Tích phân& phương trình vô tỉ

[ODD]

1.Giải phương trình: $\left(3x+1\right)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3$
2.Tính tích phân: I=$\int_{0}^{2}{\left[\sqrt{x\left(2-x\right)}+ln\left(4-x^2\right)\right]dx}$
 =d> Cảm ơn

[onehitandrun]

1.Giải phương trình: $(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3$

pt $<=>2(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=10x^2+3x-6$
    $<=>2(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=4(2x^2-1) + 2x^2+3x-2 (1)$
 Đặt $u=\sqrt{2x^2-1} \ge0$
$(1) <=>4u^2-2(3x+1)u +2x^2+3x-2=0$
${\Delta^'}=(x-3)^2$
$<=>u=\frac{x+2}{2};u=\frac{2x-1}{2}$
Tới đây chắc ok rồi

Dấu tương đương anh nên sửa lại cho đúng công thức Toán không nên đánh như thế. 

[Alexman113]

1.Giải phương trình: $\left(3x+1\right)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3$

Giải:
$C_1$:
Điều kiện: $\left|x\right|\geq\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Pt $\Leftrightarrow \left(6x+2\right)\sqrt{2x^2-1}=10x^2+3x-6$

$\Rightarrow \left(6x+2\right)^2\left(2x^2-1\right)=\left(10x^2+3x-6\right)^2$

$\Leftrightarrow 28x^4+12x^3-83x^2-12x+40=0$

$\Leftrightarrow \left(7x^2-4x-8\right)\left(4x^2+4x-5\right)=0$

$\Leftrightarrow$ hoặc $x = \dfrac{{2 - 2\sqrt {15} }}{7}$ hoặc $x = \dfrac{{2 + 2\sqrt {15} }}{7}$ hoặc $x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 6 }}{2}$ (loại) hoặc $x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 6 }}{2}$

[ODD]

Trong ko khí của hôm thi thử đó thì ko ai có thể bình tĩnh như alex đc mà phân tich ra như vậy đâu 
cảm ơn

[Alexman113]

1.Giải phương trình: $\left(3x+1\right)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3$
 =d> Cảm ơn

$C_2$:
Đặt $\sqrt{2x-1}=t \Rightarrow x^{2}=\dfrac{t^{2}+1}{2}$

Phương trình trở thành:
$\left(3x+1\right)t=x^{2}+2t^{2}+2+\dfrac{3}{2}x-3$

$\Leftrightarrow 4t^{2}+2t^{2}-3x-2t-2=0$

$\Leftrightarrow \left(2t-x-2\right)\left(2t-2x+1\right)=0$

$\Leftrightarrow 2t=x+2$ hoặc $2t=2x-1$

Với: $2t=x+2$ ta giải được $x \in \left \{ \dfrac{2+2\sqrt{15}}{7};\dfrac{2-2\sqrt{15}}{7} \right \}$

Với: $2t=2x-1$ ta được $x=\dfrac{1+\sqrt{6}}{2}$

[Alexman113]

Trong ko khí của hôm thi thử đó thì ko ai có thể bình tĩnh như alex đc mà phân tich ra như vậy đâu 
cảm ơn

Anh cứ nói quá cái này cứ cần cù thôi mà. 

[ngudiem111]

1.Giải phương trình: $\left(3x+1\right)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3$
2.Tính tích phân: I=$\int_{0}^{2}{\left[\sqrt{x\left(2-x\right)}+ln\left(4-x^2\right)\right]dx}$
 =d> Cảm ơn

Bài tích phân tách ra là hai, tichs phân đầu hơi phức tạp. Mình đạt t =$\frac{1}{x}$
thử nhé.  Tích phân thứ 2 dễ hơn, chỉ cần tầng phần là xong .!

[ngudiem111]

1.Giải phương trình: $\left(3x+1\right)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3$

Giải:
$C_1$:
Điều kiện: $\left|x\right|\geq\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Pt $\Leftrightarrow \left(6x+2\right)\sqrt{2x^2-1}=10x^2+3x-6$

$\Rightarrow \left(6x+2\right)^2\left(2x^2-1\right)=\left(10x^2+3x-6\right)^2$

$\Leftrightarrow 28x^4+12x^3-83x^2-12x+40=0$

$\Leftrightarrow \left(7x^2-4x-8\right)\left(4x^2+4x-5\right)=0$

$\Leftrightarrow$ hoặc $x = \dfrac{{2 - 2\sqrt {15} }}{7}$ hoặc $x = \dfrac{{2 + 2\sqrt {15} }}{7}$ hoặc $x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 6 }}{2}$ (loại) hoặc $x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 6 }}{2}$

Nếu giải như Alexman thì tuyệt, nhưng làm thế nào để phân tích được phương trình
$\Leftrightarrow \left(7x^2-4x-8\right)\left(4x^2+4x-5\right)=0$
Mình cũng giải một số phương trình bậc 4 có nghiệm lẻ, nhưng không tách được.
Mọi người giải bài này giúp:
$7x^{2}+7x=\sqrt{\frac{4x+9}{28}}; x>0$

[Alexman113]

Nếu giải như Alexman thì tuyệt, nhưng làm thế nào để phân tích được phương trình
$\Leftrightarrow \left(7x^2-4x-8\right)\left(4x^2+4x-5\right)=0$
Mình cũng giải một số phương trình bậc 4 có nghiệm lẻ, nhưng không tách được.

