Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng và định luật bảo toàn động lượng

Chúng tôi trích giới thiệu với các bạn một số bản dịch từ tác phẩm Những câu hỏi và bài tập vật lí phổ thông của hai tác giả người Nga L. Tarasov và A. Tarasova, sách xuất bản ở Nga năm 1968. Bản dịch lại từ bản tiếng Anh xuất bản năm 1973.

Các bài giảng được trình bày dưới dạng thảo luận hỏi đáp giữa giáo viên và học sinh.

§10. Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng và định luật bảo toàn động lượng

GV: Để mở đầu, tôi muốn nêu ra một vài bài toán đơn giản. Bài thứ nhất: Hai vật trượt không ma sát xuống hai mặt phẳng nghiêng có độ cao H bằng nhau nhưng với hai góc nghiêng khác nhau α₁ và α₂. Vận tốc ban đầu của hai vật bằng không. Tìm vận tốc của hai vật tại cuối đường đi của chúng. Bài thứ hai: Chúng ta biết công thức biểu diễn vận tốc cuối của một vật theo gia tốc và quãng đường đi v = √(2as) dùng cho trường hợp khi không có vận tốc ban đầu. Công thức này sẽ có dạng như thế nào nếu như vật có vận tốc ban đầu v₀? Bài thứ ba: Một vật được ném từ một độ cao H với vận tốc nằm ngang v₀. Tìm vận tốc của nó khi nó rơi chạm đất. Bài thứ tư: Một vật được ném lên hợp một góc a với phương ngang với vận tốc ban đầu v₀. Tìm độ cao cực đại mà vật lên tới.

HS A: Em sẽ giải bài thứ nhất theo cách như sau. Trước tiên, chúng ta xét một trong hai mặt phẳng nghiêng, chẳng hạn mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α₁. Có hai lực tác dụng lên vật: trọng lực P và phản lực pháp tuyến N₁. Ta phân tích lực P thành hai thành phần, một thành phần song song với mặt phẳng nghiêng (P sinα₁) và thành phần kia vuông góc với nó (P cosα₁). Sau đó ta viết phương trình cho những lực vuông góc với mặt phẳng nghiêng:

Vì kết quả cuối cùng không phụ thuộc vào góc nghiêng, nên nó cũng áp dụng được cho mặt phẳng nghiêng thứ hai với góc nghiêng α₂.

Để giải bài toán thứ hai, em sẽ sử dụng những phương trình động học đã biết

v = v₀ + at
s = v₀t + at²/2

Từ phương trình thứ nhất ta tìm được t = (v – v₀)/a. Thay vào cho t trong phương trình thứ hai ta được

Để giải bài thứ ba, trước tiên em sẽ tìm thành phần vận tốc nằm ngang v₁ và thành phần vận tốc thẳng đứng v₂ của vận tốc ban đầu. Vì vật chuyển động với vận tốc không đổi theo phương ngang nên v₁ = v₀. Theo phương thẳng đứng, vật chuyển động với gia tốc g nhưng không có vận tốc ban đầu. Do đó, ta có thể sử dụng công thức v₂ = √(2gH). Vì tổng bình phương hai cạnh của một tam giác vuông bằng với bình phương cạnh huyền, nên kết quả cuối cùng là

Bài toán thứ tư đã đề cập trong §5. Ta cần phân tích vận tốc ban đầu thành những thành phần nằm ngang (v₀ cosa) và thẳng đứng (v₀ sina). Sau đó ta xét chuyển động thẳng đứng của vật và, trước tiên, ta tìm thời gian đi lên t₁ từ công thức sự phụ thuộc của vận tốc vào thời gian trong chuyển động chậm dần đều (v_y = v₀ sina – gt), biết rằng lúc t = t₁ vận tốc thẳng đứng của vật biến mất. Như vậy v₀ sinα – gt₁ = 0, từ đó t₁ = (v₀/g) sina. Thời gian t₁ đã biết, giờ ta tìm độ cao H từ công thức đường đi phụ thuộc thời gian của chuyển động chậm dần đều. Như vậy

GV: Trong cả bốn trường hợp em đều đã có đáp số đúng. Tuy nhiên, tôi không hài lòng với cách em giải những bài toán này. Chúng có thể được giải đơn giản hơn nhiều nếu em sử dụng định luật bảo toàn năng lượng. Các em có thể tự thấy điều đó.

