Một hệ thống số đã bị lãng quên được phát minh ra hồi thế kỉ thứ 19 có thể mang lại sự giải thích đơn nhất lí giải vì sao vũ trụ của chúng ta có thể có 10 chiều.
John C. Baez & John Huerta
Sức tưởng tượng không có hồi kết
Bất chấp những ứng dụng này, chúng ta có thể tự hỏi không biết chính xác thì j, k là gì nếu chúng ta định nghĩa căn bậc hai của -1 là i. Những căn bậc hai này của -1 có thật sự tồn tại hay không? Chúng ta có thể tiếp tục phát minh ra những căn bậc hai mới của -1 cho nhân vật chính trong câu chuyện của chúng ta hay không?
Những câu hỏi này được nêu ra bởi John Graves, một người bạn sinh viên của Hamilton, một người yêu thích đại số đã khiến Hamilton nghĩ tới số phức và các bộ ba. Rất sớm sau lần đi bộ định mệnh vào mùa thu năm 1843, Hamilton đã gửi cho Graves một bức thư mô tả sự đột phá của ông. Graves đã hồi âm 9 ngày sau đó, tán dương sự táo bạo ý tưởng của Hamilton, nhưng bổ sung thêm: “Vẫn có cái gì đó trong hệ khiến tôi khó nghĩ. Tôi không có quan điểm rõ ràng nào mở rộng cho cái chúng ta đang tùy tiện tạo ra những số phức, và phú cho chúng những tính chất siêu nhiên”. Và ông nêu vấn đề: “Nếu với thuật giả kim của anh, anh có thể chế tạo ra ba cân vàng, thì tại sao anh dừng lại ở đó chứ?”
Giống như Cardano trước đây, Graves dành thời gian quan tâm đủ lâu để làm ảo thuật với phần vàng của riêng ông. Ngày 26 tháng 12, ông lại viết thư cho Hamilton, mô tả một hệ số mới tám chiều mà ông gọi là octave (bộ tám), ngày nay gọi là octonion. Tuy nhiên, Graves không khiến Hamilton quan tâm đến ý tưởng của ông. Hamilton hứa phát biểu về các octave của Graves trước Hội Hoàng gia Ireland, đó là cách công bố các kết quả mang tính một chiều của thời kì ấy. Nhưng Hamilton tiếp tục gạt nó sang bên, và vào năm 1845, nhà trí thức trẻ Arthur Cayley đã tái khám phá ra các octonion và qua mặt Graves công bố kết quả. Vì lí do này nên đôi khi các octonion còn được gọi là số Cayley.
Tại sao Hamilton không thích các octonion? Trước hết, ông đang liều lĩnh dấn thân với nghiên cứu về khám phá của riêng ông, các quaternion. Ông còn có một lí do thuần túy toán học nữa: các octonion phá vỡ một số định luật đáng yêu của số học.
Các quaternion có một chút kì lạ. Khi bạn nhân các số thực, thì thứ tự nhân là không thành vấn đề - chẳng hạn 2 nhân 3 bằng 3 nhân 2. Chúng ta nói phép nhân đó có tính giao hoán. Quy tắc tương tự cũng đúng đối với số phức. Nhưng các quaternion không có tính giao hoán. Thứ tự nhân là quan trọng.
Thứ tự là quan trọng vì các quaternion mô tả sự quay trong không gian ba chiều, và đối với những sự quay như vậy, thứ tự sẽ mang đến sự khác biệt ở kết quả. Bạn có thể tự kiểm tra điều này (xem hình: Bài toán quay). Lấy một quyển sách, lật nó từ trên xuống dưới (sao cho bây giờ bạn nhìn thấy bìa sau) và quay nó một phần tư vòng tròn theo chiều kim đồng hồ (khi nhìn từ trên xuống). Giờ thì hãy làm hai thao tác này theo chiều ngược lại: trước tiên quay một phần tư vòng, sau đó lật quyển sách. Vị trí cuối cùng đã thay đổi. Do kết quả cuối cùng phụ thuộc vào thứ tự, nên phép quay không có tính giao hoán.
Các octonion còn lạ hơn nhiều. Không những chúng không giao hoán, chúng còn phá vỡ một quy tắc quen thuộc của số học: đó là quy tắc kết hợp (xy)z = x(yz). Chúng ta đều đã thấy một toán tử phi kết hợp trong nghiên cứu toán học của mình: phép trừ. Thí dụ, (3 – 2) – 1 thì khác với 3 – (2 – 1). Nhưng chúng ta đã quen với phép nhân kết hợp, cho nên đa số các nhà toán học vẫn thấy điều này “kì kì”, mặc dù họ đã quan với những toán tử phi giao hoán. Thí dụ, phép quay là có tính kết hợp, mặc dù chúng không giao hoán.
