Những con số làm nên vũ trụ - Phần 48

Bước vào Thế giới Lượng tử

Kể từ khi Kirchhoff chứng minh rằng cho dù vật đen làm bằng chất gì, hay hình dạng của nó ra sao là không quan trọng, các nhà vật lí tự do sử dụng bất kì mô hình nào mà họ muốn. Planck chọn lập mô hình hệ là một tập hợp gồm những dao động tử điều hòa đơn giản; một lò xo kim loại là một ví dụ tốt của một dao động tử điều hòa đơn giản. Các phân tử dao động phần nào giống như các lò xo, nên thật ra đó chẳng phải là một giả thuyết quá cường điệu. Planck còn bắt đầu cùng tuyến đi với Rayleigh và Jeans; ông giả sử rằng năng lượng phát ra bởi các dao động tử có thể có bất kì lượng nào có thể đo được. Với cách tiếp cận này, ông cũng gặp phải cái chết miền tử ngoại.

Rồi, một ngày nọ, ông đưa ra một giả thuyết khác – một giả thuyết mà ông nói với con trai của ông rằng ông cảm thấy đó là một quan điểm mang tính cách mạng giống như từng xảy ra với Newton hay Maxwell. Thay vì giả sử các dao động tử có thể phát ra năng lượng ở mọi mức, ông giả sử có một con số h sao cho nếu một dao động tử đang phát ra năng lượng ở tần số ν, thì năng lượng đó phải là bội số nguyên của hν - hν, 2hν, 3hν, vân vân.

Giả thuyết này có một hệ quả tức thì – nó loại trừ cái chết miền tử ngoại bởi việc đặt ra một giới hạn trên lên tần số của bức xạ mà mọi vật đen cho trước có thể phát ra. Vì tổng năng lượng của một vật đen phải là hữu hạn – hãy gọi nó là E – nên cường độ bức xạ phải có một giới hạn trên. Nếu toàn bộ năng lượng trong vật đen được đưa vào một dao động tử (mặc dù khả năng đó rất khó xảy ra) phát ra ở một tần số n, thì giá trị lớn nhất có thể có cho ν sẽ xảy ra nếu E = hν. Nếu đúng như vậy, thì ν = E / h sẽ là tần số cao nhất xảy ra; nếu một dao động tử đang phát ra năng lượng bằng một bội số của hν, ví dụ 2hν, thì tần số sẽ đạt cực đại tại E / 2h; và nếu có những dao động tử khác đang bức xạ, thì sẽ làm giảm giá trị của E sẵn có cho bất kì dao động tử nào cho trước. Điều đó có nghĩa là cái chết miền tử ngoại không thể xảy ra, vì người ta không thể thu được những tần số cao tùy ý để tạo ra cái chết đó. Giả thuyết của Planck là độc đoán, nhưng nó thật sự cho phép ông suy luận ra công thức sau đây cho cường độ: I(ν, T) = (2hν³ / c²) / (e^hv^/kT – 1). Công thức trên có ít nhất ba đặc điểm thu hút. Thứ nhất, nó không sa vào vấn đề có những cường độ lớn tùy ý; phương trình của Planck nhân một hàm số mũ (biến hν lũy thừa ba) với nghịch đảo của hàm số mũ (số e lũy thừa biến hν / kT). Hàm mũ tăng nhanh hơn hàm lũy thừa, nghĩa là hàm Planck có một cường độ cực đại tại nhiệt độ T bất kì nào đó. Ví dụ, hãy xét hàm f(x) = x² / 2^x, nó rất giống với hàm cường độ của Planck. Nếu chúng ta bắt đầu vẽ đồ thị các giá trị của f(x) cho x = 1, 2, 3,…, ta được ½, 2, 3³/₈, 4, 3²⁹/₃₂, và sau đó giá trị của f bắt đầu giảm nhanh về không.

