tính thể tích

[sun_fun99]

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB=AD=a, AA'=$\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và góc BAD=60. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh A'D' và A'B'.Chứng mình AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN).Tính thể tích khối chóp A.BMN
mọng mọi người giúp em với ạ

[Alexman113]

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB=AD=a, AA'=$\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và góc BAD=60. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh A'D' và A'B'.Chứng mình AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN).Tính thể tích khối chóp A.BMN
mọng mọi người giúp em với ạ

Gọi $O;\,O';\,I;\,K$ lần lượt là giao điểm của $AC$ và $BD;\,A'C'$ và $B'D';\,A'C'$ và $MN;\,OO'$ và $AC'.$
Ta có: hình bình hành $ABCD$ có $AB=AD\Rightarrow ABCD$ là hình thoi suy ra $BD\perp AC$
Lại có: $BD\perp OO'$ suy ra $BD\perp\left(ACC'A'\right)\Rightarrow BD\perp AC'\,\,(1)$
Xét $\Delta ACC'$ và $\Delta OO'I$ có:
 $\widehat{ACC'}=\widehat{OO'I}=90^o$            

$\dfrac{CC'}{AC}=\dfrac{O'I}{OO'}=\dfrac{1}{2}$
Suy ra $\Delta ACC'\sim \Delta OO'I\Rightarrow \widehat{C'AC}=\widehat{IOO'}$
Mà $\widehat{C'AC}+\widehat{OKA}=90^o\Rightarrow \widehat{IOO'}+\widehat{OKA}=90^o\Rightarrow OI\perp AC'\,\,(2)$
Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $AC'\perp\left(BDMN\right)\,\,\blacksquare$
Ý còn lại tính thể tích bạn tự tính nhé.