Nhưng có lẽ cái quan trọng nhất, cái không rõ là hồi thời Hamilton, các octonion sẽ thích hợp dùng cho cái gì. Chúng liên quan chặt chẽ với hình học không gian bảy và tám chiều, và chúng ta có thể mô tả phép quay trong những chiều đó bằng phép nhân các octonion. Nhưng trong hơn một thế kỉ, đó là một bài tập thuần túy trí tuệ. Cần có sự phát triển của vật lí hạt hiện đại – và đặc biệt là lí thuyết dây – người ta mới thấy được các octonion có thể hữu ích như thế nào trong thế giới thực.
Xem hình động tại: ScientifcAmerican.com/may2011/octonions
Sự đối xứng và các dây
Vào thập niên 1970 và 1980, các nhà vật lí lí thuyết đã phát triển một ý tưởng đẹp lạ lùng gọi là siêu đối xứng. (Sau này, các nhà vật lí mới biết rằng lí thuyết dây đòi hỏi sự siêu đối xứng) Nó phát biểu rằng, ở những cấp độ cơ bản nhất, vũ trụ biểu hiện một sự đối xứng giữa vật chất và các lực của tự nhiên. Mỗi hạt vật chất (thí dụ như electron) có một hạt đối tác mang lực. Và mỗi hạt lực (thí dụ như photon, hạt mang của lực điện từ) có một hạt vật chất song sinh.
Siêu đối xứng còn bao hàm quan điểm rằng các định luật vật lí là bất biến nếu chúng ta hoán chuyển toàn bộ các hạt vật chất và các hạt lực. Hãy tưởng tượng đang ngắm vũ trụ trong một cái gương kì lạ, nhưng thay vì hoán chuyển bên trái và bên phải, hãy trao đổi mỗi hạt lực cho một hạt vật chất, và ngược lại. Nếu siêu đối xứng là đúng, nếu nó thật sự mô tả vũ trụ của chúng ta, thì vũ trụ trong gương này sẽ hoạt động giống hệt như vũ trụ của chúng ta. Mặc dù các nhà vật lí chưa tìm thấy bằng chứng thực nghiệm chắc chắn nào ủng hộ cho siêu đối xứng, nhưng lí thuyết trên thật sự quá đẹp và dẫn tới nhiều cơ sở toán học đầy mê hoặc mà nhiều nhà vật lí hi vọng và trông đợi nó là đúng.
Tuy nhiên, có một thứ chúng ta biết là đúng, đó là cơ học lượng tử. Và theo cơ học lượng tử, các hạt còn có tính chất sóng. Trong phiên bản ba chiều chuẩn của cơ học lượng tử mà các nhà vật lí sử dụng hàng ngày, một loại số (gọi là spinor) mô tả chuyển động sóng của các hạt vật chất. Một loại số khác (gọi là vec-tơ) mô tả chuyển động sóng của các hạt lực. Nếu chúng ta muốn hiểu các tương tác hạt, thì chúng ta phải kết hợp hai con số này theo kiểu phép nhân. Mặc dù hệ thống chúng ta sử dụng hiện nay có thể hoạt động, nhưng nó không tao nhã cho lắm.
Để thay thế, hãy tưởng tượng một vũ trụ kì lạ không có thời gian, chỉ có không gian thôi. Nếu vũ trụ này là một, hai, bốn hoặc tám chiều, thì các hạt vật chất lẫn hạt lực đều sẽ là sóng được mô tả bởi một loại số - ấy là một con số trong một đại số chia, loại hệ số duy nhất cho phép cộng, trừ, nhân và chia. Nói cách khác, trong những chiều này, các vec-tơ và spinor trùng với nhau: chúng tương ứng là mỗi con số thực, số phức, quaternion hoặc octonion. Siêu đối xứng xuất hiện một cách tự nhiên, mang lại một sự mô tả thống nhất của vật chất và các lực. Phép nhân đơn giản mô tả các tương tác, và mọi hạt – cho dù thuộc loại nào – đều sử dụng một hệ thống số như nhau.
Nhưng vũ trụ đồ chơi của chúng ta không thể là thực, vì chúng ta cần xét cả thời gian nữa. Trong lí thuyết này, sự xem xét như thế này có một tác dụng hấp dẫn. Tại mọi thời điểm trong thời gian, một dây là một cái gì đó một chiều, như một đường cong hoặc một đường thẳng. Nhưng dây này vạch ra một mặt hai chiều khi thời gian trôi qua [xem hình minh họa]. Sự diễn biến này làm thay đổi các chiều trong đó siêu đối xứng phát sinh, bởi sự bổ sung thêm hai chiều – một cho dây và một cho thời gian. Thay vì siêu đối xứng trong một, hai, bốn hoặc tám chiều, chúng ta có siêu đối xứng trong ba, bốn, sáu hoặc mười chiều.