Thứ hai, nếu hν lớn hơn nhiều so với kT, thì e^hν^/kT lớn đến mức việc trừ nó cho 1 (như mẫu thức trong công thức Planck cho chúng ta biết thế) không làm giảm giá trị của nó bao nhiêu, cho nên với những tần số này, I(ν, T) = (2hν³ / c²) / e^hv^/kT. Planck lập tức nhận ra công thức này giống dạng với phép gần đúng Wien I(ν, T) = An³e ^-Bⁿ^/T (vì 1 / x và x^-1 là cùng một nghĩa). Hơn nữa, các hệ số A và B trong phép gần đúng Wien, cái Wien thu được theo kinh nghiệm, lúc này được biểu hiện là hằng số có ý nghĩa vật lí. Số A là 2h / c², và số B là h / k.

Để hiểu đúng đặc điểm thu hút thứ ba của công thức Planck, chúng ta cần sử dụng một kết quả từ giải tích có gốc gác từ Nghịch lí Zeno. Nghịch lí Zeno là một câu đố hiểm hỏi rằng làm thế nào một mũi tên có thể đi đến đích của nó nếu trước tiên nó đi qua trung điểm của đoạn đường đến mục tiêu, rồi trung điểm của đoạn còn lại, rồi trung điểm của đoạn còn lại… và cứ thế. Có vẻ rằng mũi tên đó không bao giờ có thể đi tới đích của nó, vì nó luôn luôn đi qua trung điểm của đoạn đường còn lại. Tuy nhiên, nếu chúng ta nghĩ khoảng cách đến đích là 1, thì quãng đường mà mũi tên đi trong mỗi giai đoạn của Nghịch lí Zeno là ½ trong giai đoạn thứ nhất, ¼ trong giai đoạn thứ hai, ¹/₈ trong giai đoạn thứ ba, vân vân. Tổng quãng đường đi của tất cả những giai đoạn này là ½ + ¼ + ¹/₈ +….

Một lời giải của Nghịch lí Zeno có thể mở rộng bằng cách khảo sát bài toán khái quát hơn là tìm tổng của chuỗi hình học r + r² + r³ + …, trong đó r là một số giữa 0 và 1.

Nếu kí hiệu tổng của những số này là S, thì S = r + r² + r³ + … Nhân cả hai vế của công thức này với r ta được rS = r² + r³ + r⁴ + … Khi ta lấy tổng vô hạn cho S trừ tổng vô hạn cho rS, vì tất cả các số hạng có mặt trong tổng vô hạn rS cũng có mặt trong tổng vô hạn S, nên số hạng không triệt tiêu duy nhất ở S là số hạng đầu tiên r. Vì thế S – rS = r. Vế trái có thể đặt nhân tử, thu được S(1 – r) = r. Suy ra S = r / (1 – r). Trong trường hợp Nghịch lí Zeno, r = ½, và chúng ta thở phào nhẹ nhõm khi thấy S = ½ / (1 – ½) = 1; mũi tên thật sự đi tới đích của nó.

Vào thế kỉ mười tám, những kĩ thuật giải tích, đáng chú ý là những kĩ thuật do nhà toán học người Anh Brook Taylor nghĩ ra, đã được sử dụng để thu được những mô tả tổng vô hạn (tức là những biểu diễn chuỗi vô hạn) của nhiều hàm số. Tổng vừa thấy ở trên là một biểu diễn chuỗi vô hạn của f(r) = r / (1 – r). Một trong những hàm cơ bản nhất mà biểu diễn như thế có sẵn là hàm mũ f(r) = er, nó có biểu diễn

er = 1 + r / 1 + r² / (1 x 2) + r³ / (1 x 2 x 3) + r⁴ / (1 x 2 x 3 x 4) + …

Đặc biệt, với những giá trị rất nhỏ của r, hai số hạng đầu tiên của chuỗi này, 1 + r, tạo nên một gần đúng cực kì chính xác cho er. Tất nhiên, Planck cũng nhận thức được điều này, và trong những trường hợp trong đó hν nhỏ hơn kT nhiều lần, mẫu thức của hàm cường độ của ông [1 / (ehν^/kT – 1)] có thể lấy gần đúng bằng (1 + hν / kT) – 1 = hν / kT. Thay kết quả này vào biểu thức của ông cho I(ν, T), Planck thu được I(n, T) = (2hν³ / c²) x kT / νh = (2k / c²)n²T – chính là định luật Rayleigh-Jeans!