Bài thứ nhất. Định luật bảo toàn năng lượng có dạng mgH = mv²/2 (thế năng của vật tại đỉnh mặt phẳng nghiêng bằng với động năng của nó tại chân mặt phẳng nghiêng). Từ phương trình này ta dễ dàng tìm được vận tốc của vật tại chân mặt phẳng nghiêng

v = √(2gH)

Bài thứ hai. Trong trường hợp này, định luật bảo toàn năng lượng có dạng mv₀²/2 + mas = mv²/2, trong đó mas là công thực hiện bởi lực đang truyền gia tốc a cho vật. Biểu thức này lập tức đưa đến v₀² + 2as = v², hay

Bài thứ tư. Tại điểm vật được ném lên, năng lượng của nó bằng mv₀²/2. Tại điểm trên cùng của quỹ đạo của nó, năng lượng của vật là mgH + mv₁²/2. Vì vận tốc v₁ tại điểm trên cùng bằng v₀ cosα, cho nên, sử dụng định luật bảo toàn năng lượng

HS A: Vâng, em thấy khá rõ là những bài toán này có thể giải theo một cách đơn giản hơn nhiều. Tiếc là em đã không sử dụng định luật bảo toàn năng lượng.

GV: Thật không may, các thí sinh thường hay quên định luật này. Cho nên, họ bắt đầu giải những bài toán như vậy bằng những phương pháp rắc rối hơn, do đó làm tăng thêm xác suất sai sót. Lời khuyên của tôi là: hãy linh hoạt hơn và sử dụng rộng rãi định luật bảo toàn năng lượng.

Ở đây nảy sinh vấn đề: Các em có thể sử dụng định luật này thành thạo như thế nào?

HS A: Em thấy dường như không cần kĩ năng đặc biệt nào hết; định luật bảo toàn năng lượng khá đơn giản.

GV: Khả năng áp dụng chính xác một định luật vật lí không được quyết định bởi tính phức tạp hay tính đơn giản của nó. Xét một ví dụ. Giả sử một vật chuyển động với vận tốc không đổi trong một vòng tròn nằm trong mặt phẳng ngang. Không có lực ma sát. Vật chịu một lực hướng tâm. Công thực hiện bởi lực này trong một vòng chuyển động của vật là bao nhiêu?

HS A: Công bằng tích của lực và quãng đường đi mà nó tác dụng. Như vậy, trong trường hợp của chúng ta nó bằng (mv²/R)2πR = 2πmv², trong đó R là bán kính của vòng tròn, m và v là khối lượng và vận tốc của vật.

GV: Theo định luật bảo toàn năng lượng, công không thể hoàn toàn biến mất. Công em vừa mới tính đã biến thành cái gì?

HS A: Nó dùng để làm quay vật.

GV: Tôi không hiểu. Hãy nói chính xác hơn.

HS A: Nó giữ cho vật chuyển động tròn.

GV: Lí giải của em sai rồi. Không cần có công gì hết để giữ cho vật chuyển động tròn.

HS A: Vậy em không biết làm sao trả lời câu hỏi của thầy.

GV: Năng lượng truyền cho một vật có thể được phân bố, như các nhà vật lí nói, trong các “kênh” sau đây: (1) tăng động năng của vật; (2) tăng thế năng của nó; (3) công thực hiện bởi vật đã cho lên những vật khác và (4) nhiệt sinh ra do ma sát. Đó là nguyên lí chung mà không phải thí sinh nào cũng hiểu rõ.

Giờ hãy xét công của lực hướng tâm. Vật chuyển động với một vận tốc không đổi và do đó động năng của nó không tăng. Như vậy, kênh thứ nhất bị loại. Vật chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang và hệ quả là thế năng của nó không thay đổi. Kênh thứ hai cũng bị loại. Vật đã cho không thực hiện bất cứ công nào lên vật khác, cho nên kênh thứ ba bị loại. Cuối cùng, mọi loại ma sát đã bị loại trừ. Hệ quả là loại luôn kênh thứ tư và là kênh cuối cùng.

HS A: Nhưng khi đó có hay không có công của lực hướng tâm?

