chứng minh đẳng thức nabla

[tranhoaganh.3789]

huhu. mọi người cứu mình với. có ai giúp mình chứng minh các hằng đẳng thức nabla ko?
[tex]grad(\Psi .\phi )=\Psi grad\phi +\phi grad \Psi[/tex]
[tex]\inline \large div(\Psi .\vec{A})=\vec{A}grad\Psi +\Psi div\vec{A}[/tex]
[tex]\inline \large div(\vec{A}\Join \vec{B}=\vec{B}rot\vec{A}-\vec{A}rot\vec{B}[/tex]
[tex]\inline \large rot rot\vec{A}=grad div\vec{A}-(nabla)^{2}.\vec{A}[/tex]
cảm ơn mọi người!

[Điền Quang]

huhu. mọi người cứu mình với. có ai giúp mình chứng minh các hằng đẳng thức nabla ko?
[tex]grad(\Psi .\phi )=\Psi grad\phi +\phi grad \Psi[/tex]

Ta có:

[tex]grad(\Psi .\phi )= \frac{\partial (\Psi .\phi )}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial (\Psi .\phi )}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial (\Psi .\phi )}{\partial z}\vec{k}[/tex]

Mà:

[tex]\frac{\partial (\Psi .\phi )}{\partial x}\vec{i} = \phi \frac{\partial (\Psi )}{\partial x}\vec{i} + \Psi \frac{\partial (\phi )}{\partial x}\vec{i}[/tex] (1)

[tex]\frac{\partial (\Psi .\phi )}{\partial y}\vec{j} = \phi \frac{\partial (\Psi )}{\partial y}\vec{j} + \Psi \frac{\partial (\phi )}{\partial y}\vec{j}[/tex] (2)

[tex]\frac{\partial (\Psi .\phi )}{\partial z}\vec{k} = \phi \frac{\partial (\Psi )}{\partial z}\vec{k} + \Psi \frac{\partial (\phi )}{\partial z}\vec{k}[/tex] (3)

 ~O) Cộng (1), (2) và (3) lại ta có:

[tex]grad(\Psi .\phi )= \left[ \phi \frac{\partial (\Psi )}{\partial x}\vec{i} + \phi \frac{\partial (\Psi )}{\partial y}\vec{j}+ \phi \frac{\partial (\Psi )}{\partial z}\vec{k}\right] + \left[ \Psi \frac{\partial (\phi )}{\partial x}\vec{i} + \Psi \frac{\partial (\phi )}{\partial y}\vec{j} + \Psi \frac{\partial (\phi )}{\partial z}\vec{k}\right][/tex]

[tex]\Leftrightarrow grad(\Psi .\phi )= \phi . grad \Psi+ \Psi. grad \phi[/tex]

[Điền Quang]

[tex]\inline \large div(\Psi .\vec{A})=\vec{A}grad\Psi +\Psi div\vec{A}[/tex]

Ta có:

[tex]\inline \large div(\Psi .\vec{A})= \bigtriangledown (\Psi .\vec{A})=\bigtriangledown (\Psi_{c} .\vec{A})+ \bigtriangledown (\Psi .\vec{A}_{c})[/tex]

 ~O) Lưu ý: chữ "c" ở dưới mỗi phần chỉ có nghĩa là ta tạm thời xem phần tử đó không đổi để lấy đạo hàm.

Mà:

 ~O) [tex]\bigtriangledown (\Psi_{c} .\vec{A})= \Psi_{c} .\bigtriangledown \vec{A}= \Psi .\bigtriangledown \vec{A}[/tex] (1)

Ta thay [tex]\Psi_{c}[/tex] bằng [tex]\Psi[/tex] vì nó đứng trước toán tử nên không chịu tác dụng của toán tử.

