Tìm m để phương trình có nghiệm

[sun_fun99]

Câu1 : tìm m để phương trình m([tex](\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2} +2)=2\sqrt{1-x^4}+\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}[/tex]
có nghiệm.
Câu 2: tìm m để phương trình [tex]\sqrt{x^2+mx+2}=2x+1[/tex] có nghiệm
Mọng mọi người giúp giùm em

[Alexman113]

Câu1 : tìm m để phương trình m([tex](\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2} +2)=2\sqrt{1-x^4}+\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}[/tex]
có nghiệm.

Gợi ý:
Điều kiện xác định: [tex]x\le\left|1\right|[/tex]
Đặt: [tex]t=\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2},\,\,0\le t\le\sqrt{2}[/tex]
Phương trình đã cho viết lại: [tex]\dfrac{-t^2+t+2}{t+2}=m\,\,(*)[/tex]
Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình [tex](*)[/tex] có nghiệm [tex]t\in\left[0;\,\sqrt{2}\right][/tex]
Xét [tex]f(t)=\dfrac{-t^2+t+2}{t+2},\,\,t\in\left[0;\,\sqrt{2}\right][/tex]
[tex]f'(t)=\dfrac{-t^2-4t}{\left(t+2\right)^2}\le0,\forall t\in\left[0;\,\sqrt{2}\right][/tex] suy ra [tex]f(t)[/tex] nghịch biến trên [tex]\left[0;\,\sqrt{2}\right][/tex] nên [tex]\boxed{\sqrt{2}-1\le m\le 1}[/tex]

[Alexman113]

Câu 2: tìm m để phương trình [tex]\sqrt{x^2+mx+2}=2x+1[/tex] có nghiệm
Mọng mọi người giúp giùm em

Theo mình đề bài phải muốn hỏi thế này.
Tìm [tex]m[/tex] để phương trình

[tex]\sqrt{x^2+mx+2}=2x+1[/tex]

có hai nghiệm phân biệt.
Gợi ý:
Phương trình ban đầu đã cho tương đương với [tex]\begin{cases}2x+1\ge0\\x^2+mx+2=\left(2x+1\right)^2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ge-\dfrac{1}{2}\\3x^2-m\left(m-4\right)x-1=0\,\,(*)\end{cases}[/tex]
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì phương trình [tex](*)[/tex] có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn [tex]-\dfrac{1}{2}[/tex]
Giả sử gọi hai nghiệm phương trình [tex](*)[/tex] là [tex]x_1,\,x_2\,\,\left(x_2>x_1\right)\Rightarrow -\dfrac{1}{2}\le x_1<x_2[/tex]
                                                                                     [tex]\Leftrightarrow \begin{cases}\left(m-4\right)^2+12>0\\\dfrac{m-4}{6}\ge-\dfrac{1}{2}\\\dfrac{m-4}{2}-\dfrac{1}{4}\ge0\end{cases}\Leftrightarrow \boxed{m\ge\dfrac{9}{2}}[/tex]

[sun_fun99]

Câu1 : tìm m để phương trình m([tex](\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2} +2)=2\sqrt{1-x^4}+\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}[/tex]
có nghiệm.

Gợi ý:
Điều kiện xác định: [tex]x\le\left|1\right|[/tex]
Đặt: [tex]t=\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2},\,\,0\le t\le\sqrt{2}[/tex]
Phương trình đã cho viết lại: [tex]\dfrac{-t^2+t+2}{t+2}=m\,\,(*)[/tex]
Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình [tex](*)[/tex] có nghiệm [tex]t\in\left[0;\,\sqrt{2}\right][/tex]
Xét [tex]f(t)=\dfrac{-t^2+t+2}{t+2},\,\,t\in\left[0;\,\sqrt{2}\right][/tex]
[tex]f'(t)=\dfrac{-t^2-4t}{\left(t+2\right)^2}\le0,\forall t\in\left[0;\,\sqrt{2}\right][/tex] suy ra [tex]f(t)[/tex] nghịch biến trên [tex]\left[0;\,\sqrt{2}\right][/tex] nên [tex]\boxed{\sqrt{2}-1\le m\le 1}[/tex]

câu này em chưa hiểu điều kiện của t ạ, tại sao lại ở trong đoạn 0, căn 2

[Alexman113]

câu này em chưa hiểu điều kiện của t ạ, tại sao lại ở trong đoạn 0, căn 2

Cái đấy đúng người ta gọi là miền giá trị ý.
Đặt: [tex]t=\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}[/tex]
Ta có: [tex]\sqrt{1+x^2}\ge\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow \sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}\ge 0\Rightarrow t\ge0[/tex]
Lại có: [tex]t^2=2-2\sqrt{1-x^4}\le2\Rightarrow t\le\sqrt{2}[/tex]
Lưu ý rằng [tex]\begin{cases}t=0\Leftrightarrow x=0\\t=\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\pm 1\end{cases}[/tex] nên [tex]t[/tex] liên tục trên [tex]\left[-1;\,1\right][/tex] do đó miền giá trị của [tex]t[/tex] là [tex]\left[0;\,\sqrt{2}\right][/tex]