GV: Như em thấy đó, không có. Bây giờ vẫn còn cơ hội cho em đưa ra kết luận của mình. Hoặc là em thừa nhận rằng định luật bảo toàn năng lượng không đúng, và khi đó toàn bộ vướng mắc của em không còn nữa, hoặc là em tiếp tục công nhận giá trị của định luật này và rồi... Tuy nhiên, hãy cố gắng tìm cách loại đi những khó khăn của em.

HS A: Theo em vẫn nên kết luận rằng lực hướng tâm không thực hiện công nào hết.

GV: Đó là một kết luận khá hợp lí. Tôi muốn nói rằng nó chính là hệ quả trực tiếp của định luật bảo toàn năng lượng.

HS B: Mọi thứ đã sáng tỏ rồi, nhưng chúng ta làm gì với công thức cho công thực hiện bởi một vật?

GV: Ngoài lực và quãng đường đi mà nó tác dụng, công thức này còn chứa cosin của góc giữa hướng của lực và vận tốc

A = Fs cosα

Trong trường hợp đã cho cosα = 0.

HS A: Ồ vâng, em hoàn toàn quên mất lượng cosin này.

GV: Tôi muốn nêu ra một ví dụ nữa. Xét hai bình thông nhau nối lại bằng một cái ống hẹp có van chặn. Giả sử lúc đầu toàn bộ chất lỏng ở bình bên trái và chiều cao của nó là H (Hình 43a). Sau đó, chúng ta mở van và chất lỏng chảy từ bình bên trái sang bình bên phải. Dòng chảy ngừng lại khi có mức cao bằng nhau H/2 ở mỗi bình (Hình 43b). Ta hãy tính thế năng của chất lỏng ở vị trí đầu và vị trí cuối. Để tính ta nhân trọng lượng của chất lỏng trong mỗi bình với nửa chiều cao của cột chất lỏng. Ở vị trí ban đầu thế năng bằng PH/2, và ở vị trí cuối thế năng là (P/2)(H/4) + (P/2)(H/4) = PH/4. Như vậy, ở trạng thái cuối thế năng của vật hóa ra chỉ bằng một nửa thế năng lúc ban đầu. Vậy một nửa năng lượng đã tiêu tán đi đâu?

HS A: Em sẽ cố gắng lí giải như thầy đã khuyên. Phần thế năng PH/4 có thể đã dùng để thực hiện công lên những vật khác, sinh nhiệt do ma sát, và động năng của chính khối chất lỏng. Đúng không thầy?

GV: Khá chính xác. Hãy nói tiếp đi.

HS A: Trong trường hợp của chúng ta, chất lỏng chảy từ bình này sang bình kia không thực hiện bất kì công nào lên vật khác. Chất lỏng không có động năng ở trạng thái cuối vì nó ở trạng thái tĩnh. Như vậy cái còn lại để kết luận là một nửa thế năng đã chuyển hóa thành nhiệt do ma sát. Thật vậy, em không có khái niệm rõ ràng cho lắm loại ma sát này là gì.

GV: Em đã lí giải chính xác và đi tới kết luận đúng. Tôi muốn bổ sung thêm vài lời về bản chất của lực ma sát đó. Ta có thể tưởng tượng rằng chất lỏng được chia thành từng lớp, mỗi lớp đặc trưng một tốc độ chảy rõ ràng. Lớp càng gần thành bình thì vận tốc của nó càng nhỏ. Có sự hoán đổi phân tử giữa các lớp, hệ quả của những phân tử có vận tốc cao hơn của chuyển động trật tự đi xen vào giữa những phân tử có vận tốc thấp hơn của chuyển động trật tự, và ngược lại. Như vậy, lớp “nhanh” có tác dụng làm tăng tốc lớp “chậm” và, ngược lại, lớp “chậm” có tác dụng làm giảm tốc lớp “nhanh”. Hình ảnh này cho phép chúng ta nói tới sự tồn tại của sự ma sát nội tại giữa các lớp. Sự chênh lệch vận tốc của các lớp ở giữa bình và ở gần thành bình càng lớn thì tác dụng ma sát càng mạnh. Lưu ý rằng vận tốc của các lớp ở gần thành bình bị ảnh hưởng bởi loại tác dụng nội tại giữa các phân tử chất lỏng và các phân tử thành bình. Nếu chất lỏng làm ướt bình chứa thì lớp liền kề với thành bình thật sự là tĩnh.

