Phân tích đồ thị biểu diễn động học của chuyển động thẳng

Chúng tôi trích giới thiệu với các bạn một số bản dịch từ tác phẩm Những câu hỏi và bài tập vật lí phổ thông của hai tác giả người Nga L. Tarasov và A. Tarasova, sách xuất bản ở Nga năm 1968. Bản dịch lại từ bản tiếng Anh xuất bản năm 1973.

Các bài giảng được trình bày dưới dạng thảo luận hỏi đáp giữa giáo viên và học sinh.

PHÂN TÍCH ĐỒ THỊ BIỂU DIỄN ĐỘNG HỌC CỦA CHUYỂN ĐỘNG THẲNG

Giáo viên (GV): Các em đã thấy các đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc và quãng đường mà một vật đi được vào thời gian chuyển động đối với chuyển động thẳng biến đổi đều. Trong mối liên hệ này, tôi muốn nêu câu hỏi sau đây: Xét một đồ thị vận tốc thuộc loại như trên Hình 1. Trên cơ sở đồ thị này, hãy vẽ một đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của quãng đường đi được theo thời gian.

Hình 1

Học sinh (HS): Nhưng chúng em chưa từng vẽ những đồ thị như vậy.

GV: Không có gì khó khăn cả. Tuy nhiên, chúng ta hãy bàn vấn đề này chút xíu. Trước tiên ta sẽ chia toàn bộ khoảng thời gian đó thành ba giai đoạn: 1, 2 và 3 (xem Hình 1). Hỏi vật chuyển động như thế nào trong giai đoạn 1? Công thức cho quãng đường đi trong giai đoạn này có dạng như thế nào?

HS: Trong giai đoạn 1, vật chuyển động nhanh dần đều không có vận tốc đầu. Công thức cho quãng đường đi được có dạng

s(t) = at²/2 (1)

trong đó a là gia tốc của vật.

GV: Sử dụng đồ thị vận tốc đó, các em có thể tìm ra gia tốc hay không?

HS: Có thể. Gia tốc là độ biến thiên vận tốc trong một đơn vị thời gian. Nó bằng thương số của chiều dài AC và chiều dài OC.

GV: Tốt. Giờ hãy xét giai đoạn 2 và 3.

HS: Trong giai đoạn 2, vật chuyển động với vận tốc không đổi v có được lúc cuối giai đoạn 1. Công thức cho quãng đường đi là

s = vt

GV: Dừng lại chút đi, câu trả lời của em không chính xác. Em đã quên là chuyển động đều đó bắt đầu không phải tại thời điểm ban đầu, mà tại thời điểm t₁. Cho đến lúc ấy, vật đã đi được một quãng đường bằng at₁²/2. Sự phụ thuộc của quãng đường đã đi vào thời gian đã trôi qua cho giai đoạn 2 được biểu diễn bởi phương trình

s(t) = at₁²/2 + v(t – t₁) (2)

Với lưu ý này trong đầu, hãy viết công thức cho quãng đường đi trong giai đoạn 3.

HS: Chuyển động của vật trong giai đoạn 3 là chậm dần đều. Nếu như em hiểu đúng, thì công thức cho quãng đường đi trong giai đoạn này sẽ là

trong đó a₁ là gia tốc trong giai đoạn 3. Nó chỉ bằng một nửa gia tốc a trong giai đoạn 1, vì giai đoạn 3 kéo dài gấp đôi giai đoạn 1.

GV: Phương trình của em có thể rút gọn thành như sau:

Bây giờ chuyện còn lại là tổng hợp các kết quả của phương trình (1), (2) và (3).

HS: Em hiểu rồi. Đồ thị của quãng đường đi có dạng một parabol cho giai đoạn 1, một đoạn thẳng cho giai đoạn 2, và một parabol khác (lộn ngược lại, với cực trị hướng lên trên) cho giai đoạn 3. Đây là đồ thị em vẽ.

Hình 2

GV: Có hai chỗ sai trong hình vẽ của em: đồ thị của quãng đường đi không nên có những chỗ gãy khúc. Nó nên là một đường cong trơn, tức là parabol sẽ tiếp tuyến với đoạn thẳng đã nói. Ngoài ra, đỉnh của parabol phía trên (lật ngược) sẽ tương ứng với thời điểm t₃. Đây là hình vẽ đúng của đồ thị (Hình 3).

HS: Để em giải thích nó nhé.