Vấn đề này anh lên mạng tìm sẽ có tài liệu hướng dẫn cách giải phương trình bậc 4(có hai cách là nghiệm hữu tỉ và vô tì sẽ có từng phương pháp tách về hai phương trình bậc hai hoặc một pt bậc 1 và một pt bậc 3)

[hellangel1739]

Nếu giải như Alexman thì tuyệt, nhưng làm thế nào để phân tích được phương trình
$\Leftrightarrow \left(7x^2-4x-8\right)\left(4x^2+4x-5\right)=0$
Mình cũng giải một số phương trình bậc 4 có nghiệm lẻ, nhưng không tách được.
Mọi người giải bài này giúp:
$7x^{2}+7x=\sqrt{\frac{4x+9}{28}}; x>0$

Dùng mtbt:
Sử dụng table để dò giá trị hàm số khi x chạy trong 1 khoảng (tốt nhất là từ âm đến dương), trong đó chọn ra các giá trị của x mà qua đó hàm số đổi dấu, đó là những giá trị gần với nghiệm, thường thì sẽ thấy dc 3 giá trị như vậy.
Tiếp theo dùng shift solve, lần lượt chọn các giá trị khởi đầu là mấy giá trị đã chọn ở trên, mỗi lần dc 1 nghiệm thì gán vào 1 biến nhớ (A,B,C)
Thử A*B, A*C, B*C, thông thường sẽ có 1 tích là phân số, lấy tổng của cặp số này (thường thì cũng là 1 số chẵn ^^), vậy là có tổng có tích của 2 trong số tối đa 4 nghiệm -> 1 đa thức bậc 2 là nghiệm của đa thức đã cho, chia đa thức có sẵn cho đa thức bậc 2 đó dc thêm 1 đa thức nữa -> pt tích -> giải delta bình thường
VD:$28x^4+12x^3-83x^2-12x+40=0$, dùng table-> 1 số giá trị khởi đầu : -2, -1, 0
shift solve -> X1=-1,7247...(gán vào A)
X2=-0,82085...(gán vào B)
X3=0,724744...(gán vào C)
Thử tổng và tích từng đôi một dc A*C=-5/4, A+C=-1 -> 1 đa thức là $\left(4x^2+4x-5\right)$
Chia $28x^4+12x^3-83x^2-12x+40=0$ cho $\left(4x^2+4x-5\right)$ dc $\left(7x^2-4x-8\right)$
=> pt trên <=> $\left(7x^2-4x-8\right)\left(4x^2+4x-5\right)=0$
p/s: bài này mình đọc ở đâu đó trên mạng quên mất rồi, giờ đánh lại nếu có sai sót thì bỏ qua nhe!

[SH.No1]

2.Tính tích phân: I=$\int_{0}^{2}{\left[\sqrt{x\left(2-x\right)}+ln\left(4-x^2\right)\right]dx}$
 =d> Cảm ơn

$I_1=\int_{0}^{2}\sqrt{x\left(2-x\right)}dx=\int_{0}^{2}\sqrt{1-(x-1)^2}dx$
Đặt $x-1=sint==> dx=costdt \Rightarrow x=1\Rightarrow t=-\pi/2; x=2\Rightarrow t=\pi/2$

$I_1=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{1-sin^{2}t}costdt=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}cos^{2}tdt=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(\frac{1+cos2t}{2})dt$

tới đây là ra rồi...........bạn làm típ nhé

$I_2=\int_{0}^{2}ln(4-x^2)dx$
đặt: $u=ln(4-x^2)\Rightarrow du=\frac{-2x}{4-x^2}dx$
     $dv=dx \Rightarrow v=x$

vế du bạn tự tính mình tính về vdu

$I_2=\int_{0}^{2}\frac{-2x^2}{4-x^2}du=\int_{0}^{2}(2-\frac{8}{4-x^2})du$

$I_2=\int_{0}^{2}(2-(\frac{2}{x-2}-\frac{2}{x+2}))du$

đến đây đơn giản rồi ........

