.dx, khi thay dx = vdt và F = mdv/dt, ta có dE = mv.dv, làm tích phân ta được E = (½)mv², với v = ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|v|. Ta gọi năng lượng (½)mv² là động năng (kinetic energy). Một vật khối lượng m chuyển động với vận tốc v mang động năng (½) mv². Một vật đứng yên (vận tốc = 0) rơi từ một độ cao h, khi chạm đất nó có vận tốc v = (2gh)^½, thế năng mgh chuyển sang động năng (½) mv², minh họa luật bảo toàn năng lượng.

Sau hết, ta định nghĩa vectơ xung lượng p =  mv và phương trình cơ bản  F = mdv/dt nay viết dưới dạng F = dp/dt.

2- Vài nét về thuyết Tương Đối Hẹp

Ai trong chúng ta khi đi máy bay cửa sổ đóng kín và không gặp bão lay động mà có thể cảm thấy mình di chuyển với vận tốc khoảng ngàn cây số trong một giờ ? Khoảng bốn trăm năm trước đây, Galileo Galilei (1564-1642) cũng đưa ra một thí dụ tương tự, mở đầu cho nguyên lý tương đối (principe of relativity) mang tên ông: trong hầm kín mít không giao tiếp gì với thế giới bên ngoài của một chiếc tàu thủy di chuyển đều đặn, ta hãy quan sát những con bướm bay khắp phía và những giọt nước tí tách rơi. Nay để tàu đứng yên, ta thấy bướm vẫn bay và nước vẫn rơi hệt như trước, chẳng có gì thay đổi. Rồi tàu lại di chuyển đều đặn, nhưng với vận tốc và chiều hướng khác, bướm vẫn bay và nước vẫn rơi như khi tàu dừng ở bến. Nói một cách khác: những định luật miêu tả các hiện tượng thiên nhiên (bướm bay, nước rơi) không chút thay đổi trên tàu di chuyển đều đặn (bất kỳ vận tốc và chiều hướng nào) kể cả tàu dừng ở bến (v = 0). Người ở trong tàu nếu chỉ quan sát đo lường những hiện tượng động hay tĩnh trong tàu mà không tiếp xúc với bên ngoài để so sánh thì chẳng sao biết là tàu đứng hay đi, và đi với vận tốc nào, chiều hướng nào. Nói khác đi tĩnh hay di động đều đặn chỉ là chuyện tương đối, chẳng có lý gì để khẳng định bến hay tàu cái nào đứng, cái nào đi.

Nguyên lý tương đối mà Galilei tóm tắt trong một câu ngắn gọn ‘’di chuyển đều đặn cũng như không’’, hàm ý rằng trong hai hệ quy chiếu, một cái bất động K (tọa độ x,y,z,t), một cái K’ di động (tọa độ x’,y’,z’,t’) với vận tốc v cố định, các định luật miêu tả thiên nhiên đều giống hệt nhau, hay f(x,y,z,t) = f(x’,y’,z’,t’) hàm số f tượng trưng cho một định luật vật lý nào đó. Khi nguyên lý này áp dụng cho điện-từ để diễn tả vận tốc ánh sáng c không thay đổi trong tất cả các hệ quy chiếu thì hàm số f chính là  f(x,y,z,t) ≡ (ct)² – (x² + y² + z²).

Einstein khởi đầu bằng chấp nhận nguyên lý tương đối áp dụng cho điện-từ như một tiền đề - theo đó vận tốc ánh sáng bao giờ cũng cố định và bằng c, không thay đổi trong bất kỳ các hệ quy chiếu quán tính nào - mà Michelson và Morley đã chứng tỏ bằng thực nghiệm. Vận tốc ánh sáng không thay đổi trong hai hệ quy chiếu quán tính được diễn tả bằng ngôn ngữ toán học là bình phương khoảng cách s² của ánh sáng truyền đi trong hai hệ quy chiếu K và K’ phải như nhau hay bất biến[1]: s² ≡ (ct)² – (x² + y² + z²) = (ct’)² – (x’² + y’² + z’²). Với thời gian phổ quát duy nhất của Newton (t = t’) thì s² không sao bất biến được và đã làm đau đầu bao nhà khoa học[2]. Dùng nguyên lý tương đối để áp dụng cho sự vận hành của ánh sáng, các vị Lorentz, Poincaré, Einstein mỗi người một cách đã phát kiến ra hệ số γ = 1 ⁄ √(1− v² ⁄c²) ≥ 1 chìa khoá mở đường vô cùng quan trọng cho cơ học tương đối tính[3]. Einstein suy từ đó ra nhiều hệ quả kiểm chứng được bằng thực nghiệm, trước hết là phương trình E = γmc² của thế kỷ, liên kết năng lượng E khổng lồ với khối lượng m nhỏ bé[4], tuyệt vời và đại chúng.