Hình 3 & 4

GV: Chúng ta hãy xét phần quãng đường đi được theo thời gian (Hình 4). Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t đến t + Δt bằng

trong đó α là góc giữa dây cung AB và đường nằm ngang. Để xác định vận tốc của vật tại thời điểm t, ta cần tìm giới hạn của những vận tốc trung bình như thế khi Δt → 0. Như vậy

Trong giới hạn trên, dây cung trở thành tiếp tuyến với đường cong quãng đường đi theo thời gian, đi qua điểm A (xem đường đứt nét trong Hình 4). Góc của đường tiếp tuyến này (tiếp tuyến với đường cong) hợp với phương ngang là giá trị của vận tốc tại thời điểm t. Như vậy, ta có thể tìm vận tốc tại thời điểm bất kì từ góc nghiêng của đường tiếp tuyến với đường cong quãng đường đi theo thời gian tại điểm tương ứng.

Nhưng ta hãy trở lại với hình vẽ của em (xem Hình 2). Theo đồ thị của em thì tại thời điểm t₁ (và tại t₂) vận tốc của vật có hai giá trị khác nhau. Nếu ta tiến tới t₁ từ bên trái thì vận tốc bằng tanα₁, còn nếu ta tiến tới nó từ bên phải thì vận tốc bằng tanα₂. Theo đồ thị của em, vận tốc tại thời điểm t₁ (và một lần nữa tại t₂) phải có một sự gián đoạn, cái thật ra nó không có (đồ thị vận tốc theo thời gian ở Hình 1 là liên tục).

HS: Em hiểu rồi. Sự liên tục của đồ thị vận tốc dẫn tới tính trơn của đồ thị quãng đường đi theo thời gian.

GV: Sẵn nói luôn, cực trị của các parabol phải tương ứng với thời điểm 0 và t₃ vì tại những thời điểm này vận tốc của vật bằng không và đường tiếp tuyến với đường cong đó phải nằm ngang đối với những điểm này.

Bây giờ, sử dụng đồ thị vận tốc trong Hình 1, hãy tìm quãng đường mà vật đã đi tính đến thời điểm t₂.

HS: Trước tiên ta xác định gia tốc a trong giai đoạn 1 từ đồ thị vận tốc đó rồi đến vận tốc v trong giai đoạn 2. Tiếp theo ta sử dụng công thức (2). Quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian t₂ bằng

s(t₂) = at₁²/2 + v(t – t₁)

GV: Chính xác. Nhưng có một cách đơn giản hơn. Quãng đường mà vật đi được trong thời gian t₂ bằng với diện tích của hình OABD nằm dưới đồ thị vận tốc theo thời gian trong khoảng thời gian Ot₂. Ta hãy xét một bài toán nữa để rút kinh nghiệm cái ta vừa học được.

Giả sử đồ thị quãng đường đi theo thời gian có những điểm gãy khúc. Đồ thị này được cho trong Hình 5, trong đó đường uốn cong là một parabol có cực trị của nó tại điểm A. Hãy vẽ đồ thị vận tốc theo thời gian.

Hình 5 & 6

HS: Vì có những điểm gãy trên đồ thị quãng đường đi nên sẽ có những điểm gián đoạn trên đồ thị vận tốc tại những thời điểm tương ứng (t₁ và t₂). Đây là hình vẽ của em (Hình 6).

GV: Tốt lắm. Chiều dài của đoạn BC bằng bao nhiêu?

HS: Nó bằng tanα₁ (xem Hình 5). Tuy nhiên, ta không biết giá trị của góc α₁.

GV: Tuy nhiên, ta không có khó khăn gì trong việc xác định chiều dài BC. Lưu ý rằng quãng đường mà vật đi được tại thời điểm t₃ bằng như khi nó chuyển động với vận tốc không đổi suốt thời gian đó (đoạn thẳng trong khoảng từ t₂ đến t₃ trên Hình 5 là phần liên tục của đoạn thẳng trong khoảng thời gian từ 0 đến t₁). Vì quãng đường đi được đo bằng diện tích nằm dưới đồ thị vận tốc, nên diện tích của hình chữ nhật ADEC trong Hình 6 là bằng với diện tích của hình tam giác ABC. Như vậy, BC = 2EC, tức là vận tốc tại thời điểm t₂ khi tiến từ bên trái bằng hai lần vận tốc của chuyển động thẳng đều trong khoảng thời gian từ 0 đến t₁ và từ t₂ đến t₃.