Những con số làm nên vũ trụ - Phần 14

John Dalton

Mặc dù trạng thái vật lí của một chất khí có thể mô tả chỉ qua ba thông số - áp suất, thể tích, và nhiệt độ - nhưng mất hơn một thế kỉ sau định luật Boyle thì một mối liên hệ giữa nhiệt độ và thể tích mới được xác định. Có một lí do rất đơn giản cho điều này – vào thế kỉ thứ 17, không có một phương pháp nào để đo nhiệt độ. Một khi một phương pháp như thế được nghĩ ra, một số nhà khoa học lỗi lạc đã xử lí mối liên hệ giữa những đại lượng này.

Một người là John Dalton, một trong những nhân vật quan trọng nhất trong lịch sử khoa học. Dalton thường được tôn vinh với sự phát triển thuyết nguyên tử - những thành phần cơ bản của vật chất là các nguyên tử, và các hợp chất hóa học được tạo ra bởi sự kết hợp của các nguyên tử thuộc một nguyên tố với các nguyên tử thuộc nguyên tố khác. Dalton còn nghiên cứu mối liên hệ giữa nhiệt độ và thể tích của một chất khí, và đi tới kết luận rằng nếu áp suất được giữ nguyên không đổi, thì chất khí giãn nở ra ở một tỉ lệ không đổi của thể tích của nó ở nhiệt độ cho trước. Thường là một nhà thực nghiệm cừ khôi, Dalton đã có phần cẩu thả trong nỗ lực đặc biệt này – và kết quả đạt được là một kết luận sai lầm. Mặc dù Dalton đúng khi nhận xét sự giãn nở của một chất khí là một tỉ lệ không đổi của thể tích, nhưng kết luận của ông rằng tỉ lệ không đổi này là của thể tích trước đó là sai lầm.

Để hiểu kết luận của Dalton, hãy giả sử hằng số tỉ lệ của Dalton là 1% trên độ C – với mỗi độ C mà chất khí được làm cho nóng lên ở áp suất không đổi, nó sẽ giãn nở 1% thể tích trước đó. Giả sử ở 0^oC, một chất khí chiếm thể tích 10.000 cm³. Sử dụng 1% trên độ C là hệ số giãn nở, nếu chất khí được làm cho nóng lên 1^oC ở áp suất không đổi, thì nó sẽ giãn nở 1% lên 10.100 cm³. Nếu chất khí được làm cho nóng lên thêm một độ nữa ở cùng áp suất, tức 2^oC, nó sẽ giãn nở 1% của thể tích 10.100 trước đó – đến một thể tích mới 10.201 cm³. Nếu chất khí là tiền, thì kết luận của Dalton là sự giãn nở nhiệt giống như tiền lãi vậy – thêm 1 cm³ thì sự chênh lệch 1% của 10.100 và 1% của 10.000 là “tiền lãi trên tiền lãi”.

Tuy nhiên, có một trục trặc ở đây mà tôi chưa từng thấy nhắc tới trong sử sách. Tôi không có đủ tư liệu lịch sử để làm một nghiên cứu toàn diện về vấn đề nghiên cứu này, nên nhất định có khả năng có ai đó – thậm chí là Dalton – đã nhận ra khó khăn đó. Tiền lãi phụ thuộc vào số chu kì lãi suất trong một năm cho trước. Có một công thức mà đa số sinh viên học đại cương đều biết – tôi hi vọng vậy. Công thức này là A = P(1 + r/N)^Nt, trong đó P là lượng tiền gửi, r là lãi suất thường niên biểu diễn dạng thập phân, N là số chu kì lãi suất trên năm, và A là lượng tiền trong tài khoản sau t năm.

Nếu đầu tư 10.000$ với 1% lãi suất thường niên, thì lượng tiền trong tài khoản vào cuối một năm là 1,01 × 10.000$ = 10.100$. Tuy nhiên, nếu 1% là lãi suất bán niên, thì 1% đó được chia giữa hai chu kì lãi suất bán niên. Sử dụng lãi suất bán niên, lượng tiền trong tài khoản vào cuối sáu tháng là 1,005 × 10.000$ = 10.050$, và lượng tiền trong tài khoản vào cuối một năm là 1,005 × 10.050$ = 10.100,25$; chúng ta còn có thể sử dụng công thức đã cho với P = 10.000, r = 0,01, N = 2 và t = 1. Nếu chúng ta chấp nhận kết luận của Dalton rằng lượng chất khí tăng tỉ lệ với thể tích ở nhiệt độ cho trước, thì chúng ta vướng phải trở ngại phát sinh do hai cách khác nhau thực hiện tính toán. Thể tích của chất khí ở 1^oC được tính theo 1% của chất khí ở 0^oC (tương đương với lãi suất cả năm), hay chúng ta chia nó thành hai giai đoạn, trước tiên tính thể tích của chất khí ở 0,5^oC theo phần trăm của thể tích chất khí ở 0^oC, rồi sau đó tính thể tích của chất khí ở 1^oC theo phần trăm của thể tích chất khí ở 0,5^oC (tương đương với lãi suất bán niên)?

