Một hệ thống số đã bị lãng quên được phát minh ra hồi thế kỉ thứ 19 có thể mang lại sự giải thích đơn nhất lí giải vì sao vũ trụ của chúng ta có thể có 10 chiều.
John C. Baez & John Huerta
Lúc còn nhỏ, tất cả chúng ta đều được học về những con số. Chúng ta bắt đầu với việc đếm, sau đó là cộng, trừ, nhân và chia. Nhưng các nhà toán học biết rằng hệ thống số mà chúng ta học trong trường lớp chỉ là một trong nhiều khả năng mà thôi. Những loại số khác có tầm quan trọng đối với việc tìm hiểu hình học và vật lí học. Trong số những biến thể lạ lùng nhất đó có hệ octonion. Phần lớn đã bị lãng quên kể từ khi khám phá ra chúng hồi năm 1843, nhưng trong vài thập niên vừa qua, chúng tỏ ra có tầm quan trọng thật sự trong ngành lí thuyết dây. Và thật vậy, nếu lí thuyết dây là một biểu diễn chính xác của vũ trụ, thì chúng có thể giải thích vì sao vũ trụ lại có đúng số chiều như vậy.
Cái ảo tạo ra cái thực
Octonion không phải là mảnh đất toán học thuần túy đầu tiên sau này được sử dụng để cải thiện kiến thức vũ trụ của chúng ta. Nó cũng không phải là hệ thống số khác đầu tiên sau này tỏ ra có những ứng dụng thực tiễn. Để tìm hiểu nguyên do, trước hết chúng ta hãy nhìn vào trường hợp đơn giản nhất của những con số - hệ thống số chúng ta đã học trong trường lớp – cái các nhà toán học gọi tên là số thực. Tập hợp tất cả các số thực tạo thành một đường thẳng, cho nên chúng ta nói tập hợp số thực là có tính một chiều. Chúng ta cũng có thể hiểu theo hướng ngược lại: đường thẳng là một chiều vì việc định rõ một điểm ở trên nó đòi hỏi một con số thực.
Trước những năm 1500, số thực là nhân vật chính trong vương quốc toán học. Sau đó, trong thời kì Phục hưng, các nhà toán học lỗi lạc đã nỗ lực đi tìm lời giải cho những dạng phương trình ngày một phức tạp hơn, thậm chí còn tổ chức những cuộc thi xem ai là người có thể giải được những bài toán khó nhất. Căn bậc hai của -1 được đưa ra làm một thứ vũ khí bí mật của nhà toán học, nhà vật lí, nhà cờ bạc, và nhà chiêm tinh học người Italy tên là Gerolamo Cardano. Trong khi những nhà toán học khác cố cãi bướng, thì ông đã liều lĩnh sử dụng con số bí mật này là một phần của những phép tính dài hơn trong đó đáp số là những con số thực bình thường. Ông không rõ lắm vì sao thủ thuật này hoạt động được; tất cả cái ông biết là nó mang lại cho ông những đáp số chính xác. Ông đã công bố ý tưởng của mình vào năm 1545, từ đó bắt đầu diễn ra một cuộc tranh cãi kéo dài hàng thế kỉ: Căn bậc hai của -1 có thật sự tồn tại, hay nó chỉ là một thủ thuật toán học? Gần 100 năm sau, nhà tư tưởng René Descartes đã đưa ra phán quyết cuối cùng khi ông đặt cho nó cái tên mang tính chế giễu là “số ảo”, ngày nay viết tắt là i.
Tuy nhiên, các nhà toán học vẫn tiếp bước Cardano và bắt đầu làm việc với những con số phức – những số có dạng a + bi, trong đó a và b là những con số thực bình thường. Khoảng năm 1806, Jean-Robert Argand phổ biến quan điểm rằng số phức mô tả những điểm nằm trên mặt phẳng. Vậy a + bi mô tả một điểm ở trên mặt phẳng như thế nào? Đơn giản thôi: số a cho chúng ta biết điểm đó ở cách bên trái hoặc bên phải bao nhiêu, còn b cho chúng ta biết nó ở phía trên hay phía dưới bao nhiêu.