HS A: Điều này có phải là ở trạng thái cuối nhiệt độ của chất lỏng có phần cao hơn ở trạng thái ban đầu?

GV: Vâng, chính xác thế. Bây giờ chúng ta sẽ thay đổi điều kiện của bài toán đi một chút. Giả sử không có tương tác giữa chất lỏng và thành bình. Do đó, tất cả các lớp sẽ chảy với vận tốc bằng nhau và sẽ không có lực nội ma sát. Khi đó làm thế nào chất lỏng chảy từ bình này sang bình kia?

HS A: Ở đây thế năng sẽ giảm vì chất lỏng cần có động năng. Nói cách khác, trạng thái minh họa ở Hình 43b không phải là trạng thái nghỉ. Chất lỏng sẽ tiếp tục chảy từ bình bên trái sang bình bên phải cho đến khi nó đạt tới trạng thái như thể hiện ở Hình 43c. Ở trạng thái này thế năng một lần nữa bằng với ở trạng thái ban đầu (Hình 43a).

GV: Hiện tượng gì sẽ xảy ra với chất lỏng sau đó?

HS A: Chất lỏng sẽ bắt đầu chảy về theo hướng ngược lại, từ bình bên phải sang bình bên trái. Như vậy, mực chất lỏng sẽ thăng giáng ở hai bình thông nhau.

GV: Những quan sát như thế có thể quan sát được, chẳng hạn, ở những bình thông nhau thủy tinh chứa thủy ngân. Chúng ta biết rằng thủy ngân không dính ướt thủy tinh. Tất nhiên, những thăng giáng này sẽ bị tắt dần theo thời gian, vì không thể nào loại trừ hoàn toàn sự tương tác giữa các phân tử chất lỏng và các phân tử thành bình.

HS A: Em thấy định luật bảo toàn năng lượng có thể được áp dụng khá tích cực.

GV: Đây là một bài toán khác dành cho các em. Một viên đạn khối lượng m, đang chuyển động theo phương ngang với vận tốc v₀, đến va chạm với một khối gỗ khối lượng M, treo lơ lửng bên dưới một sợi dây, và dính vào trong gỗ. Hỏi sau khi viên đạn cắm vào, khối gỗ sẽ nâng lên đến độ cao H bằng bao nhiêu, do sự lệch của dây treo khỏi vị trí cân bằng (Hình 44)?

HS A: Ta kí hiệu v₁ là vận tốc của khối gỗ và viên đạn ngay sau khi đạn bay vào trong gỗ. Để tìm vận tốc này, ta dùng định luật bảo toàn năng lượng. Như vậy

Biết được vận tốc này, ta đi tính độ cao H bằng cách sắp xếp lại định luật bảo toàn năng lượng

GV (nói với HS B): Em nghĩ gì về cách giải này?

HS B: Tôi không tán thành thế. Chúng ta đã nói ở phần trước rằng trong những trường hợp như vậy cần sử dụng định luật bảo toàn động lượng. Do đó, thay cho phương trình (50), em sẽ dùng một liên hệ khác

mv₀ = (m + M)v₁                     (54)

(động lượng của viên đạn trước khi nó va chạm với khối gỗ bằng động lượng của viên đạn và khối gỗ sau đó). Từ biểu thức này ta có

GV: Chúng ta có hai quan điểm và hai kết quả khác nhau. Theo một quan điểm thì áp dụng định luật bảo toàn động năng, còn theo quan điểm kia thì áp dụng định luật bảo toàn động lượng. Quan điểm nào đúng? (nói với HS A) Em có thể nói gì để chứng minh cho quan điểm của mình?

HS A: Em đã không sử dụng định luật bảo toàn động lượng.

GV (nói với HS B): Còn em sẽ nói gì?

HS B: Em không biết làm thế nào chứng minh cho quan điểm của mình. Em nhớ là khi gặp bài toán va chạm thì định luật bảo toàn động lượng luôn luôn có giá trị sử dụng, còn định luật bảo toàn năng lượng không phải lúc nào cũng dùng tốt. Vì trong trường hợp đã cho, những định luật này đưa đến những kết quả khác nhau, nên cách giải của em rõ ràng là đúng.

