Tìm m để phương trình có nghiệm

[sun_fun99]

Câu1 : tìm m để phương trình m($(\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2} +2)=2\sqrt{1-x^4}+\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}$
có nghiệm.
Câu 2: tìm m để phương trình $\sqrt{x^2+mx+2}=2x+1$ có nghiệm
Mọng mọi người giúp giùm em

[Alexman113]

Câu1 : tìm m để phương trình m($(\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2} +2)=2\sqrt{1-x^4}+\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}$
có nghiệm.

Gợi ý:
Điều kiện xác định: $x\le\left|1\right|$
Đặt: $t=\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2},\,\,0\le t\le\sqrt{2}$
Phương trình đã cho viết lại: $\dfrac{-t^2+t+2}{t+2}=m\,\,(*)$
Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình $(*)$ có nghiệm $t\in\left[0;\,\sqrt{2}\right]$
Xét $f(t)=\dfrac{-t^2+t+2}{t+2},\,\,t\in\left[0;\,\sqrt{2}\right]$
$f'(t)=\dfrac{-t^2-4t}{\left(t+2\right)^2}\le0,\forall t\in\left[0;\,\sqrt{2}\right]$ suy ra $f(t)$ nghịch biến trên $\left[0;\,\sqrt{2}\right]$ nên $\boxed{\sqrt{2}-1\le m\le 1}$

[Alexman113]

Câu 2: tìm m để phương trình $\sqrt{x^2+mx+2}=2x+1$ có nghiệm
Mọng mọi người giúp giùm em

Theo mình đề bài phải muốn hỏi thế này.
Tìm $m$ để phương trình

$\sqrt{x^2+mx+2}=2x+1$

có hai nghiệm phân biệt.
Gợi ý:
Phương trình ban đầu đã cho tương đương với $\begin{cases}2x+1\ge0\\x^2+mx+2=\left(2x+1\right)^2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ge-\dfrac{1}{2}\\3x^2-m\left(m-4\right)x-1=0\,\,(*)\end{cases}$
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn $-\dfrac{1}{2}$
Giả sử gọi hai nghiệm phương trình $(*)$ là $x_1,\,x_2\,\,\left(x_2>x_1\right)\Rightarrow -\dfrac{1}{2}\le x_1<x_2$
                                                                                     $\Leftrightarrow \begin{cases}\left(m-4\right)^2+12>0\\\dfrac{m-4}{6}\ge-\dfrac{1}{2}\\\dfrac{m-4}{2}-\dfrac{1}{4}\ge0\end{cases}\Leftrightarrow \boxed{m\ge\dfrac{9}{2}}$

[sun_fun99]

Câu1 : tìm m để phương trình m($(\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2} +2)=2\sqrt{1-x^4}+\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}$
có nghiệm.

Gợi ý:
Điều kiện xác định: $x\le\left|1\right|$
Đặt: $t=\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2},\,\,0\le t\le\sqrt{2}$
Phương trình đã cho viết lại: $\dfrac{-t^2+t+2}{t+2}=m\,\,(*)$
Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình $(*)$ có nghiệm $t\in\left[0;\,\sqrt{2}\right]$
Xét $f(t)=\dfrac{-t^2+t+2}{t+2},\,\,t\in\left[0;\,\sqrt{2}\right]$
$f'(t)=\dfrac{-t^2-4t}{\left(t+2\right)^2}\le0,\forall t\in\left[0;\,\sqrt{2}\right]$ suy ra $f(t)$ nghịch biến trên $\left[0;\,\sqrt{2}\right]$ nên $\boxed{\sqrt{2}-1\le m\le 1}$

câu này em chưa hiểu điều kiện của t ạ, tại sao lại ở trong đoạn 0, căn 2

[Alexman113]

câu này em chưa hiểu điều kiện của t ạ, tại sao lại ở trong đoạn 0, căn 2

Cái đấy đúng người ta gọi là miền giá trị ý.
Đặt: $t=\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}$
Ta có: $\sqrt{1+x^2}\ge\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow \sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}\ge 0\Rightarrow t\ge0$
Lại có: $t^2=2-2\sqrt{1-x^4}\le2\Rightarrow t\le\sqrt{2}$
Lưu ý rằng $\begin{cases}t=0\Leftrightarrow x=0\\t=\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\pm 1\end{cases}$ nên $t$ liên tục trên $\left[-1;\,1\right]$ do đó miền giá trị của $t$ là $\left[0;\,\sqrt{2}\right]$