Một chút về Nguyên lý bất định

Bài viết của Đàm Thanh Sơn

Đăng trên Dam Thanh Son's Blog

Theo ý kiến của tôi, cơ học lượng tử là một thành tựu văn hoá mang tính phổ quát của nhân loại. Tôi vẫn nhớ lần đầu tiên mình thực sự hiểu được cơ học lượng tử là lúc tôi học năm thứ 3 đại học. Sau đó trong một vài ngày, tôi đi ngoài đường với trạng thái lâng lâng, nhìn những khuôn mặt của những người đi trên đường và nghĩ: những con người kia phần lớn là những người bất hạnh, vì họ cũng như mình vài ngày trước đây không hiểu gì về bản chất lượng tử của thế giới. Cảm giác đó đã qua từ lâu, nhưng tôi nghĩ trong tương lai gần, nếu không phải là ngay bây giờ, một con người được giáo dục toàn diện phải biết những khái niệm cơ bản của cơ học lượng tử, cũng như ai cũng biết đến ba định luật của Newton, hay nguồn gốc phân tử của tính di truyền. Đó là vì không biết các định luật lượng tử thì khó thưởng thức được một phần cái Đẹp của thế giới quanh ta, cái đẹp ở mức nguyên tử.

luong-tu-computing

Đế hiểu sâu, có hệ thống, môn cơ học lượng tử, ta cần một số kiến thức nhất định về toán và vật lý, vượt quá chương trình toán và vật lý phổ thông. Tuy nhiên theo tôi trở ngại lớn nhất để hiểu cơ học lượng tử là trực giác của con người, cái được gọt dũa qua hàng triệu năm tiến hóa. Ta không cần phải biết định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng để đoán được rằng khi một hòn bi nhẹ chuyển động và va vào một hòn bi nặng đang đứng yên, thì hòn bi nhẹ sẽ bị bật ngược trở lại, nhưng khi một hòn bi nặng va vào một hòn bi nhẹ đang đứng yên thì hòn bi nặng vẫn tiếp tục tiến lên phía trước như không có chuyện gì xảy ra. Những cảm nhận trên đều là do kinh nghiệm trong cuộc sống hàng ngày, nếu không nói đến việc là nhiều người trong số chúng ta lúc còn bé đã từng chơi bi. Vấn đề của cơ học lượng tử là ta ít có kinh nghiệm với thế giới vi mô — ít ai có dịp chơi với những hòn bi kích thước chỉ bằng một nguyên tử — và chính điều này làm cho các hiện tượng lượng tử trở nên rất khó tiếp thu khi mới làm quen. Nhưng rất may, các nguyên lý của cơ học lượng tử có thể hiểu được, ít nhất là ở mức định tính và nhiều khi ở mức bán định lượng, chỉ cần dùng kiến thức toán và vật lý phổ thông.

Một chút lịch sử

Người đầu tiên tìm ra cơ học lượng tử là Heisenberg. Lúc đó ông ta mới 23 tuổi, đang phải đi nghỉ ở một hòn đảo để chữa dị ứng. Gần như đồng thời, Schrödinger, 38 tuổi, tìm ra cơ học lượng tử theo phương pháp của mình sau khi đi an dưỡng ở một nhà nghỉ trên núi với một người phụ nữ bí ẩn, cho đến nay không ai biết tên. Nếu là họa sĩ, tôi sẽ vẽ một bức tranh mang tên “Bình minh của cơ học lượng tử” mô tả một sự kiện có thật: Heisenberg, qua một đêm tính toán căng thẳng và đã biết rằng lý thuyết của mình là đúng, leo lên một hòn đá nhô ra biển để đón mặt trời lên. Hai phương pháp tiếp cận của Heisenberg va Schrödinger rất khác nhau, nhưng tương đương với nhau. Sau đó năm 1941 Feynman tìm ra một cách phát biểu thứ ba cho cơ học lượng tử.

Trong khuôn khổ bài này, tôi chỉ nói đến nguyên lý bất định của Heisenberg.

Những ai đã học vật lý chắc còn nhớ khái niệm “chất điểm”. Ta tưởng tượng ra một điểm, không có cấu trúc, mang một khối lượng $m$ nhất định. Các hạt cơ bản, ví dụ như electron (điện tử), có thể coi là chất điểm: chúng không có cấu trúc gì cả.

Trong cơ học cổ điển, trạng thái của chất điểm bao gồm vị trí của nó, và vận tốc của nó. Trong vật lý có một khái niệm rất tiện dụng là xung lượng. Xung lượng của chất điểm là tích của khối lương và vận tốc: $p=mv$ . Vận tốc của một hạt được đo bằng cm/s. Xung lượng đo bằng g cm/s. Động năng của một hạt khối lượng $m$ chuyển động với vận tốc $v$ là $mv^2/2$ , hoặc ta có thế viết là $p^2/2m$ .