GV: Trước tiên, cách giải của em thật sự khá chính xác. Tuy nhiên, ta cần xét kĩ hơn vấn đề này. Một va chạm mà sau đó các vật va chạm dính lại với nhau (hay vật này nằm trong vật kia) được gọi là “va chạm hoàn toàn không đàn hồi”. Tiêu biểu trong những va chạm như thế là sự có mặt của sự bố trí vĩnh viễn ở những vật va chạm, hệ quả của nhiệt sinh ra do ma sát. Vì thế, phương trình (50), chỉ nói tới động năng của các vật, là không áp dụng được. Trong trường hợp của chúng ta, cần sử dụng định luật bảo toàn động lượng (54) để tìm vận tốc của khối gỗ và viên đạn sau va chạm.

HS A: Ý thầy nói là định luật bảo toàn năng lượng không có giá trị đối với một va chạm hoàn toàn không đàn hồi chăng? Nhưng định luật này có tính vạn vật mà.

GV: Không ai nghi ngờ chuyện định luật bảo toàn năng lượng có giá trị đối với một va chạm hoàn toàn không đàn hồi. Động năng không được bảo toàn sau một va chạm như thế. Tôi nói riêng động năng chứ không nói toàn bộ năng lượng. Kí hiệu nhiệt sinh ra trong va chạm là Q, ta có thể viết hệ định luật bảo toàn sau đây cho va chạm hoàn toàn không đàn hồi vừa nói ở trên

Ở đây phương trình thứ nhất là định luật bảo toàn động lượng, và phương trình thứ hai là định luật bảo toàn năng lượng (không chỉ tính cơ năng, mà còn xét cả nhiệt năng).

Hệ phương trình (57) có hai biến: v₁ và Q. Sau khi xác định v₁ từ phương trình thứ nhất, ta có thể sử dụng phương trình thứ hai để tìm nhiệt lượng Q

Rõ ràng từ phương trình này là khối lượng M càng lớn, thì năng lượng chuyển hóa thành nhiệt càng nhiều. Tính giới hạn, với khối lượng M vô cùng lớn, ta thu được Q = mv₀²/2, tức là toàn bộ động năng chuyển hóa thành nhiệt. Điều này khá tự nhiên thôi: ví dụ như trường hợp viên đạn bay dính vào tường.

HS A: Có thể có va chạm nào trong đó không có nhiệt sinh ra hay không?

GV: Có, những va chạm như thế là có thể. Chúng được gọi là va chạm “hoàn toàn đàn hồi”. Chẳng hạn, va chạm giữa hai quả cầu thép có thể xem là hoàn toàn đàn hồi với một mức độ gần đúng hợp lí. Sự biến dạng đàn hồi thuần túy của hai quả cầu xảy ra và không có nhiệt sinh ra. Sau va chạm, hai quả cầu trở lại hình dạng ban đầu của chúng.

HS A: Ý thầy nói là trong một va chạm hoàn toàn đàn hồi định luật bảo toàn năng lượng trở thành định luật bảo toàn động năng?

GV: Ừ, tất nhiên rồi.

HS A: Nhưng trong trường hợp này, em không thể nào hiểu làm thế nào thầy dung hòa định luật bảo toàn động lượng và định luật bảo toàn năng lượng. Chúng ta thu được hai phương trình hoàn toàn khác nhau cho vận tốc sau va chạm. Hoặc, có lẽ, định luật bảo toàn động lượng không có ý nghĩa trong một va chạm hoàn toàn đàn hồi.

GV: Cả hai định luật đều có ý nghĩa trong một va chạm hoàn toàn đàn hồi: bảo toàn động lượng và bảo toàn động năng. Em chẳng có lí do gì để ngần ngại chuyện phối hợp hai định luật này bởi vì sau một va chạm hoàn toàn đàn hồi, các vật bay ra xa nhau ở những vận tốc khác nhau. Trong khi sau một va chạm hoàn toàn không đàn hồi các vật va chạm chuyển động với cùng vận tốc (vì chúng dính vào nhau), thì sau một va chạm đàn hồi mỗi vật chuyển động với một vận tốc xác định riêng của nó. Hai biến chưa biết đòi hỏi có hai phương trình. Ta hãy xét một ví dụ. Giả sử một vật khối lượng m đang chuyển động với vận tốc v₀ va chạm đàn hồi với một vật khối lượng M đang đứng yên. Giả sử thêm rằng sau va chạm vật đi tới đó bật ngược trở lại. Ta sẽ kí hiệu vận tốc của vật m sau va chạm là v₁ và của vật M là v₂. Khi đó định luật bảo toàn năng lượng và động lượng có thể viết ở dạng

Lưu ý dấu trừ trong phương trình thứ nhất. Nó xuất hiện là do giả sử của chúng ta rằng vật đi tới bị bật ngược trở lại.