 ~O) [tex]\bigtriangledown (\Psi .\vec{A}_{c})= \bigtriangledown (\Psi) .\vec{A}_{c}= \vec{A}_{c}.\bigtriangledown \Psi= \vec{A}.\bigtriangledown \Psi[/tex] (2)

Ta có điều này vì toán tử chỉ tác dụng lên đại lượng vô hướng, nên có thể đưa vector ra ngoài. \

 ~O) Từ (1) và (2) ta có:

[tex]\bigtriangledown (\Psi .\vec{A})=\Psi .\bigtriangledown \vec{A}+ \vec{A}.\bigtriangledown \Psi[/tex]

[tex]\Leftrightarrow div (\Psi .\vec{A})=\Psi .div \vec{A}+ \vec{A}.grad \Psi[/tex]

[Điền Quang]

[tex]\inline \large div(\vec{A}\Join \vec{B}=\vec{B}rot\vec{A}-\vec{A}rot\vec{B}[/tex]

Ta có: [tex]div \left(\vec{a}\times \vec{b} \right)=\bigtriangledown \left(\vec{a}\times \vec{b} \right)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \bigtriangledown \left(\vec{a}\times \vec{b} \right)= \bigtriangledown \left(\vec{a}_{c}\times \vec{b} \right)+ \bigtriangledown \left(\vec{a}\times \vec{b}_{c} \right)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \bigtriangledown \left(\vec{a}\times \vec{b} \right)= -\bigtriangledown \left(\vec{b}\times \vec{a}_{c}\right)+ \left(\bigtriangledown \times \vec{a} \right). \vec{b}_{c}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \bigtriangledown \left(\vec{a}\times \vec{b} \right)= - \left(\bigtriangledown \times \vec{b}\right).\vec{a}_{c}+ \left(\bigtriangledown \times \vec{a} \right). \vec{b}_{c}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \bigtriangledown \left(\vec{a}\times \vec{b} \right)= - \vec{a}_{c}. \left(\bigtriangledown \times \vec{b}\right)+ \vec{b}_{c}.\left(\bigtriangledown \times \vec{a} \right)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \bigtriangledown \left(\vec{a}\times \vec{b} \right)= - \vec{a}. \left(\bigtriangledown \times \vec{b}\right)+ \vec{b}.\left(\bigtriangledown \times \vec{a} \right)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow div \left(\vec{a}\times \vec{b} \right)= - \vec{a}.rot \vec{b}+ \vec{b}. rot\vec{a}[/tex]

[Trần Triệu Phú]

thầy Điền Quang còn nhớ mấy cái này hay quá
nãy đọc tinh lật sách Lê Đình Hùng ra coi lại!

[Điền Quang]

[tex]\inline \large rot rot\vec{A}=grad div\vec{A}-(nabla)^{2}.\vec{A}[/tex]

Ta có:

[tex]rot rot\vec{A}= \bigtriangledown \times \left( \bigtriangledown \times \vec{A}\right)= \bigtriangledown\left(\bigtriangledown. \vec{A} \right)-\left( \bigtriangledown.\bigtriangledown\right).\vec{A}= \bigtriangledown\left(\bigtriangledown. \vec{A} \right)-\bigtriangledown^{2}.\vec{A}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow rot rot\vec{A}= graddiv\vec{A}-\Delta\vec{A}[/tex]

[Điền Quang]

thầy Điền Quang còn nhớ mấy cái này hay quá
nãy đọc tinh lật sách Lê Đình Hùng ra coi lại!

Gửi Thầy Phú: Cũng phải mở sách ra xem lại đó chứ, chứ sao nhớ nổi hết.  8-x    8-x

[tranhoaganh.3789]

Cảm ơn thấy rất nhiều. thầy ơi còn 3 câu nữa giúp dùm em luôn nha. mới học nên không hiểu lắm.thanks!
[tex]rot(\Psi \vec{A})=\Psi rot\vec{A}+[grad\Psi \Join \vec{A} ][/tex]
[tex]rot grad\Psi =0[/tex]
[tex]divrot\vec{A}=0[/tex]

[Điền Quang]

Cảm ơn thấy rất nhiều. thầy ơi còn 3 câu nữa giúp dùm em luôn nha. mới học nên không hiểu lắm.thanks!
[tex]rot(\Psi \vec{A})=\Psi rot\vec{A}+[grad\Psi \Join \vec{A} ][/tex]

Ta có: [tex]rot\left(\varphi \vec{A} \right)= \bigtriangledown \times \left(\varphi \vec{A} \right)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \bigtriangledown \times \left(\varphi \vec{A} \right)= \bigtriangledown \times \left(\varphi_{c} \vec{A} \right) + \bigtriangledown \times \left(\varphi \vec{A}_{c} \right)[/tex]

 ~O) Chữ "c" ở dưới mỗi đại lượng cho biết tạm xem đại lượng đó không đổi để lấy đạo hàm.

