Nguyên lí Archimedes

Chúng tôi trích giới thiệu với các bạn một số bản dịch từ tác phẩm Những câu hỏi và bài tập vật lí phổ thông của hai tác giả người Nga L. Tarasov và A. Tarasova, sách xuất bản ở Nga năm 1968. Bản dịch lại từ bản tiếng Anh xuất bản năm 1973.

Các bài giảng được trình bày dưới dạng thảo luận hỏi đáp giữa giáo viên và học sinh.

§16. Nguyên lí Archimedes

GV: Các em có biết nguyên lí Archimedes không?

HS: Vâng, tất nhiên có ạ. Lực nổi do một chất lỏng tác dụng lên một vật dìm trong nó đúng bằng trọng lượng của phần chất lỏng bị vật chiếm chỗ.

GV: Chính xác. Chỉ có điều là nó nên được mở rộng để bao gồm cả chất khí: chất khí cũng tác dụng một lực nổi lên một vật “dìm” trong nó. Và bây giờ em có thể nêu một chứng minh lí thuyết cho phát biểu của em không?

HS A: Một chứng minh của nguyên lí Archimedes ư?

GV: Vâng.

HS A: Nhưng nguyên lí Archimedes được phát hiện trực tiếp là kết quả thí nghiệm mà.

GV: Khá chính xác. Tuy nhiên, nó có thể được suy ra từ những xét đoán năng lượng đơn giản. Hãy tưởng tượng em nâng một vật thể tích V và khối lượng riêng r lên một độ cao H, trước tiên trong chân không, sau đó trong một chất lỏng có khối lượng riêng ρ₀. Năng lượng cần thiết trong trường hợp thứ nhất bằng ρgVH. Năng lượng cần thiết trong trường hợp thứ hai là nhỏ hơn bởi vì việc nâng một vật thể tích V lên một độ cao H xảy ra cùng với sự hạ một thể tích V của chất lỏng xuống một độ cao H. Do đó, năng lượng tiêu hao trong trường hợp thứ hai bằng (ρgVH – ρ₀gVH). Xem số trừ ρ₀gVH là công thực hiện bởi một lực nhất định, chúng ta kết luận rằng, so với trong chân không, trong một chất lỏng có thêm lực F = ρ₀gV tác dụng lên vật nên nó dễ nâng lên hơn. Lực này được gọi là lực nổi. Khá rõ ràng, nó chính là trọng lượng của chất lỏng trong thể tích V của vật dìm trong chất lỏng đó. (Lưu ý rằng chúng ta đã bỏ qua năng lượng tiêu hao cùng với sự ma sát do sự dời chỗ thật sự của vật trong chất lỏng đó.)

Nguyên lí Archimedes có thể được suy luận từ một cách hơi khác nữa. Giả sử vật dìm trong chất lỏng có dạng một khối trụ chiều cao h và diện tích đáy của nó là S (Hình 67). Giả sử áp suất ở mặt trên là p. Khi đó áp suất ở mặt đáy sẽ bằng p + ρ₀gh. Như vậy, độ chênh lệch áp suất giữa mặt trên và mặt đáy là ρ₀gh. Nếu ta nhân độ chênh lệch này với diện tích S của mặt đáy, thì ta thu được lực F = ρ₀ghS có xu hướng đẩy vật lên trên. Vì hS = V, thể tích của hình trụ, nên ta có thể dễ dàng thấy đây chính là lực nổi xuất hiện trong nguyên lí Archimedes.

HS A: Vâng, giờ thì em đã thấy nguyên lí Archimedes có thể được suy ra từ sự luận giải lí thuyết thuần túy.

GV: Trước khi tiếp tục, chúng ta hãy nhắc lại điều kiện cho sự nổi của một vật.

HS A: Em nhớ điều kiện đó. Trọng lượng của vật phải cân bằng với lực nổi tác dụng lên vật theo nguyên lí Archimedes.

GV: Khá chính xác. Đây là một ví dụ dành cho em. Một cục nước đá nổi trong một bình chứa nước. Hỏi mực nước có thay đổi không khi cục nước đá tan ra?

HS A: Mực nước sẽ giữ nguyên không đổi bởi vì trọng lượng của cục nước đá cân bằng với lực nổi và do đó bằng trọng lượng của nước bị cục nước đá chiếm chỗ. Khi nước đá tan ra, nó biến đổi thành nước có thể tích bằng thể tích của nước bị chiếm chỗ trước đó.

