Giả hệ phương trình sau trên R
[tex]\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{1+x}+\sqrt{1-y}=2 & & \ x^2-y^4+9y=x(9+y-y^3)\ & & \end{matrix}\right.[/tex]
Mn người giúp em với
Điều kiện xác định: [tex]y\leq 1[/tex]
Từ phương trình [tex](2)[/tex] của hệ ta có: [tex]x^2-xy+xy^3-y^4-9x+9y=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left(x-y\right)\left(x+y^3-9\right)=0[/tex]
[tex]\bullet[/tex] Với [tex]x=y[/tex] thay vào phương trình [tex](1)[/tex] của hệ, ta có: [tex]\sqrt[3]{1+x}+\sqrt{1-x}=2\,(*)[/tex]
Đặt: [tex]t=\sqrt{1-x}\ge0\Rightarrow x=1-t^2\Rightarrow (*)\Leftrightarrow \sqrt[3]{2-t^2}=2-t[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -t^3+7t^2-12t+6=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left(t-1\right)\left(-t^2+6t-6\right)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=1\Rightarrow x=y=0\\t=3-\sqrt{3}\Rightarrow x=y=-11+6\sqrt{3}\\t=3+\sqrt{3}\Rightarrow x=y\in\varnothing \end{array}\right.[/tex]
[tex]\bullet[/tex] Với [tex]x=9-y^3[/tex] thay vào phương trình [tex](1)[/tex] của hệ, ta có: [tex]\sqrt[3]{10-y^3}+\sqrt{1-y}=2\,(*)[/tex]
Vì [tex]y\le 1\Rightarrow \sqrt[3]{10-y^3}-2>0\Rightarrow (*)\,VN.[/tex]
Vậy: hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm là: [tex]\left(0;\,0\right),\,\left(-11+6\sqrt{3};\,-11+6\sqrt{3}\right).\,\,\blacksquare[/tex]