Thông điệp thứ hai, sâu sắc và kỳ lạ, là chẳng có một thời gian tuyệt đối và phổ quát trong một không gian biệt lập với thời gian. Có muôn ức thời gian (t’ và  t dẫu khác nhau nhưng cả hai đều chỉ định thời gian trong hai hệ quy chiếu) nhanh chậm không đồng đều, thời gian của mỗi hệ quy chiếu tùy thuộc vào vận tốc chuyển động của hệ ấy. Mỗi thời-điểm phải gắn quyện với mỗi không-điểm trong một thực tại bốn chiều gọi là thế giới Minkowski để diễn tả một sự kiện. Khoảng cách thời gian của bạn khác của tôi, ở mỗi điểm không gian lại gắn liền một đồng hồ đo thời gian với nhịp điệu tích tắc khác nhau[5]. Sở dĩ bạn và tôi tưởng rằng chúng ta chia sẻ một thời gian phổ quát, chỉ vì cộng nghiệp con người trong cái không gian quá nhỏ bé của trái đất so với vũ trụ, bạn và tôi đâu có xa nhau gì, vận tốc tương đối giữa chúng ta thấm gì so với vận tốc ánh sáng (v²⁄c² « 1, γ ≈ 1). Không có mũi tên thời gian lạnh lùng trôi của trực giác mà cơ học cổ điển Newton thừa nhận, cũng không có khái niệm hiện tại, cái bây giờ chẳng thể xác định và giữ vai trò ưu tiên đặc thù nào hết vì cái lúc nào phải đi với cái ở đâu. Hơn nữa, không gian và vật chất, cái vỏ chứa và cái nội dung chứa đựng trong vỏ, lại như hình với bóng trong vũ trụ co dãn (thuyết tương đối rộng). Đã không có hiện tại thì nói chi đến quá khứ và tương lai, đó là nội dung triết học quá ư kinh ngạc của thuyết tương đối hẹp và rộng trong nhận thức về thời gian, nó không phải là mũi tên trôi một chiều từ quá khứ đến tương lai mà chỉ là một trong bốn thành phần của một thực tại mang tên gọi không-thời gian chẳng cứng nhắc mà đàn hồi. Diễn tả hàm súc nhất về nhận thức này có lẽ nằm trong bức thư Einstein gửi cho con trai của Besso[6] khi nghe tin bạn mất. Bức thư viết: ‘’Vậy bạn đã trước tôi một chút giã từ cái thế gian lạ lùng này. Nhưng cái đó chẳng nghĩa lý gì. Đối với chúng ta, những nhà vật lý có xác tín, sự chia cách quá khứ, hiện tại, tương lai chỉ là một ảo tưởng, dẫu nó dai dẳng đến thế nào’’.

Điều cơ bản cần nhấn mạnh là không gian và thời gian chẳng còn biệt lập nhưng mật thiết liên đới trong một thực thể bốn chiều không-thời gian của Minkowski.

3- Ba con đường đến E = γmc²

Tại sao ba con đường? Nhà vật lý kỳ tài Richard Feynman từng khuyến khích là nếu có thể thì nên suy diễn, trình bày hay chứng minh một kết quả khoa học nào đó theo nhiều phương pháp khác nhau để rọi sáng vấn đề. Tập sách tuyệt vời The Feynman Lectures on Physics tràn đầy thí dụ diễn giảng theo hai ba cách khác nhau mà lại bổ túc cho nhau[7].

Trước hết cần minh định là chỉ có phương trình E₀= mc² hay E = γmc² mới thực sự phản ánh ý nghĩa của thuyết tương đối, E thay đổi theo vận tốc của vật, động năng (½) mv² là thí dụ cụ thể nhất, còn E₀ là năng lượng khi vật đứng yên (v = 0, γ = 1). Phương trình E₀ = mc² và ΔE₀ = (Δm)c² chính Einstein đã viết ra[8]. Trong các sách sư phạm nghiêm túc về cơ học tương đối tính (hay thuyết tương đối hẹp), theo Einstein[9] để tránh sự mơ hồ, thậm chí nhầm lẫn về khái niệm khối lượng, ta không nên đưa ra hai ký hiệu: m(v) ≡ γm và m₀ ≡ m(v = 0) của một vật, theo đó m₀ là khối lượng bất động (rest mass) và m(v) = m₀/√(1− v²⁄c²) là ‘khối lượng tương đối tính’ (relativistic mass) khi vật chuyển động với vận tốc v.

Chỉ có một khối lượng m trong các định luật vật lý, không có khối lượng m₀ của một vật bất động hay khối lượng ‘tương đối tính’ m(v) thay đổi với vận tốc v của mỗi hệ quy chiếu.

