Những con số làm nên vũ trụ - Phần 44

Hằng số Boltzmann

Boltzmann chẳng phải làm gì vất vả để có hằng số của ông, gọi là k; ông chỉ đơn giản đem chia hằng số khí lí tưởng R cho số Avogadro. Tuy nhiên, hằng số Boltzmann xuất hiện trong một vài phương trình quan trọng trong thuyết động học chất khí, cơ học thống kê, và nhiệt động lực học, và cho phép chúng ta xử lí toán học với thực tế là mặc dù chúng ta có thể nói về đặc trưng tổng thể của một hệ - ví dụ như nhiệt độ của một bình chứa khí – chứ không phải mọi phân tử trong nó đều có năng lượng bằng nhau. Các phân tử trong một bình chứa khí, chẳng hạn, va đập ngẫu nhiên lên nhau, và những va chạm này làm cho một số phân tử chuyển động nhanh hơn tốc độ trung bình, và một số thì chuyển động chậm hơn. Tuy nhiên, động năng tịnh tiến trung bình mà một phân tử đơn nguyên tử có trong một chất khí lí tưởng có thể biểu diễn là 3/2 kT, trong đó T là nhiệt độ tính theo kelvin. Vì động năng tịnh tiến của phân tử có khối lượng m và vận tốc v là ½ mv², nên giả sử không có năng lượng bị tiêu hao do chuyển động quay thì ta có 3/2 kT = ½ mv². Vì thế nhiệt độ tăng theo bình phương vận tốc của phân tử.

Giải phương trình cho T, ta có T = 1/3 mv²/k. Độ không tuyệt đối là trường hợp đặc biệt khi v = 0, nhưng đặt v = c có lẽ đưa đến cho chúng ta cái hấp dẫn hơn – nhiệt độ cao nhất mà bất kì một chất nào đó có thể đạt tới. Hãy xét radon, chất khí trơ nặng nhất. Ở điều kiện thường, các khí trơ rất gần với khí lí tưởng, chúng được gọi là trơ vì chúng hiếm khi tương tác với những nguyên tố khác, phần lớn các khí trơ khó tương tác với những nguyên tố bình thường. Một mol radon có khối lượng khoảng 222 gram, nên một nguyên tử radon nặng 222 / (6 ´ 10²³) = 3,7 ´ 10^-25 kg. Tốc độ của ánh sáng là khoảng 3 ´ 10⁸ m/s, nên nếu có thể làm cho một nguyên tử radon chuyển động nhanh gần bằng tốc độ ánh sáng, thì nhiệt độ của nó sẽ là 1/3 ´ (3,7 ´ 10^-25) ´ (3 ´ 10⁸)² / 1,38 ´ 10^-23 kelvin, hay khoảng 2,7 ´ 10¹⁴ kelvin, hay 4,8 ´ 10¹⁴ độ Fahrenheit. Thật kinh khủng. Tuy nhiên, những ai trong chúng ta từng sống dưới chuẩn thế giới có thể cảm thấy an ủi phần nào ở chỗ trong địa ngục đó cũng chẳng nóng như thế này, cho đến nay tôi chưa biết có lí thuyết thần học nào tán thành rằng địa ngục là gồm các nguyên tử radon lao vút đi ở gần tốc độ ánh sáng.

Trở lại với một tập hợp các phân tử trong một chất khí lí tưởng, Boltzmann đã có thể chỉ ra rằng số lượng phân tử trong một chất khí lí tưởng có năng lượng E là tỉ lệ với e^-E/kT. Những giá trị khác nhau của T mang lại những đường cong khác nhau, nhưng – nói cho đơn giản hóa đi một chút – đại khái trông chúng đều có dạng đường cong hình chuông. Với những giá trị thấp của T, các đường cong có một cực đại trung tâm rất hẹp, khi T tăng thì đường cong đó thấp hơn và phẳng hơn. Điều này không có gì bất ngờ; với nhiệt độ càng cao thì các phân tử chuyển động càng nhanh, và nếu bạn nhìn ra đường nơi giới hạn tốc độ là 30 dặm/giờ, rất nhiều xe thật sự đang chuyển động gần 30 dặm/giờ, nhưng khi giới hạn tốc độ là 70 dặm/giờ thì mấy cụ bà bà, thường chẳng giống tẹo nào với mô tả trong bài hát “Tiểu thiếu phụ Pasadena”, có thể đang chạy trên dưới 50 dặm/giờ, còn mấy bà lỡ thì chạy chừng 60, trong khi thanh thiếu niên và người lái xe hơi thể thao thì chạy trên giới hạn tốc độ.