GV: Đúng rồi. Và bây giờ ta hãy giả sử rằng, chẳng hạn, có một miếng chì bên trong cục nước đá. Điều gì sẽ xảy ra với mực nước sau khi cục nước đá tan ra trong trường hợp này?

HS A: Em không chắc cho lắm, nhưng em nghĩ mực nước sẽ giảm đi một chút. Tuy nhiên, em không thể chứng minh điều này.

GV: Chúng ta hãy kí hiệu thể tích của cục nước đá cùng với chì là V, thể tích của miếng chì là v, thể tích của nước bị chiếm chỗ bởi phần nước đá chìm trong đó là V₁, khối lượng riêng của nước là ρ₀, khối lượng riêng của nước đá là ρ₁ và khối lượng riêng của chì là ρ₂. Cục nước đá cùng với miếng chì có trọng lượng bằng

ρ₁g(V – v) + ρ₂gv

Trọng lượng này cân bằng với lực nổi ρ₀gV₁. Như vậy

ρ₁g(V – v) + ρ₂gv = ρ₀gV₁ (90)

Sau khi tan ra, cục nước đá biến thành nước có thể tích V₂ được tìm từ phương trình

ρ₁g(V – v) = ρ₀gV₂

Thay phương trình này vào phương trình (90) ta được

ρ₀gV₂ + ρ₂gv = ρ₀gV₁

Từ đó ta tìm được thể tích của nước thu được do nước đá tan ra là

V₂ = V₁ – v ρ₂/ρ₀ (91)

Như vậy, trước khi nước đá tan, thể tích nước bị chiếm chỗ là V₁. Sau đó chì và nước do nước đá tan ra bắt đầu chiếm thể tích (V₂ + v). Để trả lời câu hỏi về mực nước trong bình, ta so sánh những thể tích này. Từ phương trình (91) ta có

V₂ + v = V₁ – v (ρ₂ – ρ₀)/ρ₀ (92)

Vì r₂> r₀ (chì nặng hơn nước), nên có thể thấy từ phương trình (92) là (V₂ + v) < V₁. Vì thế, mực nước sẽ giảm là hệ quả của nước đá tan. Chia độ chênh lệch thể tích V₁ – (V₂ + v) cho tiết diện S của bình (giả sử, cho đơn giản, cái bình có dạng hình trụ) ta có thể tìm được độ cao h mà mực nước giảm đi sau khi nước đá tan. Như vậy

Các em có hiểu phần giải của bài toán này không?

HS A: Vâng, em khá chắc chắn là mình hiểu rồi.

GV: Bây giờ, thay cho miếng chì, chúng ta hãy để một miếng phao bần thể tích v và khối lượng riêng ρ₃ vào trong cục nước đá. Điều gì sẽ xảy ra với mực nước khi nước đá tan?

HS A: Em nghĩ nó sẽ dâng lên một chút.

GV: Vì sao?

HS A: Trong ví dụ với chì, mực nước giảm. Chì thì nặng hơn nước, và miếng phao bần thì nhẹ hơn nước. Như vậy, trong trường hợp miếng phao, ta sẽ thấy hiệu ứng ngược lại: mực nước sẽ dâng lên.

GV: Em không đúng rồi. Câu trả lời của em sẽ đúng nếu như miếng phao vẫn chìm sau khi nước đá tan. Vì miếng phao nhẹ hơn nước nên chắc chắn nó sẽ trồi lên và nổi trên mặt nước. Do đó, ví dụ với miếng phao (hay bất kì vật nào nhẹ hơn nước) đòi hỏi phải xem xét đặc biệt. Sử dụng kết quả của phương trình (91), ta có thể tìm được sự chênh lệch giữa thể tích của nước bị chiếm chỗ bởi cục nước đá và miếng phao, và thể tích của nước thu được do nước đá tan ra. Như vậy

Như vậy, thể tích nước bị chiếm chỗ bởi cục nước đá đúng bằng tổng thể tích của nước thu được do nước đá tan và thể tích bị chiếm chỗ bởi phần chìm của miếng phao nổi. Cho nên trong trường hợp này mực nước vẫn giữ nguyên không đổi.

