Giải hệ phương trình

[thanhlan97]

Giả hệ phương trình sau trên R
$\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{1+x}+\sqrt{1-y}=2 & & \ x^2-y^4+9y=x(9+y-y^3)\ & & \end{matrix}\right.$
Mn người giúp em với

[Alexman113]

Giả hệ phương trình sau trên R
$\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{1+x}+\sqrt{1-y}=2 & & \ x^2-y^4+9y=x(9+y-y^3)\ & & \end{matrix}\right.$
Mn người giúp em với

Điều kiện xác định: $y\leq 1$
Từ phương trình $(2)$ của hệ ta có: $x^2-xy+xy^3-y^4-9x+9y=0$
                                             $\Leftrightarrow \left(x-y\right)\left(x+y^3-9\right)=0$
 $\bullet$ Với $x=y$ thay vào phương trình $(1)$ của hệ, ta có: $\sqrt[3]{1+x}+\sqrt{1-x}=2\,(*)$
Đặt: $t=\sqrt{1-x}\ge0\Rightarrow x=1-t^2\Rightarrow (*)\Leftrightarrow \sqrt[3]{2-t^2}=2-t$
                                                           $\Leftrightarrow -t^3+7t^2-12t+6=0$
                                                           $\Leftrightarrow \left(t-1\right)\left(-t^2+6t-6\right)=0$
                                                           $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=1\Rightarrow x=y=0\\t=3-\sqrt{3}\Rightarrow x=y=-11+6\sqrt{3}\\t=3+\sqrt{3}\Rightarrow x=y\in\varnothing \end{array}\right.$
 $\bullet$ Với $x=9-y^3$ thay vào phương trình $(1)$ của hệ, ta có: $\sqrt[3]{10-y^3}+\sqrt{1-y}=2\,(*)$
Vì $y\le 1\Rightarrow \sqrt[3]{10-y^3}-2>0\Rightarrow (*)\,VN.$
Vậy: hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm là: $\left(0;\,0\right),\,\left(-11+6\sqrt{3};\,-11+6\sqrt{3}\right).\,\,\blacksquare$