[tex]\Leftrightarrow \bigtriangledown \times \left(\varphi \vec{A} \right)= \varphi_{c} \bigtriangledown \times \vec{A} + \bigtriangledown \varphi \times\vec{A}_{c}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \bigtriangledown \times \left(\varphi \vec{A} \right)= \varphi.rot\vec{A} - \vec{A}\times \bigtriangledown \varphi[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \bigtriangledown \times \left(\varphi \vec{A} \right)= \varphi.rot\vec{A} - \vec{A}\times grad\varphi[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \bigtriangledown \times \left(\varphi \vec{A} \right)= \varphi.rot\vec{A} + grad\varphi \times \vec{A}[/tex]

[Điền Quang]

[tex]rot grad\Psi =0[/tex]
[tex]divrot\vec{A}= 0[/tex]

Hai câu này giống nhau, kết quả bằng không đều là do tính chất của tích vector.

[tex]rot grad\Psi = \bigtriangledown \times \bigtriangledown \Psi = \left(\bigtriangledown \times \bigtriangledown \right)\Psi = 0[/tex]

 ~O) Tích hữu hướng hai vector giống nhau thì bằng không.

[tex]divrot\vec{A}=\bigtriangledown .\left(\bigtriangledown \times \vec{A} \right) = 0[/tex]

 ~O) Kết quả ra như vậy là do ở trên là tích hỗn hợp ba vector, trong đó có hai vector giống nhau nên kết quả cũng bằng không.

[smallwonder_1992]

thầy cô và các bạn giúp em mấy bài này với ạ. em làm không ra. hiện tịa em khôg quen dùng cách chèn công thức toán học trong web mình nên em tạm viết trong mathtype rồi chuyển qua paint và chèn hình ảnh vào đây. hi vọng các thầy cô và các bạn thông cảm.

[smallwonder_1992]

em mới tìm được mấy công thức nhân hữu hướng 3vector nên hôm nay mới làm lại được mấy bài tập này. Nhưng vì kiến thức chưa vững nên em không chắc là em làm đúng. vậy nên em đăng bài làm lên mong các thầy xem giùm em có đúng ko(em mới làm được 4 câu 1,2,4,5 còn câu 3 thì biến đổi mãi không ra, tiện các thầy giúp em câu 3 với ạ).
 Chú thích: .chỉ có dấu x là nhân hữu hướng
                .các vector được đánh dấu ắ là vector chịu tác dụng của toán tử

[Hồng Nhung]

câu 3 thì biến đổi mãi không ra, tiện các thầy giúp em câu 3 với

[bibobobi]

thầy ơi cho em hỏi có tài liệu nào nói kỹ về phần toán tử nabla va laplace ko thầy...nếu có thầy cho em xin lick tải về dc ko?
em cam on :x

[nhokiudoi]

[tex]\inline \large div(\Psi .\vec{A})=\vec{A}grad\Psi +\Psi div\vec{A}[/tex]

Ta có:

[tex]\inline \large div(\Psi .\vec{A})= \bigtriangledown (\Psi .\vec{A})=\bigtriangledown (\Psi_{c} .\vec{A})+ \bigtriangledown (\Psi .\vec{A}_{c})[/tex]

 ~O) Lưu ý: chữ "c" ở dưới mỗi phần chỉ có nghĩa là ta tạm thời xem phần tử đó không đổi để lấy đạo hàm.

Mà:

 ~O) [tex]\bigtriangledown (\Psi_{c} .\vec{A})= \Psi_{c} .\bigtriangledown \vec{A}= \Psi .\bigtriangledown \vec{A}[/tex] (1)

Ta thay [tex]\Psi_{c}[/tex] bằng [tex]\Psi[/tex] vì nó đứng trước toán tử nên không chịu tác dụng của toán tử.