[Alexman113]

Mọi người giải bài này giúp:
$7x^{2}+7x=\sqrt{\frac{4x+9}{28}}; x>0$

$C_1:$ Tiếp tục dùng phương pháp cần cù bù thông minh vậy 

$7{x^2} + 7x = \sqrt {\dfrac{{4x + 9}}{{28}}}$

$\Leftrightarrow 28\left( {49{x^4} + 98{x^3} + 49{x^2}} \right) = 4x + 9$

$\Leftrightarrow \left( {14{x^2} + 12x - 1} \right)\left( {98{x^2} + 112x + 9} \right) = 0$

Đến đây thì đơn giản rồi nhỉ  . Cuối cùng ta nhận $x = \dfrac{{5\sqrt 2 - 6}}{{14}}$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

[ngudiem111]

Nếu giải như Alexman thì tuyệt, nhưng làm thế nào để phân tích được phương trình
$\Leftrightarrow \left(7x^2-4x-8\right)\left(4x^2+4x-5\right)=0$
Mình cũng giải một số phương trình bậc 4 có nghiệm lẻ, nhưng không tách được.
Mọi người giải bài này giúp:
$7x^{2}+7x=\sqrt{\frac{4x+9}{28}}; x>0$

Dùng mtbt:
Sử dụng table để dò giá trị hàm số khi x chạy trong 1 khoảng (tốt nhất là từ âm đến dương), trong đó chọn ra các giá trị của x mà qua đó hàm số đổi dấu, đó là những giá trị gần với nghiệm, thường thì sẽ thấy dc 3 giá trị như vậy.
Tiếp theo dùng shift solve, lần lượt chọn các giá trị khởi đầu là mấy giá trị đã chọn ở trên, mỗi lần dc 1 nghiệm thì gán vào 1 biến nhớ (A,B,C)
Thử A*B, A*C, B*C, thông thường sẽ có 1 tích là phân số, lấy tổng của cặp số này (thường thì cũng là 1 số chẵn ^^), vậy là có tổng có tích của 2 trong số tối đa 4 nghiệm -> 1 đa thức bậc 2 là nghiệm của đa thức đã cho, chia đa thức có sẵn cho đa thức bậc 2 đó dc thêm 1 đa thức nữa -> pt tích -> giải delta bình thường
VD:$28x^4+12x^3-83x^2-12x+40=0$, dùng table-> 1 số giá trị khởi đầu : -2, -1, 0
shift solve -> X1=-1,7247...(gán vào A)
X2=-0,82085...(gán vào B)
X3=0,724744...(gán vào C)
Thử tổng và tích từng đôi một dc A*C=-5/4, A+C=-1 -> 1 đa thức là $\left(4x^2+4x-5\right)$
Chia $28x^4+12x^3-83x^2-12x+40=0$ cho $\left(4x^2+4x-5\right)$ dc $\left(7x^2-4x-8\right)$
=> pt trên <=> $\left(7x^2-4x-8\right)\left(4x^2+4x-5\right)=0$
p/s: bài này mình đọc ở đâu đó trên mạng quên mất rồi, giờ đánh lại nếu có sai sót thì bỏ qua nhe!

Vậy nếu là phương trình bậc ba mà nghiệm vô tỷ thì mình có cách nào tương tự như trên không ?
Sao mình không áp dụng được vào phương trình trên nhỉ ?
Cảm ơn bài viết !

[Alexman113]

Mọi người giải bài này giúp:
$7x^{2}+7x=\sqrt{\frac{4x+9}{28}}; x>0$

$C_2:$
Nhân hai vế của phương trình đã cho với $28$ ta được:

$\left(14x\right)^2+196x=2\sqrt{28x+63}$

$\Leftrightarrow \left(14x\right)^2+196x+28x+63+1=2\sqrt{28x+63}+28x+63+1$

$\Leftrightarrow \left(14x+8\right)^2=\left(\sqrt{28x+63}+1\right)$ với $x>0$

Đến đây em để lại nhé 

[Quỷ Lệ.]

Nếu giải như Alexman thì tuyệt, nhưng làm thế nào để phân tích được phương trình
$\Leftrightarrow \left(7x^2-4x-8\right)\left(4x^2+4x-5\right)=0$
Mình cũng giải một số phương trình bậc 4 có nghiệm lẻ, nhưng không tách được.

Vấn đề này anh lên mạng tìm sẽ có tài liệu hướng dẫn cách giải phương trình bậc 4(có hai cách là nghiệm hữu tỉ và vô tì sẽ có từng phương pháp tách về hai phương trình bậc hai hoặc một pt bậc 1 và một pt bậc 3)

Alexman113 có thế share tài liệu đó không ?

[Alexman113]

  Em đọc ở đâu mà em quên mất tiêu rồi  , anh thử lên Google xem sao ạ? Với lại hellangel1739 đã trình bày đúng như những gì em đã đọc ạ, anh thử hỏi anh ấy xem sao.

