Du dương như trống trường

Hiệp Khách Quậy Tại sao đánh trống thì chỉ ra tiếng “tùng tùng”, không ra nốt đồ rê mi, mà khi đánh đàn (piano hay ghi-ta) thì lại ra các nốt nhất định? Một điều đáng ngạc nhiên là không thể giải thích (hoặc ít nhất tôi không biết cách giải thích) điều này mà không dùng đến toán cao cấp: phương trình đạo hàm riêng,... Xin mời đọc tiếp.

Bài viết trích từ blog của giáo sư Đàm Thanh Sơn

feynman63

Đầu đề của bài này là để các bạn tự hỏi: tại sao đánh trống thì chỉ ra tiếng “tùng tùng”, không ra nốt đồ rê mi, mà khi đánh đàn (piano hay ghi-ta) thì lại ra các nốt nhất định? Một điều đáng ngạc nhiên là không thể giải thích (hoặc ít nhất tôi không biết cách giải thích) điều này mà không dùng đến toán cao cấp: phương trình đạo hàm riêng, hàm Bessel.

Sự khác nhau giữa đàn và trống, từ quan điểm của vật lý, là sự khác nhau giữa không gian 1 chiều và không gian 2 chiều. Khi đánh đàn đàn (kể cả piano) tiếng phát ra do dao động của dây đàn, có thể coi là một vật thể 1 chiều. Trong khi đó vật phát ra tiếng ở trống là mặt trống, là một vật 2 chiều.

Tai ta cảm nhận được một nốt (ví dụ nốt “đô”) khi dao động tạo ra là tổ hợp của các dao động hình sin, trong đó có một tần số cơ bản (ví dụ 440 Hz) và các “harmonics” có tần số bằng một số nguyên lần tần số cơ bản. Dao động của một dây đàn thỏa mãn điều kiện này. Dao động của một dây đàn được mô tả bằng phương trình:

$latex.php$

với điều kiện biên Φ(0) = Φ(l) = 0 (hai đầu của dây đàn bị cột chặt). Phương trình này có thể giải bằng phương pháp tách biến, dùng phương pháp này ta tìm được các tần số là:

$\displaystyle{\omega_n = n \frac{\pi v}l}$

Như vậy các tần số dao động của dây đàn là bội của tần số cơ bản ω₁ = π.v/l. Thừa số trong công thức trên thực ra là các nghiệm của phương trình sin(x) = 0

Bây giờ ta xét dao động của mặt trống. Dao động này được mô tả bằng phương trình:

$\displaystyle{ \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} = - \frac{\omega^2}{v^2}\psi }$

với điều kiện biên Ψ = 0 khi x²+ y² = R² (ta giả sử mặt trống hình tròn với bán kính R). Phương trình này có thể giải bằng các chuyển sang tọa độ cực. Sau khi giải các bạn có thể thấy các tần số dao động của mặt trống tỉ lệ thuận với các nghiệm của các hàm Bessel J_0,J₁, J₂ v.v. Các nghiệm này là

của J₀ : 2.4048, 5.5201, 8.6537 …

của J₁: 3.8317, 7.0156, 10.1735 …

của J₂: 5.1356, 8.4172, 11.6198 …

Các bạn có thể thấy các nghiệm này không phải là bội của một tần số cơ bản nào cả. Vì vậy tiếng trống không du dương như tiếng đàn.

8-5