HS A: Vậy nếu cục nước đá chỉ chứa một cái bọt khí thay cho miếng phao thì sao thưa thầy?

GV: Sau khi nước đá tan, cái bọt khí này sẽ được giải phóng. Có thể dễ dàng thấy rằng mực nước trong bình sẽ bằng y như trước khi nước đá tan. Tóm lại, ví dụ với cái bọt khí trong cục nước đá tương tự với ví dụ miếng phao.

HS A: Em thấy rồi, những câu hỏi và bài tập khá lí thú có thể được nghĩ ra dựa trên nguyên lí Archimedes.

GV: Thật đáng tiếc, một số thí sinh không chú ý cho lắm tới nguyên lí này khi chuẩn bị bước vào những kì thi vật lí.

Chúng ta hãy xét ví dụ sau đây. Một bên đĩa của một cái cân mang một cái bình chứa nước và đĩa cân bên kia mang một cái cần cùng một vật nặng treo bên dưới nó. Hai đĩa cân nằm cân bằng (Hình 68a). Sau đó người ta xoay cái cần sao cho vật nặng treo dưới nó hoàn toàn ngập chìm trong nước. Rõ ràng trạng thái cân bằng đã bị nhiễu vì bên đĩa cân có cái cần đã trở nên nhẹ hơn (Hình 68b). Hỏi phải thêm một vật nặng bao nhiêu vào đĩa cân có cái cần để lấy lại sự cân bằng?

HS A: Vật nặng chìm chịu tác dụng của lực nổi bằng trọng lượng của khối nước bị chiếm chỗ bởi vật chìm (chúng ta kí hiệu phần trọng lượng nước này là P). Như vậy, để lấy lại sự cân bằng, cần đặt lên đĩa cân bên cái cần một vật nặng trọng lượng P.

GV: Em sai rồi. Em sẽ làm tốt nếu nhớ lại định luật III Newton. Theo định luật này, lực mà nước trong bình tác dụng lên vật chìm đúng bằng lực do vật chìm tác dụng lên nước theo hướng ngược lại. Như vậy, khi trọng lượng của đĩa cân bên cái cần giảm, thì trọng lượng của đĩa cân bên cái bình tăng. Do đó, để lấy lại sự cân bằng, phải thêm vào đĩa cân bên cái cần một vật nặng 2P.

HS A: Em không hiểu lắm sự lí giải của thầy. Xét cho cùng thì tương tác của vật chìm và nước không thể nào giống với tương tác của hai vật trong cơ học được.

GV: Phạm vi áp dụng của định luật III Newton không chỉ hạn chế với cơ học. Phát biểu “với mỗi tác dụng có một phản tác dụng ngược chiều và bằng về độ lớn” đúng cho nhiều loại tương tác. Tuy nhiên, chúng ta có thể áp dụng một hướng lí giải khác trong trường hợp của chúng ta, một hướng mà chắc chắn các em sẽ không phản đối nữa. Ta hãy xem cái cần có vật nặng và cái bình có nước là bộ phận của một hệ có trọng lượng toàn phần hiển nhiên bằng tổng trọng lượng của đĩa cân bên trái và trọng lượng của đĩa cân bên phải. Trọng lượng toàn phần của hệ sẽ không đổi do sự tương tác giữa những bộ phận của nó với nhau. Vì thế, nếu hệ quả của sự tương tác là trọng lượng của đĩa cân bên phải giảm đi P, thì trọng lượng của đĩa cân bên trái cũng phải tăng lên một lượng bằng như vậy (P). Do đó, sau khi vật nặng chìm trong bình nước, độ chênh lệch trọng lượng của đĩa cân bên trái và bên phải sẽ là 2P.

Bài tập

38. Một cái bình hình trụ, có tiết diện S, chứa đầy nước trong đó có nổi một cục nước đá chứa một quả cầu chì bên trong. Thể tích của cục nước đá và quả cầu chì là V và 1/20 thể tích này nằm phía trên mực nước. Hỏi mực nước trong bình sẽ giảm đến vạch nào sau khi cục nước đá tan hết? Khối lượng riêng của nước, nước đá và chì giả sử là đã biết.

Những câu hỏi và bài tập vật lí phổ thông
L. Tarasov và A. Tarasova
Trần Nghiêm dịch
Phần tiếp theo >>