chúng minh rằng thế năng của hệ n điện tích điểm trong không khí là Wt=[tex]\sum_{i,j}^{n}{k.qiqj/rij}[/tex]
với i<j
~O) Ta có thể chứng minh như vầy (dùng kiến thức tích phân, vi phân của Toán, hơi phức tạp một chút
)
~O) Quy ước: Thế năng của điện tích [tex]q_{0}[/tex] ở vô cùng bằng không.
~O) Giả sử dịch chuyển một điện tích điểm [tex]q_{0}[/tex] trong điện trường của điện tích điểm q.
Công của lực tĩnh điện trong chuyển dời vô cùng nhỏ:
[tex]dA = \vec{F} . \vec{dS} = q_{0}\vec{E} . \vec{dS}[/tex]
[tex]\Rightarrow dA = q_{0}\frac{q}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}r^{2}} . \vec{r}\vec{dS}= \frac{q_{0}q}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}r^{2}}dS.cos\alpha[/tex]
với [tex]\alpha = \left( \vec{r}, \vec{dS}\right)[/tex]
mà [tex]dS.cos\alpha =dr[/tex] (bằng với hình chiếu của [tex]\vec{dS}[/tex] lên phương vector bán kính)
[tex]\Rightarrow dA = \frac{q_{0}q}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}.\frac{dr}{r^{2}}[/tex]
Công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển điện tích [tex]q_{0}[/tex] từ M đến N:
[tex]A_{MN} = \int_{r_{M}}^{r_{N}}{\frac{q_{0}q}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}.\frac{dr}{r^{2}}}= \frac{q_{0}q}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}.\left( -\frac{1}{r}\right)^{r_{N}}_{r_{M}}= \frac{q_{0}q}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}r_{M}}- \frac{q_{0}q}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}r_{N}}[/tex] (1)
~O) Nếu ta dịch chuyển điện tích [tex]q_{0}[/tex] trong điện trường của một hệ điện tích điểm thì:
y:) Lực điện trường tổng hợp tác dụng lên [tex]q_{0}[/tex] là:[tex]\vec{F}= \sum_{i=1}^{n}{\vec{F}_{i}}[/tex]
y:) Công của lực điện trường khi [tex]q_{0}[/tex] di chuyển từ M đến N:
[tex]A_{MN}= \int_{M}^{N}{\vec{F}\vec{dS}}= \int_{M}^{N}{\sum_{i=1}^{n}{\vec{F}_{i}}.\vec{dS}}[/tex]
Theo (1) ta có:
[tex]\int_{M}^{N}{\vec{F}_{i}.\vec{dS}}= \frac{q_{0}q_{i}}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}r_{iM}}- \frac{q_{0}q_{i}}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}r_{iN}}[/tex]
(Với [tex]r_{iM}; r_{iN}[/tex] lần lượt là khoảng cách từ điện tích [tex]q_{i}[/tex] đến M và N)
Vậy suy ra:
[tex]A_{MN}= \sum_{i=1}^{n}{\frac{q_{0}q_{i}}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}r_{iM}}}- \sum_{i=1}^{n}{\frac{q_{0}q_{i}}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}r_{iN}}}[/tex] (2)
mà ta đã biết: [tex]A = W_{M}-W_{N}[/tex] (3)
Từ (2) và (3) suy ra thế năng của điện tích [tex]q_{0}[/tex] trong điện trường của hệ điện tích điểm là:
[tex]W= \sum_{i=1}^{n}{\frac{q_{0}q_{i}}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}r_{i}}}[/tex]
(Với [tex]r_{i}[/tex] là khoảng cách từ [tex]q_{0}[/tex] đến [tex]q_{i}[/tex])