HS B: Nhưng thầy không phải lúc nào cũng biết trước hướng chuyển động của vật sau va chạm. Phải chăng vật m không thể tiếp tục chuyển động theo hướng cũ với một vận tốc nhỏ hơn sau va chạm?

GV: Nó có thể chứ. Trong trường hợp như vậy ta sẽ thu được một vận tốc v₁ âm khi giải hệ phương trình (59).

HS B: Em nghĩ rằng hướng chuyển động của vật m sau va chạm được xác định bởi tỉ số của khối lượng m và M.

GV: Chính xác. Nếu m < M, vật m sẽ bật trở lại; nếu m = M, nó sẽ nằm yên sau va chạm; và nếu m > M, nó sẽ tiếp tục chuyển động theo hướng cũ nhưng với một vận tốc nhỏ hơn. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, các em không cần ngại vấn đề hướng chuyển động. Ta sẽ giả sử một hướng nào đó và bắt đầu tính toán. Dấu của đáp số tính được sẽ cho em biết em có giả sử sai hay không.

HS B: Chúng ta biết rằng sau va chạm các quả cầu có thể chuyển động ra xa nhau theo hướng hợp với nhau một góc nào đó. Chúng ta đã giả sử rằng chuyển động xảy ra theo một đường thẳng. Rõ ràng đây phải là một trường hợp đặc biệt mà thôi.

GV: Em nói đúng. Chúng ta đã xét cái gọi là va chạm xuyên tâm trong đó các quả cầu chuyển động trước và sau va chạm theo một đường thẳng đi qua tâm của chúng. Trường hợp tổng quát hơn là va chạm lệch tâm sẽ được xét tới sau. Ở đây tôi muốn biết mọi thứ đã khá rõ ràng hay chưa.

HS A: Em nghĩ là mình đã hiểu rồi. Như em thấy, trong mọi va chạm (đàn hồi hay không đàn hồi), có thể áp dụng được hai định luật bảo toàn: động lượng và năng lượng. Chỉ là bản chất khác nhau của các va chạm dẫn tới những phương trình khác nhau mô tả các định luật bảo toàn. Khi xét những va chạm không đàn hồi, cần kể đến nhiệt sinh ra trong va chạm đó.

GV: Nhận xét của em là đúng và ngắn gọn.

HS B: Như em hiểu cho đến đây thì va chạm hoàn toàn đàn hồi và va chạm hoàn toàn không đàn hồi là hai trường hợp cực độ. Chúng có luôn luôn thích hợp để mô tả những trường hợp thực tế hay không?

GV: Em hay đấy khi đưa ra vấn đề này. Những trường hợp va chạm mà chúng ta vừa xét là những trường hợp cực độ. Trong những va chạm thực tế, một lượng nhiệt nhất định luôn luôn được sinh ra (không có sự biến dạng đàn hồi lí tưởng) và các vật va chạm có thể chuyển động ra xa nhau với những vận tốc khác. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp những va chạm thực tế được mô tả khá tốt theo những mô hình đã giản lược hóa: va chạm hoàn toàn đàn hồi và va chạm hoàn toàn không đàn hồi.

Bây giờ chúng ta hãy xét một ví dụ va chạm đàn hồi lệch tâm. Một vật ở dạng một mặt phẳng nghiêng với góc nghiêng 45^o đang nằm trên mặt phẳng ngang. Một quả cầu khối lượng m, đang bay ngang với vận tốc v₀, đến va chạm với vật (mặt phẳng nghiêng) có khối lượng M. Hệ quả của sự va chạm là quả cầu bật lên theo phương thẳng đứng và vật M bắt đầu trượt không ma sát trên mặt phẳng ngang. Hãy tìm vận tốc bay lên thẳng đứng của quả cầu ngay sau khi va chạm (Hình 45). Em nào muốn thử giải bài toán này?