[Alexman113]

Mọi người giải bài này giúp:
$7x^{2}+7x=\sqrt{\frac{4x+9}{28}}; x>0$

$C_3:$
Gợi ý:
Điều kiện: $x\geq\dfrac{9}{4}$

Đặt: $y+\dfrac{1}{2}=\sqrt{\dfrac{4x+9}{28}}$
Ta được một hệ phương trình đối xứng loại II đã biết cách giải: $\begin{cases} x+\frac{1}{2}=7y^2+7y \\ y+\frac{1}{2}=7x^2+7x \end{cases}$

[hellangel1739]

Vậy nếu là phương trình bậc ba mà nghiệm vô tỷ thì mình có cách nào tương tự như trên không ?
Sao mình không áp dụng được vào phương trình trên nhỉ ?
Cảm ơn bài viết !

lại nhớ là đọc trong 1 cuốn sách nào đó dày dày quên mất rồi
$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$
nếu a=0-> miễn bàn
      a$\neq$0: đặt t=x+b/3a -> $t^{2}+pt+q=0$: 3 trường hợp:
              p=0 -> giải
              p<0: đặt $u=\frac{t\sqrt{3}}{2\sqrt{-p}}$ -> $4u^{3}-3u+m=0$: 2 trường hợp:
                      $\left|m \right|\leq 1$: đặt $m=cos\varphi[\tex] -> nghiệm [tex]u_{1}=cos\frac{\varphi }{3}, u_{2}=cos\frac{\varphi +2\pi}{3}, u_{3}=cos\frac{\varphi -2\pi}{3}$
                      $\left|m \right|> 1$ -> đặt $a=\sqrt[3]{m+\sqrt{m^{2}-1}}$ -> nghiệm: $u=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a} \right)$
              p>0: đặt $u=\frac{t\sqrt{3}}{2\sqrt{p}}$ -> $4u^{3}+3u+m=0$ -> đặt $a=\sqrt[3]{m+\sqrt{m^{2}+1}}$ -> nghiệm $u=\frac{1}{2}\left(a-\frac{1}{a} \right)$
xong 1 phần, rồi có u thì tìm t, có t thì tìm x
Đó là quá trình tóm tắt thôi, tại sao đặt vậy tại sao có nghiệm vậy thì sách có trình bày nhưng dài lắm với lại mình ko nhớ chính xác (bạn thử giải xem sao), dù sao thì yên tâm chắc thi dh ko có loại này đâu ^^
còn đây là cái mình mới search trên mạng: http://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_ba
p/s: nếu ai đó nhỏ tuổi hơn thì gọi mình = chị, ko phải anh @@

Viết hoa đầu dòng anh nhé!

[Alexman113]

lại nhớ là đọc trong 1 cuốn sách nào đó dày dày quên mất rồi
$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$
nếu a=0-> miễn bàn
      a$\neq$0: đặt t=x+b/3a -> $t^{2}+pt+q=0$: 3 trường hợp:
              p=0 -> giải
              p<0: đặt $u=\frac{t\sqrt{3}}{2\sqrt{-p}}$ -> $4u^{3}-3u+m=0$: 2 trường hợp:
                      $\left|m \right|\leq 1$: đặt $m=cos\varphi[\tex] -> nghiệm [tex]u_{1}=cos\frac{\varphi }{3}, u_{2}=cos\frac{\varphi +2\pi}{3}, u_{3}=cos\frac{\varphi -2\pi}{3}$
                      $\left|m \right|> 1$ -> đặt $a=\sqrt[3]{m+\sqrt{m^{2}-1}}$ -> nghiệm: $u=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a} \right)$
              p>0: đặt $u=\frac{t\sqrt{3}}{2\sqrt{p}}$ -> $4u^{3}+3u+m=0$ -> đặt $a=\sqrt[3]{m+\sqrt{m^{2}+1}}$ -> nghiệm $u=\frac{1}{2}\left(a-\frac{1}{a} \right)$
xong 1 phần, rồi có u thì tìm t, có t thì tìm x
Đó là quá trình tóm tắt thôi, tại sao đặt vậy tại sao có nghiệm vậy thì sách có trình bày nhưng dài lắm với lại mình ko nhớ chính xác (bạn thử giải xem sao), dù sao thì yên tâm chắc thi dh ko có loại này đâu ^^
còn đây là cái mình mới search trên mạng: http://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_ba
p/s: nếu ai đó nhỏ tuổi hơn thì gọi mình = chị, ko phải anh @@

Viết hoa đầu dòng anh nhé!

Em nghĩ đối với phương trình bậc 3 thì nghiệm thường là "đẹp" nên cũng dễ dàng chuyển về phương trình tích. Thường thì sử dụng máy tính là ta có thể thực hiện được.