 ~O) [tex]\bigtriangledown (\Psi .\vec{A}_{c})= \bigtriangledown (\Psi) .\vec{A}_{c}= \vec{A}_{c}.\bigtriangledown \Psi= \vec{A}.\bigtriangledown \Psi[/tex] (2)

Ta có điều này vì toán tử chỉ tác dụng lên đại lượng vô hướng, nên có thể đưa vector ra ngoài. \

 ~O) Từ (1) và (2) ta có:

[tex]\bigtriangledown (\Psi .\vec{A})=\Psi .\bigtriangledown \vec{A}+ \vec{A}.\bigtriangledown \Psi[/tex]

[tex]\Leftrightarrow div (\Psi .\vec{A})=\Psi .div \vec{A}+ \vec{A}.grad \Psi[/tex]

Thưa thầy em có chỗ muốn hỏi là nếu cái nào chịu tác dụng của đạo hàm thì phải ở phía bên phải [tex]\Delta[/tex] nhưng em thấy thầy lại đưa sang bên trái

[nhokiudoi]

[tex]\inline \large div(\vec{A}\Join \vec{B}=\vec{B}rot\vec{A}-\vec{A}rot\vec{B}[/tex]

Ta có: [tex]div \left(\vec{a}\times \vec{b} \right)=\bigtriangledown \left(\vec{a}\times \vec{b} \right)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \bigtriangledown \left(\vec{a}\times \vec{b} \right)= \bigtriangledown \left(\vec{a}_{c}\times \vec{b} \right)+ \bigtriangledown \left(\vec{a}\times \vec{b}_{c} \right)[/tex]
Thầy ơi, tại sao lại có dấu trừ (-) đằng trước vậy ạ
[tex]\Leftrightarrow \bigtriangledown \left(\vec{a}\times \vec{b} \right)= -\bigtriangledown \left(\vec{b}\times \vec{a}_{c}\right)+ \left(\bigtriangledown \times \vec{a} \right). \vec{b}_{c}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \bigtriangledown \left(\vec{a}\times \vec{b} \right)= - \left(\bigtriangledown \times \vec{b}\right).\vec{a}_{c}+ \left(\bigtriangledown \times \vec{a} \right). \vec{b}_{c}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \bigtriangledown \left(\vec{a}\times \vec{b} \right)= - \vec{a}_{c}. \left(\bigtriangledown \times \vec{b}\right)+ \vec{b}_{c}.\left(\bigtriangledown \times \vec{a} \right)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \bigtriangledown \left(\vec{a}\times \vec{b} \right)= - \vec{a}. \left(\bigtriangledown \times \vec{b}\right)+ \vec{b}.\left(\bigtriangledown \times \vec{a} \right)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow div \left(\vec{a}\times \vec{b} \right)= - \vec{a}.rot \vec{b}+ \vec{b}. rot\vec{a}[/tex]

[Điền Quang]

Thưa thầy em có chỗ muốn hỏi là nếu cái nào chịu tác dụng của đạo hàm thì phải ở phía bên phải [tex]\Delta[/tex] nhưng em thấy thầy lại đưa sang bên trái

Phần tử nào chịu tác dụng của đạo hàm thì ở bên trái ký hiệu là đúng. Những phần chúng tôi đưa sang trái tức là không chịu tác dụng của đạo hàm.

Điều này giống như lấy đạo hàm lớp 12:

(u.v)' = u' v + u v'

Chỉ khác là chúng tôi đưa những phần không đạo hàm qua trái thôi. Như vậy để tránh hiểu lầm.

[Điền Quang]

Thầy ơi, tại sao lại có dấu trừ (-) đằng trước vậy ạ

Em thử suy luận bằng một phép tính vector đơn giản ở bậc phổ thông:

[tex]\vec{a}\times \vec{b}= - \left(\vec{b}\times \vec{a} \right)[/tex] (tích hữu hướng hai vector)

Điều em hỏi cũng hoàn toàn như trên.