Cái chủ lực cho hằng số Boltzmann là phương trình có thể tìm thấy trên bia mộ của ông. Hằng số Boltzmann được biểu diễn theo cùng đơn vị với entropy, cái bạn sẽ nhớ lại chính thức là tổng nhiệt chia cho nhiệt độ. Để hiểu phương trình Boltzmann, hãy xét một mẫu thật sự nhỏ một chất khí lí tưởng với hai phân tử, A và B. Giả sử A đang chuyển động 50 cm/s và B đang chuyển động 100 cm/s. Chúng ta đo nhiệt độ của chất khí đó và thấy nó có một giá trị nhất định, ta kí hiệu là T. Nếu phân tử A đang chuyển động 100 cm/s và B đang chuyển động 50 cm/s và chúng ta đo nhiệt độ, chúng ta cũng sẽ thu về nhiệt độ T. Giá trị của T được gọi là một trạng thái vĩ mô của hệ, hai sắp xếp tốc độ của A và của B (50 cm/s và 100 cm/s) được gọi là những trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô T. Rõ ràng, khi bạn có chừng một mol chất khí lí tưởng, có rất nhiều trạng thái vi mô tương ứng với cùng một trạng thái vĩ mô. Nhiệt độ càng cao thì càng có nhiều trạng thái vi mô tương ứng với cùng một trạng thái vĩ mô. Một lần nữa, một chất khí là giống như xe chạy trên đường, bạn có nhiều cách để có 100 xe chuyển động với tốc độ trung bình 50 dặm/giờ hơn là để có tốc độ trung bình 10 dặm/giờ.

Mối liên hệ này được biểu diễn bởi phương trình S = k lnW, trong đó S là entropy, k là hằng số Boltzmann, và W là số trạng thái vi mô tương ứng trạng thái vĩ mô mang lại entropy S. Bức tranh trạng thái vi mô-trạng thái vĩ mô cuối cùng còn giải thích tại sao nhiệt truyền từ vật nóng hơn sang vật lạnh hơn. Đó đơn giản là vấn đề xác suất. Mỗi trạng thái vi mô có khả năng y hệt như mọi trạng thái vi mô khác, nhưng trạng thái vĩ mô mô tả bởi một cốc nước ấm có nhiều trạng thái vi mô đi cùng với nó hơn trạng thái vĩ mô mô tả bởi cấu hình nước đá và nước nóng. Cái thú vị là điều này cũng mở ra khả năng cho cốc nước ấm tách ra thành cốc chứa nước đá và nước nóng – vấn đề là khả năng này hiếm đến mức chúng ta chưa từng nhìn thấy, và nó sẽ không xảy ra trong suốt tuổi thọ của vũ trụ.

Như tôi đã lưu ý ở trên, hằng số Boltzmann là thương của hai hằng số cơ bản khác – cả hai hằng số đó chúng ta đã có nói qua. Điều này trông có chút không to tát, nhưng nó không phải là quan niệm lớn duy nhất trong khoa học mà nhờ đó cái trông giống như sự xáo trộn lại của những thành phần đã biết trước đó thật sự đủ xuất sắc để nó được đặt tên riêng theo con người đã xáo trộn nó. Lần đầu tiên tôi bắt gặp tình huống này là khi tôi thấy nhà toán học và nhà khoa học người Pháp d’Alembert lấy phương trình F = ma từ định luật hai Newton, trừ hai vế cho ma để thu được F – ma = 0, và phương trình này được đặt tên lại là nguyên lí công ảo tối thiểu d’Alembert. Tôi vừa thấy sợ vừa thấy lí thú – có lẽ đây là một lộ trình tiềm tàng cho tiếng tăm khoa học chăng. Chỉ việc đem chia hằng số hấp dẫn G cho tốc độ ánh sáng c, và thế là có hằng số Stein. Những hình dung theo kiểu này về cái khắc trên bia mộ của tôi nhanh chóng bị tiêu tan khi tôi nhận ra rằng chỉ tiến hành xáo trộn thôi là không đủ, thật ra người ta phải chỉ rõ sự xáo trộn đó có một ý nghĩa nhất định nào đó nữa. Cho nên, với bia mộ của tôi, tôi quyết định ra đi với câu “Đây là mục cuối cùng trong danh sách”.