Trong lí thuyết dây, các dây một chiều vạch ra những mặt hai chiều theo thời gian.Trong lí thuyết M, các màng hai chiều vạch ra các khối ba chiều. Việc bổ sung thêm những chiều này cho tám chiều của octonion mang lại manh mối lí giải vì sao những lí thuyết này đòi hỏi 10 hoặc 11 chiều.
Thật trùng hợp, trong nhiều năm qua, các nhà lí thuyết dây cho biết chỉ những phiên bản 10 chiều của lí thuyết này mới có tính nhất quán. Những phiên bản còn lại đều là dị thường, trong đó việc tính toán một yếu tố bằng hai cách khác nhau cho hai đáp số khác nhau. Ngoài phiên bản 10 chiều ra, những phiên bản lí thuyết dây khác bị sụp đổ. Nhưng lí thuyết dây 10 chiều, như chúng ta vừa thấy, là phiên bản của lí thuyết sử dụng octonion. Cho nên nếu lí thuyết dây là đúng, thì các octonion không phải là sự hiếu kì vô ích nữa: trái lại, chúng mang lại một lí do sâu sắc lí giải vì sao vũ trụ phải có 10 chiều: trong 10 chiều, các hạt vật chất và hạt lực là hiện thân của cùng một loại số - các octonion.
Nhưng câu chuyện chưa dừng lại ở đây. Thời gian gần đây, các nhà vật lí đã đi xa hơn các dây, chuyển sang xét các màng. Thí dụ, một màng hai chiều, hay 2-brane, tại mỗi thời điểm trông giống như một tấm, nhưng khi thời gian trôi qua, nó vạch ra một khối ba chiều trong không-thời gian.
Trong khi trong lí thuyết dây, chúng ta phải bổ sung thêm hai chiều cho tập hợp chuẩn của chúng ta gồm một, hai, bốn và tám chiều, thì giờ chúng ta phải cộng thêm ba chiều. Như vậy, khi xử lí với các màng, chúng ta muốn siêu đối xứng xuất hiện tự nhiên trong các chiều bốn, năm, bảy và 11. Và như trong lí thuyết dây, chúng ta có một chút bất ngờ: các nhà lí thuyết cho chúng ta biết rằng lí thuyết M (M thường là kí hiệu cho chữ “membrane” – màng) đòi hỏi 11 chiều – ngụ ý rằng nó sẽ tự nhiên sử dụng các octonion. Chao ôi, chỉ tiếc là không có ai hiểu lí thuyết M đủ tốt để viết ra những phương trình cơ bản của nó (nên chữ M còn kí hiệu cho chữ “mysteroius” – bí ẩn). Khó mà nói chính xác lí thuyết M sẽ trông như thế nào trong tương lai.
Ở đây, chúng ta nên nhấn mạnh rằng lí thuyết dây và lí thuyết M chưa hề nêu ra được dự đoán thực nghiệm nào có thể kiểm tra được. Chúng là những giấc mơ tuyệt vời – và cho đến nay vẫn chỉ là những giấc mơ. Vũ trụ mà chúng ta sống trong đó không trông như có 10 hoặc 11 chiều, và chúng ta chưa hề thấy sự đối xứng nào giữa các hạt vật chất và các hạt lực. David Gross, một trong những chuyên gia hàng đầu thế giới về lí thuyết dây, hiện đặt ra tỉ lệ nhìn thấy một bằng chứng nào đó cho sự siêu đối xứng tại Máy Va chạm Hadron Lớn của CERN là 50%. Những người hoài nghi thì nói tỉ lệ đó nhỏ hơn nhiều. Chỉ có thời gian mới cho câu trả lời.
Do sự không chắc chắn này, nên chúng ta còn lâu mới biết được các octonion kì lạ đó có tầm quan trọng cơ sở trong việc tìm hiểu thế giới mà chúng ta thấy xung quanh mình hay không, hay nó đơn thuần chỉ là một mảnh ghép toán học đẹp đẽ mà thôi. Tất nhiên, cái đẹp toán học tự thân nó là một đích đến đáng giá, nhưng sẽ còn tuyệt vời hơn nữa nếu như các octonion hóa ra có mặt trong công thức xây dựng của tự nhiên. Như câu chuyện số phức và vô số những phát triển toán học khác đã chứng minh, đây không phải là lần đầu tiên những phát minh toán học thuần túy sau này mang lại những công cụ chính xác mà các nhà vật lí cần đến.
Theo Scientifc American, tháng 5/2011