3a- Henri Poincaré, nhà toán học vạn năng Pháp, năm 1900 (trước năm thần kỳ 1905) đã viết ra[10] E = mc², nhưng phải nói ngay là phương pháp của ông để tìm ra nó không được nhất quán, chính vì vậy mà tác giả đã quên hẳn đi đến nỗi năm 1908, ba năm sau khi Einstein khám phá ra E₀ = mc² , Poincaré - khi so sánh một vật phát xạ ánh sáng với một khẩu đại bác bắn ra một viên đạn - đã viết trong La dynamique de l’électron, Science et Méthode (1908) mấy câu sau đây: ‘’ Khẩu đại bác giật lùi vì viên đạn bị bắn ra đã tác động trở lại. Trường hợp vật phóng quang lại là chuyện khác, ánh sáng phát ra không phải là vật chất, đó là năng lượng, mà năng lượng thì không có khối lượng’’. Qua câu trên, rõ ràng Poincaré dẫu có viết E = mc² thì ông đã quên nó rồi. Poincaré tìm ra E = mc² bằng cách nào? Trước hết, ông xem xét một đoàn sóng ánh sáng có năng lượng E và xung lượng p. Như ta biết, điện từ trường E, H mang một năng lượng tỷ lệ với (‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|E|² + ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|H|²) còn xung lượng thì tỷ lệ với vectơ E × H. Theo định lý Poynting trong điện từ thì  p ≡ |p| = E/c, điều chính xác đối với photon không có khối lượng. Cái lầm của Poincaré là dùng phương trình cơ học cổ điển p = mv (với v = c) để áp dụng cho đoàn ánh sáng. Đó là một nghịch lý như ta biết ngày nay, vì cơ học cổ điển chỉ áp dụng cho vật di động chậm, v « c. Khi kết hợp hai cái ‘không nên kết hợp’ p = E/c với p = mc, ông thấy E = mc² và kết luận là ánh sáng với năng lượng E có khối lượng m = E/c² ≠ 0. Điều kỳ quái là ngày nay hãy còn vài tác giả Pháp bảo hoàng hơn vua khẳng định rằng Poincaré là tác giả phương trình của thế kỷ[11].

E=mc² Không chỉ nằm trên bàn giấy

3b- Hệ số γ, một giai đoạn trung gian cần thiết. Trong thuyết tương đối hẹp, mỗi không-điểm x phải gắn một thời-điểm t trong một thực tại không-thời gian bốn chiều Minkowski. Một tứ-vectơ không-thời gian là tập hợp mang bốn thành phần với ký hiệu x^μ (x⁰ = ct, x), vectơ vận tốc v = dx/dt, gia tốc a = dv/dt. Nét đặc trưng của phép hoán chuyển Lorentz là có một khoảng cách thời gian dτ bất biến trong mọi hệ quy chiếu, τ là thời gian riêng định nghĩa bởi  cdt² – (dx² + dy² + dz²) =  cdτ² (phụ chú 3). Vì v² = (dx² + dy² + dz²)/dt², ta suy ra γdτ = dt, với γ = 1/√(1− v² ⁄c²). Khoảng cách thời gian riêng của mỗi không-điểm được liên kết với những khoảng cách thời gian riêng khác bởi τ = t/γ. Ta tính được một đẳng thức quan trọng

dγ/dt = γ³(v.a)/c²            (1)

Từ tứ-vectơ không-thời gian x^μ (x⁰ = ct, x), ta lập một tứ-vectơ xung lượng p^μ = mdx^μ/dτ, và tính ra bốn thành phần của p^μ (p⁰ = γmc, p = γmv). Phương trình F = dp/dt = md(γv)/dt cho ta F = [mγ³(v.a)/c²] v + mγa thay thế phương trình F = ma, cũng như p = mγv thay thế p = mv của cơ học cổ điển, nó là giới hạn khi c → ∞ của cơ học tương đối tính.

3c- Ba phương pháp chứng minh E = γmc².

Cách thứ nhất là dựa vào dE/dt = F.v đề cập ở đoạn 1b. Dùng đẳng thức F =[mγ³(v.a)/c²] v + mγa vừa thiết lập ở trên, ta có F.v = mγ³(v.a), khi kết hợp nó với (1), ta được F.v =  mc² dγ/dt = dE/dt và như vậy E = γmc².