Như vậy, chúng ta có thể nghĩ mỗi số phức là một điểm trên mặt phẳng, nhưng Argand còn đi xa hơn một bước: ông chỉ rõ người ta có thể nghĩ về những toán tử thực hiện trên các số phức – cộng, trừ, nhân và chia – giống như các phép tính hình học trên mặt phẳng.
Để hình dung những toán tử này có thể sánh với những thao tác hình học như thế nào, trước tiên ta hãy nghĩ tới các số thực. Cộng hoặc trừ mỗi số thực làm trượt trục thực sang trái hoặc sang phải. Nhân hoặc chia cho mỗi số dương làm giãn hoặc co trục đó lại. Thí dụ, nhân với 2 làm giãn trục lên 2 lần, còn chia cho 2 thu ngắn nó đi 2 lần. Nhân với -1 thì đảo chiều trục.
Thủ tục tương tự hoạt động đối với số phức, với chỉ một vài khác biệt nhỏ. Cộng mỗi số phức a + bi với một điểm trên mặt phẳng làm trượt điểm đó sang phải (hoặc sang trái) một lượng là a, và trượt lên (hoặc trượt xuống) một lượng là b. Nhân với một số phức làm giãn hoặc co, đồng thời làm quay mặt phẳng phức. Đặc biệt, nhân với i làm quay mặt phẳng phức đi một phần tư vòng. Như vậy, nếu chúng ta nhân 1 với i hai lần, thì chúng ta làm quay mặt phẳng phức đúng nửa vòng tròn so với điểm ban đầu, giống như nhân với -1. Phép chia là ngược lại với phép nhân, cho nên đối với phép chia, chúng ta chỉ việc co thay cho giãn, hoặc ngược lại, và sau đó quay theo chiều ngược lại.
Hầu như mọi thứ chúng ta có thể làm với số thực đều có thể làm với số phức. Thật vậy, đa số phép tính hoạt động tốt hơn, như Cardano đã biết, vì với số phức chúng ta có thể giải được nhiều phương trình hơn so với số thực. Nhưng nếu một hệ thống số hai chiều mang lại cho người sử dụng sức mạnh tính toán vượt trội hơn, vậy thì với những hệ thống cao chiều hơn thì sao? Thật không may, một sự mở rộng đơn giản hóa ra là không thể. Hàng thập niên sau đó, một nhà toán học người Ireland đã vén bức màn bí mật cho đậy những hệ thống số cao chiều hơn. Và hai thế kỉ đã trôi qua, hiện nay chúng ta chỉ mới bắt đầu tìm hiểu sức mạnh thật sự của chúng.
Toán học trong không gian đa chiều
Ở trường phổ thông, chúng ta đã được dạy cách liên hệ những quan niệm trừu tượng của phép cộng và phép trừ với những thao tác rời rạc – di chuyển những con số lên xuống trên trục số. Mối liên hệ này giữa đại số và hình học hóa ra là hết sức mạnh mẽ. Do đó, các nhà toán học có thể sử dụng đại số octonion để giải những bài toán trong không gian tám chiều khó tưởng tượng. Hai hình bên dưới trình bày làm thế nào mở rộng những toán tử đại số trên trục số thực sang ánh sáng cho số phức (hai chiều).
Thuật giả kim của Hamilton
Năm 1835, ở tuổi 30, nhà toán học và nhà vật lí William Rowan Hamilton đã khám phá ra phương pháp xử lí số phức dưới dạng những cặp số thực. Lúc ấy, các nhà toán học thường viết số phức dưới dạng a + bi mà Argand đã phổ biến, nhưng Hamilton để ý thấy chúng ta có thể tự do nghĩ số phức a + bi chỉ là một cách viết lạ của hai số thực – thí dụ (a, b).
Kí hiệu này cho phép rất dễ cộng và trừ các số phức – chỉ việc cộng hoặc trừ những số thực tương ứng trong cặp. Hamilton còn đi tới những quy tắc hơi phức tạp hơn một chút để nhân và chia các số phức sao cho chúng giữ nguyên ý nghĩa hình học đẹp đẽ mà Argand đã khám phá ra.
