bài hệ phương trình cần giúp

[gmvd]

[tex]\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=6\\ \sqrt{x+7}+\sqrt{y+7}=8 & \end{cases}[/tex]

giải giúp minh bài hệ này nhé

[mark_bk99]

[tex]\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=6\\ \sqrt{x+7}+\sqrt{y+7}=8 & \end{cases}[/tex]

giải giúp minh bài hệ này nhé

Đk: x,y[tex]\geq 0[/tex]

Bình phương 2 vế của 2 pt ta được: PT(1)<--->x+y +[tex]2\sqrt{xy}=36[/tex] (*)
Pt(2)<->x+y+14+2[tex]\sqrt{(x+7)(y+7)}=64[/tex] (**)
Lấy (**)- (*) ta được ([tex]\sqrt{(x+7)(y+7)}-\sqrt{xy})=7[/tex]<-->[tex]\sqrt{x+y+7(x+y)+49}=\sqrt{xy}+7[/tex] <-->[tex](x+y)=2\sqrt{xy}[/tex] kết hợp với (*)
-->x+y=18<-->x=18-y
-->9=[tex]\sqrt{(18-y)y}[/tex]<-->y=9 -->x=9
Vậy hệ PT đã cho có nghiệm (x,y): (9,9)

[Alexman113]

Để ngắn gọn ta có thể làm như sau:

Điều kiện: [tex]x,y\geq0[/tex]

Hệ phương trình đã cho tương đương:

[tex]\begin{cases} x+y+2\sqrt{xy}=36 \\x+y+2\sqrt{7(x+y)+xy+49}=50 \end{cases}[/tex]

 Đặt [TEX]x+y=u[/TEX] và [TEX]\sqrt{xy}=v[/TEX]

[tex]\Leftrightarrow \begin{cases} u+2v=36 \\ u+2\sqrt{7u+v^2+49}=50\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \begin{cases} u=36-2v \\\sqrt{301-14v+v^2}=7+v\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \begin{cases} u=18 \\v=9\end{cases}[/tex]

[tex]\Rightarrow x=y=9[/tex]
Thử lại ta thấy [tex](x; y)=(9; 9)[/tex] thỏa mãn đề bài.

[Alexman113]

Ngoài ra ta còn một cách rất ngắn gọn.
Áp dụng bất đẳng thức Minkowsky ta có:

[tex]\sqrt{x+7}+\sqrt{y+7}\geq\sqrt{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{7}+\sqrt{7}\right)^2}=\sqrt{6^2+\left(2\sqrt{7}\right)^2}=8[/tex]

Dấu "=" xảy ra khi [tex]x=y=9[/tex].