Hãy nói về việc lôi con thỏ ra từ cái mũ! Với giả thuyết các dao động tử chỉ bức xạ năng lượng theo những bội số nguyên của hν, Planck đã nghĩ ra một công thức phá vỡ cái chết miền tử ngoại và suy luận ra định luật Rayleigh-Jeans lẫn phép gần đúng Wien trong những vùng mà cả hai đã được biết là chính xác – chưa nói tới việc khai quật ý nghĩa của những hệ số bí ẩn trong công thức gần đúng Wien.

Cho dù có nhiều con thỏ hơn sớm xuất hiện – những xét cho cùng, bạn mong chờ gì từ những con thỏ chứ? (Bố mẹ tôi có thể trả lời câu hỏi này: khi họ giăng buồm đến Bermuda để hưởng tuần trăng mật hồi năm 1935, một trong những người bạn tinh nghịch của họ đã sắp xếp một cặp gồm một thỏ đực và một thỏ cái trong phòng ngủ của họ làm quà cưới; chúng đẻ ra chừng mười con thỏ khi họ đến Bermuda.) Nhắc lại rằng Kirchhoff đã chứng minh rằng cho dù bạn thu được sự cân bằng nhiệt bằng cách nào, chất liệu và hình dạng là không có liên quan. Planck đã sử dụng các dao động tử điện từ để tạo ra bức xạ, và vì thế khi hằng số Boltzmann xuất hiện từ suy luận của ông về định luật bức xạ, nó đã chứng minh một mối liên hệ có thể giữa điện từ học và thuyết nguyên tử lúc ấy vẫn chưa được chấp nhận hoàn toàn.

Lời bình của Planck với con trai của ông, rằng ông đã đi đến một quan niệm có khả năng quan trọng như quan niệm của Newton hay của Maxwell, thật sự có tính tiên tri. Ủy ban Giải thưởng Nobel đã đưa Planck vào danh sách ưu tiên cho giải thưởng năm 1907 và 1908. Thật vậy, ông xém nhận giải vào năm 1908 – không phải cho giả thuyết lượng tử nằm tại trung tâm của phép suy luận của ông, mà cho những phép tính của ông giúp xác nhận thuyết nguyên tử. Tuy nhiên, ông được nhận giải thưởng đó mãi cho đến năm 1918 – nhưng lúc ấy giải thưởng được trao cho “những đóng góp ông mang lại cho sự tiến bộ của vật lí học bởi sự khám phá lượng tử năng lượng của ông”.

Thật vậy, phải mất một thời gian thì cộng đồng vật lí mới đánh giá đúng rằng khái niệm lượng tử năng lượng thật sự là cái chủ lực của thuyết Planck. Trong một số năm, lượng tử năng lượng đơn thuần được xem là một thủ thuật toán học để vừa tránh cái chết miền tử ngoại và suy luận ra công thức gần đúng Wien và định luật Rayleigh-Jeans dưới những điều kiện thích hợp. Toán học là ngôn ngữ của vật lí học, nhưng thỉnh thoảng mối liên hệ giữa những kí hiệu toán học và thế giới thực tế là không rõ ràng. Trên lí tưởng, người ta muốn có những lí thuyết toán học tạo ra những công thức thực dụng phù hợp với thế giới thực tế được suy luận ra từ những giả thuyết và những quan sát về cách thức thế giới hiện hữu, thay vì từ một phỏng đoán mang tính lí thuyết không có chút liên hệ rõ ràng nào với thế giới thực tế.