Sau khi Hamilton phát minh ra hệ thống đại số này cho các số phức có ý nghĩa hình học, ông đã nỗ lực trong nhiều năm để phát minh ra một cơ sở đại số lớn hơn gồm những bộ ba giữ vai trò tương tự trong hình học ba chiều; một nỗ lực chẳng mang lại cho ông thành quả gì. Có lần, ông viết cho con trai của mình như sau: “Mỗi buổi sáng... khi bước xuống ăn sáng, em trai của con (khi ấy), và cả con nữa, thường hỏi cha: ‘Cha à, cha có thể nhân những bộ ba con số không?’ Khi đó, cha luôn miễn cưỡng trả lời, cùng với một cái lắc đầu buồn bã, ‘Không, cha chỉ có thể cộng và trừ chúng thôi’”. Mặc dù lúc ấy ông không biết, nhưng nhiệm vụ ông tự giao cho bản thân ông thật ra không thể thực hiện về mặt toán học.
Hamilton đã đi tìm một hệ số ba chiều, trong đó ông có thể thực hiện cộng, trừ, nhân và chia. Phép chia là cái khó nhất: một hệ số trong đó ta có thể thực hiện phép chia được gọi là đại số chia. Cho đến năm 1958 thì ba nhà toán học mới chứng minh được một thực tế bất ngờ đã bỏ ngỏ trong hàng thập kỉ: mỗi đại số chia phải có một chiều (như số thực), hai chiều (như số phức), bốn chiều hoặc tám chiều. Để tiếp tục, Hamilton buộc phải thay đổi các quy tắc của trò chơi.
Tự Hamilton đã nêu ra một giải pháp vào ngày 16 tháng 10 năm 1843. Ông cùng vợ đang đi bộ ven Kênh đào Hoàng gia để đến dự một cuộc họp của Viện Hàn lâm Hoàng gia Ireland ở Dublin, thì ông có một phát kiến bất ngờ. Trong ba chiều, sự quay, giãn hoặc nén không thể nào mô tả chỉ với ba con số. Ông cần một con số thứ tư, từ đó tạo ra một tập hợp bốn chiều gọi là quaternion có dạng a + bi + cj + dk. Ở đây, các số i, j và k là ba căn bậc hai khác nhau của -1.
Sau này, Hamilton có viết: “Khi ấy và tại đó, tôi cảm thấy một mạch điện tư duy đã ở gần bên; và những tia lóe lên từ nó là những phương trình căn bản giữa i, j và k; cứ như thể tôi đã quen chúng tận hồi nào”. Và trong một hành động đáng nhớ của chủ nghĩa phá hoại toán học, ông đã khắc những phương trình này lên thành đá ở cầu Brougham. Mặc dù ngày nay chúng đã bị chôn vùi dưới vết tích của lịch sử, nhưng một tấm biển đã được dựng lên ở đó để kỉ niệm khám phá trên.
Có vẻ thật lạ khi chúng ta cần những điểm trong không gian bốn chiều để mô tả những sự biến đổi trong không gian ba chiều, nhưng điều đó là đúng. Ba trong bốn số dùng để mô tả sự quay, cái chúng ta có thể dễ thấy nhất nếu chúng ta tưởng tượng đang cố gắng điều khiển một chiếc máy bay. Để định hướng máy bay, chúng ta phải điều khiển chuyển động liệng, hay góc hợp với phương ngang. Có thể chúng ta cũng cần điều chỉnh chuyển động trệch đường để rẽ trái hoặc rẽ phải như xe hơi vậy. Và cuối cùng, chúng ta có thể cần điều chỉnh sự lộn vòng: góc của các cánh máy bay. Con số chúng ta cần dùng để mô tả sự giãn ra hoặc co lại.
Hamilton đã trải qua phần còn lại của cuộc đời ông với nỗi ám ảnh về những quaternion và đã tìm thấy nhiều công dụng thực tiễn cho chúng. Ngày nay, trong nhiều ứng dụng này, các quaternion đã bị thay thế bởi những người anh em đơn giản hơn của chúng: các vec-tơ, cái có thể nghĩ là những quaternion có dạng đặc biệt ai + bj + ck (với con số thứ nhất đúng bằng không). Nhưng các quaternion vẫn có chỗ thích hợp dành cho chúng: chúng mang lại một cách hiệu quả để biểu diễn chuyển động quay ba chiều trên máy vi tính và tỏ ra thật hữu dụng, từ hệ thống điều khiển độ cao của phi thuyền cho đến bộ xử lí ảnh của trò chơi video.
Còn tiếp phần hai...
Theo Scientific American, số tháng 5/2011
