Tính góc giữa hai mặt phẳng

[sun_fun99]

cho tứ diện ABCD có AC=AD=$a\sqrt{2}$ , BC=BD=a, khoảng cách từ B đến (ACD) là $\frac{a}{\sqrt{3}}$. tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Biết thể tích khối diện ABCD là $\frac{a^{3}\sqrt{15}}{27}$
Mong mọi người giúp em với ạ!

[Alexman113]

cho tứ diện ABCD có AC=AD=$a\sqrt{2}$ , BC=BD=a, khoảng cách từ B đến (ACD) là $\frac{a}{\sqrt{3}}$. tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Biết thể tích khối diện ABCD là $\frac{a^{3}\sqrt{15}}{27}$
Mong mọi người giúp em với ạ!

Gọi $E$ là trung điểm của $CD\Rightarrow\begin{cases} BE\perp CD\\ AE\perp CD\end{cases}\Rightarrow CD\perp\left(ABE\right)\Rightarrow \left(ACD\right)\perp\left(ABE\right)$
Từ $B$ kẻ $BH\perp AE\,\,\left(H\in AE\right)\Rightarrow BH=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$
Ta có: $V_{ABCD}=\dfrac{1}{3}BH\times S_{ACD}\Leftrightarrow \dfrac{a^3\sqrt{15}}{27}=\dfrac{a\sqrt{3}}{9}\times AE\,.DE\Rightarrow AE^2\,.DE^2=\dfrac{5a^4}{9}\,\,(1)$
Lại có $\Delta AED$ vuông tại $E\Rightarrow AE^2+DE^2=2a^2\,\,(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\left[\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}AE^2=\dfrac{5a^2}{3}\\DE^2=\dfrac{a^2}{3}\end{array}\right.\,\,\,\,\,(I)\\\left[\begin{array}{l}AE^2=\dfrac{a^2}{3}\\DE^2=\dfrac{5a^2}{3}\end{array}\right.\,\,\,\,\,(II)\end{array}\right.$
$\bullet$ Giải $(I):$ $\Delta BED$ vuông tại $D\Rightarrow BE=\sqrt{BD^2-DE^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
                $\Delta BHE$ vuông tại $H\Rightarrow \sin BEH=\dfrac{BH}{BE}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{BEH}=45^o$ suy ra góc giữa hai mặt phẳng $\left(ACD\right)$ và $\left(BCD\right)$ là $45^o.$
$\bullet$ Giải $(II):$ Ta có: $DE=\dfrac{a\sqrt{15}}{3}=\dfrac{CD}{2}>\dfrac{BC+CD}{2}=a\Rightarrow$ vô lý.