HS B: Cho phép em làm thử. Ta kí hiệu vận tốc cần tìm của quả cầu là v₁ và của vật M là v₂. Vì va chạm là đàn hồi, nên em có quyền giả sử rằng động năng được bảo toàn. Như vậy

Em cần thêm một phương trình nữa, cái dễ thấy là em nên sử dụng định luật bảo toàn động lượng. Em sẽ viết nó ở dạng

mv₀ = Mv₂ + mv₁                    (61)

Thật ra em không chắc về phương trình thứ hai vì vận tốc v₁ vuông góc với vận tốc v₂.

GV: Phương trình (60) là đúng. Phương trình (61) thì không đúng, giống như em nghĩ. Em nên nhớ rằng định luật bảo toàn động lượng là một phương trình vector, vì động lượng là một đại lượng vector có cùng chiều với vận tốc. Nói chung, khi toàn bộ các vận tốc nằm trên cùng một đường thẳng, thì phương trình vector có thể được thay bằng một phương trình vô hướng. Đó chính là cái xảy ra khi chúng ta thảo luận về những va chạm xuyên tâm. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, ta cần phân tích toàn bộ các vận tốc theo những phương vuông góc nhau và viết định luật bảo toàn động lượng cho riêng từng phương này (nếu bài toán được xét trong một mặt phẳng, thì phương trình vector có thể được thay bằng hai phương trình vô hướng cho hình chiếu của động lượng lên hai phương vuông góc nhau).

Với bài toán đã cho, ta có thể chọn phương nằm ngang và phương thẳng đứng. Đối với phương ngang, định luật bảo toàn động lượng có dạng

mv₀ = Mv₂                               (62)

Từ phương trình (60) và (62) ta tìm được vận tốc

HS B: Chúng ta làm gì với phương thẳng đứng?

GV: Thoạt nhìn, có vẻ như định luật bảo toàn động lượng không đúng đối với phương thẳng đứng. Nhưng thật ra không phải. Trước va chạm, không có vận tốc nào thẳng đứng hết; sau va chạm, có một động lượng mv₁ hướng theo phương thẳng đứng. Ta có thể thấy ngay rằng còn có một vật khác liên quan trong bài toán: trái đất. Nếu không có trái đất, vật M sẽ không chuyển động ngang sau va chạm. Ta hãy kí hiệu khối lượng của trái đất là M_e và vận tốc mà nó thu được do hệ quả của va chạm là v_e. Sự không có mặt của ma sát cho phép chúng ta xét tương tác giữa vật M và trái đất chỉ xảy ra theo phương thẳng đứng. Nói cách khác, vận tốc v_e của trái đất hướng thẳng đứng xuống dưới. Như vậy, sự tham gia của trái đất trong bài toán không làm thay đổi dạng của phương trình (62), nhưng đưa đến một phương trình mô tả định luật bảo toàn động lượng theo phương thẳng đứng

mv₁ – M_ev_e = 0             (63)

HS B: Vì trái đất cũng tham gia vào bài toán này, cho nên rõ ràng sẽ cần sửa lại phương trình năng lượng (60).

GV: Vậy em sửa như thế nào cho phương trình (60)?

HS B: Em muốn thêm một số hạng về chuyển động của trái đất sau va chạm

Vì khối lượng M_e trên thực tế hết sức lớn, nên vận tốc v_e của trái đất sau va chạm trên thực tế là bằng không. Bây giờ, ta hãy viết lại số hạng M_ev_e²/2 trong phương trình (64) có dạng (M_ev_e)v_e/2. Theo phương trình (63), đại lượng M_ev_e trong tích này có một giá trị hữu hạn. Nếu nhân giá trị này với không (trong trường hợp đã cho v_e là bằng không), thì tích cũng sẽ bằng không. Từ đây ta có thể kết luận rằng trái đất tham gia rất kì cục trong bài toán này. Nó thu một động lượng nhất định, nhưng đồng thời trên thực tế nó không nhận năng lượng nào hết. Nói cách khác, nó tham gia vào định luật bảo toàn động lượng nhưng không tham gia vào định luật bảo toàn năng lượng. Trường hợp này là bằng chứng đặc biệt nổi bật của thực tế rằng định luật bảo toàn năng lượng và động lượng là những định luật khác nhau về cơ bản, và độc lập với nhau.