Trong cơ học cổ điển, tọa độ và xung lượng của một hạt có thể được xác định với một độ chính xác tùy ý. Nhưng trong cơ học lượng tử thì không phải như vậy. Nếu tọa độ dược xác định rất chính xác thì xung lượng không thể xác định chính xác được, và ngược lai. Trên mức độ toán học hơn một chút, nguyên lý bất định của Heisenberg là

$\Delta x \, \Delta p > \hbar$

trong đó $\Delta x$ là độ bất định của tọa độ, $\Delta p$ là độ bất định của xung lượng, và $\hbar$ (chữ h có gạch ngang ở trên) là hằng số Planck, một hằng số cơ bản của tự nhiên. Giá trị của hằng số này là $\hbar$ =1.054×10^-27 g cm²/s

Bản chất của nguyên lý bất định là như thế nào? Nếu ta tóm một con chuột, nó sẽ giãy giụa để chạy ra khỏi tay ta. Ta cứ tưởng tượng vạn vật trong tự nhiên đều như vậy. Nếu ta định “tóm” một vật lại, không cho vị trí của nó xê dịch quá một kích thước bằng $R$ , nó sẽ không thể ngồi yên trong đó. Nghĩa là hạt đó sẽ có một xung lượng ít nhất cỡ $\hbar/R$ , tức là vận tốc ít nhất cỡ $\hbar/(m R)$ . Chuyển động này được gọi là chuyển động lượng tử.

Bạn đọc đến đây có thể bảo: làm gì có chuyện đó! Nếu tôi có một hòn đá, nếu tay tôi không run, tôi có thể giữ chặt cho nó không cựa cậy được, làm gì có chuyện nó giãy giụa như con chuột! Nhưng thực ra, hòn đá của bạn vẫn cựa cậy, chỉ có điều rất yếu thôi. Đó là do hằng số Planck $\hbar$ rất nhỏ. Ta giả sử hòn đá của bạn nặng 100 g, và bạn giữ nó không cho nó cựa cậy quá giới hạn 1 micrômét. Theo công thức của nguyên lý bất định thì hòn đá sẽ cựa cậy với vận tốc là 10^-25 cm/s — một vận tốc quá nhỏ để ta có thể cảm thấy được.

Thế nhưng với những hạt rất nhỏ thì hiệu ứng của nguyên lý bất định có thể cảm thấy được. Nếu thay vì hòn đá ta lấy một nguyên tử hyđrô có khối lượng cỡ 10^-24 g thì vấn đề khác hẳn rồi. Lúc này tốc độ “cựa cậy” của nguyên tử sẽ là 10 cm/s — một tốc độ ta có thể tưởng tượng được! Thay nguyên tử bằng một hạt điện tử có khối lượng cỡ 10^-27 g thì tốc độ này lên tới 100 m/s. Nguyên lý bất định của Heisenberg nói rằng không có cách này giảm tốc độ này xuống bằng không: chuyển động lượng tử là tính chất cố hữu của các vật.

Tại sao điện tử không rơi vào trong hạt nhân

Theo mẫu nguyên tử của Bohr, điện tử quay xung quanh hạt nhân, giống như những hành tinh quay xung quanh mặt trời. Ta có thể hỏi là: tại sao điện tử không rơi vào trong hạt nhân? Nhớ lại là lực giữa hạt nhân và điện tử là lực hút. Nếu điện tử có thể nằm gọn trong hạt nhân, thay vì quay xung quanh hạt nhân, thì thế năng của nó giảm đi nhiều. Nếu ta có thể “ấn” điện tử vào trong hạt nhân thì ta sẽ giải phóng ra một năng lượng khổng lồ.

Nguyên lý bất định của Heisenberg giải thích tại sao điều này không thể xảy ra được. Đó là do nếu ta muốn giam điện tử vào trong một không gian chật hẹp như hạt nhân thì nó sẽ vùng vẫy chạy ở trong đó với một xung lượng rất lớn. Bạn có thể dùng công thức trên và tính ra là vận tốc của điện tử đạt đến tốc độ ánh sáng trước khi ta có thể cầm tù nó trong bán kính của hạt nhân (bằng khoảng 10^-13 cm). Như thế thì “lợi bất cập hại”: ta được lợi về thế năng khi cho điện tử vào gần hạt nhân, thì lại thiệt vì bây giờ động năng của nó quá lớn.

Như vậy trong một nguyên tứ, có một khoảng cách tối ưu giữa các điện tử và hạt nhân. Ta sẽ đánh giá khoảng cách này cho nguyên tử đơn giản nhất là nguyên tử hydro, bao gồm một hạt nhân và một điện tử. Đoạn tiếp dưới đây có sử dụng một chút toán học và vật lý. Ký hiệu khoảng cách giữa điện tử và hạt nhân là $r$ , lúc đó:

thế năng của hạt sẽ là: $-e^2/r$ , trong đó $e$ là điện tích của electron; $e$ =4.8×10^-10 g^1/2 cm^3/2 s^-1.

động năng của hạt sẽ là: $p^2/2m$ , nhưng xung lượng $p=\hbar/r$ , nên động năng là $(\hbar /r)^2/2m$ . Khối lượng của điện tử $m$ =9.1×10^-28 g.

Năng lượng của hạt là tổng của động năng và thế năng

$E=\displaystyle{-\frac {e^2}r + \frac{\hbar^2}{2mr^2}}$ .

Khảo sát hàm số này, ta thấy nó có cực tiểu ở:

$r =\displaystyle{\frac{\hbar^2}{m e^2}}$

Đây chính là bán kính Bohr của nguyên tử hydro. Giá trị số của đại lượng này là 0.05 nanômét. Kích thước các nguyên tử của các nguyên tố khác đều cỡ 0.1 nanômét cả. Điều này giải thích tại sao khối lượng riêng của tất cả các chất rắn và lỏng đều loanh quanh ở 1–10 g/cm³ cả, không có chất nào khối lượng riêng lên tới 100 g/cm³: trong chất lỏng và chất rắn các nguyên tử đã chạm vào nhau rồi, nếu muốn tăng mật độ lên thì ta phải có một áp suất rất lớn.

Đàm Thanh Sơn