Cách thứ hai là liên kết thành phần p⁰ = γmc (của tứ-vectơ xung lượng p^μ) với năng lượng E, và xin chú tâm đến thứ nguyên ML²/T² của năng lượng (ba đại lượng cơ bản, khối lượng M, chiều dài không gian L, thời gian T).Vậy phép phân tích thứ nguyên bảo ta p⁰ = E chia cho một vận tốc nào đó. Ta chỉ có hai lựa chọn, đó là v hay c, nhưng v không thích hợp vì nó có thể bằng 0 và đưa p⁰ đến một giới hạn vô tận, vậy p⁰ = E/c. Với p⁰ = γmc, ta có E = γmc². Lựa chọn p⁰ = E/c còn phù hợp với trường hợp v « c, vì khi ta khai triển hệ số γm thành chuỗi (v/c)ⁿ thì ta có γm ~ m + (½)m(v²/c²) + ..., ta nhận ra  γmc² chứa đựng động năng (½)mv² quen thuộc của cơ học. Đó cũng là phương pháp mà Einstein đã dùng để tìm ra phương trình của thế kỷ.

Cách thứ ba hơi dò dẫm, như một thử nghiệm (educated guess) đôi khi được sử dụng trong nghiên cứu khoa học. Ta nhận thấy mặc dầu bốn thành phần của tứ-vectơ p^μ, vì phụ thuộc vào hệ số γ nên chúng đều thay đổi theo v, nhưng độ dài bình phương của tứ-vectơ (p⁰)² – |p|² không phụ thuộc vào v nữa, nó bất biến: (p⁰)² – |p|² = m²c². Cũng vậy, năng lượng E = γmc² và xung lượng p = γmv đều thay đổi theo các hệ quy chiếu nhưng E² – |p|²c² không phụ thuộc vào v, nó bất biến trong mọi hệ quy chiếu: E² – |p|²c² = m²c⁴. Tính chất bất biến là điều kiện tiên quyết mà thuyết tương đối đòi hỏi. Nếu E ≠ γmc² (thí dụ E = γmcv),  ta không có một bất biến nào.  Vậy hai phương trình cơ bản của thuyết tương đối hẹp là:

E² – |p|²c² = m²c⁴                    (2)

p  =  v (E/c²)                             (3)

Hai phương trình trên áp dụng cho mọi trường hợp của khối lượng m bằng hay khác 0. Với photon (hay neutrino m ≈ 0), phương trình (2) cho ta E = pc. Hơn nữa photon vì có khối lượng m = 0, nó chẳng bao giờ bất động, vận tốc lúc nào cũng bằng c, do đó tích số γm của photon mang dạng 0/0, nó có thể là bất cứ một con số nào. Năng lượng E = γmc² như thế rất có thể khác 0 và thực vậy. Ta đi vào lãnh vực của lượng tử với Planck và Einstein: E = hν = pc. Năng lượng của photon không xác định được trong thuyết tương đối mà lại đến bằng con đường lượng tử với Planck và Einstein. Tuy khối lượng bằng 0, photon có năng lượng tỷ lệ với tần số dao động ν của nó và h = 6.63 x10^–34 Js là hằng số Planck. Tuy h cực kỳ nhỏ nhưng tần số ν của sóng điện từ rất lớn (hàng tỷ lần tỷ trong một giây đồng hồ) nên năng lượng E = hν không nhỏ.

Tóm lược

Khối lượng m mang tính chất nội tại của một vật, nó không phụ thuộc vào bất kỳ hệ quy chiếu nào. Khối lượng m phải là một bất biến (như vận tốc ánh sáng c, hay điện tích e của electron), trong bất kỳ hệ quy chiếu nào nó phải như nhau. Không có khối lượng của vật chuyển động m(v) hay khối lượng của vật đứng yên m₀ = m(v = 0), chỉ có một khối lượng duy nhất không thay đổi với vận tốc, m = √(E² –|p|²c² )/c².

Tích số của γ với m trong thuyết tương đối hẹp không nên hiểu và truyền bá trong sách giáo khoa[12] theo nghĩa “khối lượng là một hàm số của vận tốc’’ và viết γm dưới dạng m(v) = m₀/√(1 –v² /c²). Hệ số γ là kết quả tuyệt vời của phép hoán chuyển Lorentz, là chìa khóa mở đường cho thuyết tương đối với biết bao hậu quả kinh ngạc mà E = γmc² là dấu ấn ai cũng nghe biết đến. Thuở ban đầu của thuyết tương đối cách đây trăm năm, những ký hiệu như m(v) = m₀/√(1 –v² /c²) và m₀ thường được dùng cho khối lượng, nhưng ngày nay ta chỉ nên coi chúng như một giai đoạn đã qua và nên nhớ rằng khối lượng bất biến với hoán chuyển Lorentz mới có ý nghĩa vật lý. Dùng thuật ngữ chính xác và thuần lý rất quan trọng trong việc truyền bá kiến thức cho học sinh, sinh viên và những nhà khoa học khác ngành để cùng chia sẻ, nắm bắt và nhận thức sâu sắc cái đẹp của thuyết tương đối.

Bài trước | Bài kế tiếp