Bài tập

22. Một vật khối lượng 3 kg rơi từ một độ cao nhất định với vận tốc ban đầu 3 m/s theo phương thẳng đứng. Tìm công thực hiện để thắng lực cản của không khí trong 10 giây, biết rằng vật thu được vận tốc 50 m/s lúc cuối khoảng thời gian 10 giây. Giả sử lực cản của không khí là không đổi.

23. Một vật trượt xuống một mặt phẳng nghiêng góc 30^o sau đó trượt tiếp trên một mặt ngang. Xác định hệ số ma sát, biết rằng quãng đường vật trượt trên mặt phẳng ngang bằng với trên mặt phẳng nghiêng.

24. Tính hiệu suất của một mặt phẳng nghiêng trong trường hợp khi một vật trượt ra khỏi nó với vận tốc không đổi.

25. Một quả cầu khối lượng m và thể tích V thả rơi vào trong nước từ độ cao H, chìm xuống độ sâu h, và sau đó thì nhảy ra khỏi nước (tỉ trọng của quả cầu nhỏ hơn của nước). Tìm lực cản của nước (giả sử nó là không đổi) và độ cao h₁ quả cầu lên tới sau khi nó nhảy ra khỏi nước. Bỏ qua sức cản không khí. Tỉ trọng của nước kí hiệu là r_n.

26. Một đầu tàu hỏa có khối lượng 50 tấn, đang chuyển động với vận tốc 12 km/h, móc vào một toa tàu trần khối lượng 30 tấn đang đứng yên trên cùng đường ray. Tìm vận tốc chuyển động chung của đầu tàu và toa xe ngay sau khi chuyển động ghép nối tự động hoạt động. Tính quãng đường đi được bởi hai xe sau khi ghép nối, biết lực cản bằng 5% trọng lượng.

27. Một khẩu đại bác khối lượng M, đặt tại chân một mặt phẳng nghiêng, bắn ra một viên đạn khối lượng m theo phương ngang với vận tốc ban đầu v₀. Hỏi khẩu đại bác leo lên đến độ cao nào trên mặt phẳng nghiêng do sự giật lùi nếu góc nghiêng của mặt phẳng đó là a và hệ số ma sát giữa khẩu đại bác và mặt phẳng nghiêng là k?

28. Hai quả cầu khối lượng M và 2M treo bên dưới hai sợi dây mảnh chiều dài l buộc cố định tại cùng một điểm. Quả cầu M được kéo về một phía nghiêng một góc a và thả ra sau khi truyền cho nó một vận tốc tiếp tuyến v₀ hướng về phía vị trí cân bằng. Hỏi hai quả cầu sẽ nâng lên đến độ cao bao nhiêu nếu: (1) va chạm là hoàn toàn đàn hồi, và (2) va chạm là hoàn toàn không đàn hồi (hai quả cầu dính vào nhau sau va chạm)?

29. Một quả cầu khối lượng M treo dưới một sợi dây chiều dài l. Một viên đạn khối lượng m, đang bay theo phương ngang, đến cắm vào quả cầu và mắc kẹt trong đó. Hỏi viên đạn phải có vận tốc tối thiểu bao nhiêu để cho quả cầu quay trọn một vòng tròn trong mặt phẳng thẳng đứng?

30. Hai cái nêm có cùng góc nghiêng 45^o và mỗi nêm có khối lượng M đang nằm trên một mặt phẳng ngang (Hình 46). Một quả cầu khối lượng m (m << M) thả tự do từ độ cao H. Quả cầu va chạm với nêm này rồi tới nêm kia, sau đó bật lên theo phương thẳng đứng. Tìm độ cao mà quả cầu bật lên tới. Giả sử cả hai va chạm là đàn hồi và không có ma sát giữa hai cái nêm và mặt phẳng ngang.

31. Một cái nêm có góc nghiêng 30^o và khối lượng M nằm trên một mặt phẳng ngang. Một quả cầu khối lượng m thả tự do từ độ cao H, va đàn hồi với cái nêm và bật lên nghiêng góc 30^o so với phương ngang. Hỏi quả cầu bật lên tới độ cao bao nhiêu? Bỏ qua ma sát giữa cái nêm và mặt phẳng ngang.

Những câu hỏi và bài tập vật lí phổ thông
L. Tarasov và A. Tarasova
Trần Nghiêm dịch
Phần tiếp theo >>

Bài trước | Bài kế tiếp