Tệ hơn nữa, người ta còn có thể tính theo quý, theo tháng hay theo ngày – và số tiền lúc cuối năm là khác nhau đối với mỗi phương pháp tính tiền lãi này. Có một lối thoát – nhưng một lần nữa, tôi chẳng thấy tài liệu tham khảo nào nói tới trong khi tìm kiếm mớ tư liệu lịch sử phải công nhận là còn nghèo nàn của tôi. Nếu người ta tiếp tục tính tiền lãi theo những chu kì ngày một ngắn hơn: mỗi tháng, mỗi ngày, mỗi giờ, mỗi giây, mỗi nano giây…thì lượng tiền trong tài khoản vào cuối năm càng nhiều hơn, nhưng nó chỉ tăng đến một giá trị hữu hạn nào đó. Nó tăng theo hàm mũ theo cái gọi là công thức PERT. Nếu số tiền gốc P được gửi trong ngân hàng trong t năm với lãi suất thập phân r liên tục (kết quả của việc tăng tần số của chu kì lãi suất vượt quá nano giây, pico giây, bất cứ giá trị nào mà bạn có), thì số tiền A trong tài khoản được cho bởi A = Pe^rt, trong đó e là cơ số logarithm tự nhiên. Công thức PERT tương ứng (tên gọi xuất xứ từ vế phải của phương trình trên) cho chất khí sẽ mang lại một thể tích cuối cùng của A với một thể tích ban đầu P cho trước, độ tăng nhiệt độ t, và một hằng số tự nhiên chưa được xác định r chỉ có thực nghiệm và đo lường mới làm rõ giá trị.

Lượng tiền cuối cùng trong ngân hàng chịu sự tính lãi liên tục chỉ phụ thuộc vào số tiền gửi, lãi suất, và thời gian số tiền đó nằm trong tài khoản. Lượng tiền cuối cùng trong tài khoản ngân hàng chịu sự tính lãi tuần hoàn phụ thuộc vào toàn bộ những thông số này, và còn phụ thuộc vào tần suất tính lãi. Cái tương tự với sự giãn nở chất khí là nếu chất khí giãn nở ở áp suất không đổi theo công thức PERT, thì thể tích chất khí có mặt cuối kì giãn nở sẽ chỉ phụ thuộc vào thể tích ban đầu, tốc độ giãn nở (có thể sánh với lãi suất) là một hằng số của tự nhiên, và nhiệt độ ban đầu và nhiệt độ cuối cùng. Nếu chất khí giãn nở ở áp suất không đổi theo một loại tốc độ tuần hoàn nào đó, thì thể tích cuối cùng sẽ phụ thuộc vào toàn bộ những thông số này và thao tác mà chất khí được làm cho nóng lên đến nhiệt độ cuối cùng của nó – cho dù nhiệt độ tăng liên tục, hay mỗi lần tăng 1 độ, hay bất cứ kiểu tăng nào khác. Khó khăn này sẽ là một kết quả hợp lí của định luật giãn nở Dalton. Mặc dù khó khăn này sẽ tránh được nếu định luật giãn nở tuân theo công thức PERT, nhưng các thí nghiệm không cho thấy một sự tuân thủ như thế.

Công thức PERT mà người ta thấy trong khi tính tiền lãi liên tục là một thí dụ đặc biệt của cái gọi là sự tăng trưởng và phân hủy theo hàm mũ – và quy luật này thật sự xảy ra khá phổ biến trong tự nhiên. Sự tăng trưởng (hay phân hủy) theo hàm mũ xảy ra khi tốc độ tăng trưởng (hay phân hủy) tỉ lệ với số lượng. Tôi bắt đầu đi dạy từ hồi thập niên 1960 khi bộ phim Star Trek – phiên bản với Kirk và Spock – bùng phát theo hàm mũ trong giới sinh viên. Một trong những tập hấp dẫn nhất có tên là “The Trouble with Tribbles” (Đối mặt với Tribble); tribble là loài sinh vật có lông hút tái sinh cực nhanh, và không bao lâu thì con tàu Enterprise đã tràn đầy tribble. Như Bones McCoy, vị bác sĩ của con tàu nói, chúng tái sinh nhanh đến mức những con tribble mới sinh có lẽ đã mang thai. Nếu bạn có số lượng tribble lúc bắt đầu gấp đôi, thì bạn có nhiều tribble con gấp đôi – tốc độ tăng dân số tỉ lệ với dân số. Tôi đã sử dụng con tribble để minh họa bài toán tăng trưởng theo hàm mũ, tôi còn mang một cặp tribble đang ngủ lên lớp. (Thật ra chúng là món đồ chơi làm bằng bột thổi mua ở một cửa hàng gần nhà, nhưng Star Trek đã tạo ra một kỉ nguyên không có gì giống như những hiệu ứng đặc biệt do máy vi tính tạo ra, và tribble trên màn ảnh trông y hệt như con tribble bằng bột) Sự phân rã phóng xạ hoạt động giống như vậy; nếu bạn có lượng chất phóng xạ ban đầu nhiều gấp đôi, thì lượng chất phóng xạ biến thành chì sẽ nhiều gấp đôi. Bạn có thể nghĩ tới cụm từ “kiến thức tăng theo hàm số mũ” là một con số tốc độ, nhưng thật ra nó là một mô tả theo nghĩa đen của cái xảy ra nếu tốc độ thẩm tra kiến thức tỉ lệ với lượng kiến thức đang có.

Tuy nhiên, có một dấu hiệu rằng kết luận của Dalton có sai sót. Giống hệt như có thêm tiền lãi đổ dồn vào một tài khoản tính lãi sau khi tiền lãi từ những chu kì lãi suất ban đầu đã được cộng vào tài khoản, kết luận của Dalton sẽ mang lại chất khí ở nhiệt độ cao chịu sự giãn nở nhiều hơn ở nhiệt độ thấp. Thực nghiệm dường như chẳng xác minh điều này, và vấn đề cuối cùng mới được giải quyết bởi hai nhà tiên phong người Pháp trong ngành công nghiệp hàng không vũ trụ mới chớm nở vào thế kỉ 18.

Những con số làm nên vũ trụ