Những con số làm nên vũ trụ - Phần 4

G lớn và g nhỏ

Tại trung tâm của tác phẩm của Newton về sự hấp dẫn, thật ra có hai hằng số: hằng số vạn vật G mô tả trong quyển Principia, và gia tốc địa phương g tại bề mặt Trái đất do trọng lực gây ra. g nhỏ, như nó thường được gọi, tương đối dễ đo, ít nhất là nếu chúng ta sẵn sàng chấp nhận một giá trị gần đúng với hai hoặc ba chữ số thập phân – toàn bộ cái ta phải làm là tìm một chân không (vì để loại trừ sức cản không khí), thả vật rơi và đo xem nó rơi bao xa và mất bao lâu. Galileo vốn nhận ra rằng quãng đường mà vật rơi được tỉ lệ với bình phương của thời gian nó rơi, và đó là một trong nhiều hệ quả của định luật hấp dẫn của Newton – và là một bài toán đơn giản trong học kì đầu tiên của khóa học giải tích – trình bày rằng quãng đường d mà một vật rơi trong thời gian t là d = ½ gt². g nhỏ được xác định khá dễ dàng là xấp xỉ 9,8 mét trên giây trên giây. Tốt hơn nên đọc giá trị này là “9,8 mét trên giây” – dừng – “trên giây”; mỗi giây một vật rơi dưới tác dụng hấp dẫn của Trái đất tăng vận tốc của nó thêm 9,8 mét trên giây. Ở trên Mặt trăng, các vật rơi chậm hơn nhiều, như các nhà du hành đã chứng minh – thậm chí có lần trên Mặt trăng, Wile E. Coyote còn nhảy ra từ dưới một cái đe đang rơi. Vì thế, g nhỏ là một hằng số địa phương.

Mặt khác, G lớn mang tính vạn vật, nhưng có một mối liên hệ giữa G lớn và g nhỏ, đúng như bạn trông đợi. Một trong những thành tựu của Newton là chứng tỏ rằng lực hấp dẫn của một quả cầu tác dụng như thể toàn bộ khối lượng của nó đều tập trung tại tâm cầu. Vì thế, lực hấp dẫn do Trái đất (có khối lượng ta kí hiệu là M và bán kính là R) tác dụng lên một vật khối lượng m được tính bằng hai cách: F = GmM/R² theo định luật hấp dẫn, và F = mg theo định luật II Newton. Cân bằng hai biểu thức này, ta thấy thừa số m triệt tiêu ở cả hai phía của phương trình, và g = GM/R². Giá trị của R đã được biết (gần đúng) bởi người Hi Lạp cổ - nhưng để xác định G đến độ chính xác bất kì, ta cần biết giá trị của M, và không có cách nào giải quyết vấn đề này cho đến khi Newton qua đời.

Thật ra, đã có hai hứng thú thật sự trong việc xác định G trong gần như hai thế kỉ, vì không có cái gì các nhà khoa học ngày nay muốn biết đòi hỏi kiến thức về giá trị của G. Phần lớn cái được thực hiện trong thiên văn học – và thật ra vẫn là cái đã và đang được thực hiện – là sử dụng các tỉ số. Điều đó chẳng bất ngờ gì mấy, vì sự bằng nhau của các tỉ số cho phép nhiều tính toán thực tế, và đã được thực hiện từ lâu trước khi có Principia. Các tỉ số xuất hiện sớm trong số học. (Nếu cần hai quả trứng cho một mẻ bánh dành cho ba đứa trẻ ăn, thì sẽ cần bao nhiêu quả trứng cho số mẻ bánh dành cho 12 trẻ ăn?) Một lần nữa, chúng xuất hiện trong hình học, khi chúng ta sử dụng sự bằng nhau của các tỉ số của những cạnh tương ứng của những tam giác đồng dạng để đo chiều cao của một cái cây không thể trèo lên – hay một ngọn núi ở xa. Cả hai cách sử dụng tỉ số này – trong số học và hình học – đều có tầm quan trọng thực tiễn trong khoa học vật chất, cũng như trong cuộc sống hàng ngày. Không có số lượng quả trứng thích hợp, bạn sẽ không hài lòng với cách hấp bánh.

Newton có thể suy luận ra định luật Kepler thứ ba – tỉ số của bình phương chu kì của hai hành tinh bất kì bằng với tỉ số của lập phương khoảng cách trung bình của chúng đến Mặt trời – từ định luật hấp dẫn của ông. Các nhà thiên văn khi đó có thể sử dụng những tỉ số này, kết hợp với khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trời (đã được Giovanni Cassini tính ra hơn một thập kỉ trước khi xuất bản quyển Principia) và chu kì của các hành tinh để tính ra khoảng cách trung bình của một hành tinh đến Mặt trời. Đơn giản là chẳng cần biết hằng số hấp dẫn – và vì thế chẳng ai thèm tính đến nó cho đến khi một thí nghiệm tiến hành vào cuối thế kỉ 18 cho phép người ta biết giá trị của nó.

Những con số làm nên vũ trụ