Một vật có dạng là một bán cầu khối lượng M được đặt nằm ngang trên một mặt phẳng nằm ngang không ma sát (hình 3). Một vật nhỏ có khối lượng m bắt đầu trượt không ma sát, không vận tốc đầu từ đỉnh bán cầu. Gọi [tex]\alpha[/tex]
là góc mà bán kính nối vật với tâm bán cầu hợp với phương thẳng đứng khi vật bắt đầu tách khỏi bán cầu.
1. Thiết lập mối quan hệ giữa M, m và góc [tex]\alpha[/tex] .
2. Tìm [tex]\alpha[/tex] khi M=m
Nhờ các thầy cô giúp đỡ.
1.Xem hình vẽ.
-Xét theo phương ngang. Động lượng hệ bảo toàn.
[tex]\begin{cases} & \text mv_{1d_{x}}=MV \\ & \text v_{1d_{x}} =v_{12}cos\alpha-V \end{cases}\Rightarrow m(v_{12}cos\alpha-V)=MV \Rightarrow V=\frac{mv_{12}cos\alpha}{m+M}[/tex]
(1)- Ngay khi vật rời khỏi M:
[tex]mgcos\alpha=\frac{mv_{12}^2}{R}\Rightarrow v_{12}^2=Rgcos\alpha\Rightarrow v_{12}^2=Rgcos\alpha[/tex]
(2)Thay
(2) vào
(1) : [tex]V=\frac{m}{m+M}cos\alpha\sqrt{Rgcos\alpha}[/tex]
(3)- Công thức cộng vận tốc: [tex]\vec{v_{1d}}=\vec{v_{12}}+\vec{V}\Rightarrow v_{1d}^2=v_{12}^2+V^2-2Vv_{12}cos\alpha[/tex]
(4)Thay
(2)(3) vào
(4) [tex]\Rightarrow v_{1d}^2=Rg(cos\alpha+(\frac{m}{m+M})^2cos^3\alpha-2\frac{m}{m+M}cos^3\alpha)[/tex]
(5)- Bảo toàn cơ năng cho 2 trường hợp: Ban đầu và khi vật m rời khỏi M (Gốc thế năng mặt đất)
[tex]mgR=\frac{1}{2}mv_{1d}^2+\frac{1}{2}MV^2+mgRcos\alpha\Rightarrow mgR(1-cos\alpha)=\frac{1}{2}mv_{1d}^2+\frac{1}{2}MV^2[/tex]
(6)Thay
(3)(5) vào
(6): [tex]mgR(1-cos\alpha)=\frac{1}{2}mRg[cos\alpha+(\frac{m}{m+M})^2cos^3\alpha-2\frac{m}{m+M}cos^3\alpha]+\frac{1}{2}M[(\frac{m}{m+M})^2Rgcos^3\alpha][/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{m}{m+M}cos^3\alpha-3cos\alpha+2=0[/tex]
(7)2.Khi M=m:
(7)[tex] \Rightarrow \frac{1}{2}cos^3\alpha-3cos\alpha+2=0\Rightarrow cos\alpha=\sqrt{3}-1[/tex]
