Hình giải tích phẳng.

[Trần Anh Tuấn]

Nhờ mọi người giúp đỡ mình giải các bài toán sau
Bài 1: Cho hai véctơ: [tex]\overrightarrow{a}\left(x_a;\,y_a\right),\,\,\overrightarrow{b}\left(x_b;\,y_b\right)[/tex] và [tex]\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=x_ay_b-x_by_a.[/tex] Chứng minh rằng: [tex]\left|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} \right|=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\sin\left(\overrightarrow{a};\,\overrightarrow{b}\right)[/tex]

Bài 2: Cho [tex]\Delta ABC[/tex] có trung điểm một cạnh là [tex]M\left(1;\,2\right)[/tex] . Biết hai trung tuyến xuất phát từ hai đỉnh có phương trình lần lượt là: [tex]x+y-3=0[/tex] và [tex]2x-y+4=0.[/tex] Viết phương trình các cạnh của [tex]\Delta ABC[/tex].

Bài 3: Cho [tex]\Delta ABC[/tex] có [tex]C\left(-3;\,1\right)[/tex]. Phân giác [tex]AD[/tex] có phương trình: [tex]x+3y+12=0[/tex], đường cao [tex]AH[/tex] có phương trình: [tex]x+7y+32=0.[/tex] Lập phương trình các cạnh của tam giác.

Bài 4: Cho điểm [tex]A\left(1;\,b\right)\,\,\,\,\,a>0;\,b>0.[/tex] Viết phương trình đường thẳng [tex](d)[/tex] đi qua [tex]A[/tex] không đi qua gốc [tex] O[/tex] cắt tia [tex]Ox,\,Oy[/tex] tại [tex]M,\,N[/tex] sao cho [tex]MO + ON[/tex] nhỏ nhất.

Bài 5: Cho hai hình vuông [tex]ABCD[/tex] và [tex]A'B'C'D'[/tex] cùng hướng. Chứng minh rằng các đường thẳng [tex]BB';\,CC'[/tex] và [tex]DD'[/tex] đồng quy.  

Bài 6: Cho [tex]A\left(a;\,0\right)[/tex] và [tex]B\left(0;\,b\right)\,\,\,\,\,a,\,b>0;\,M[/tex] di chuyển trên đoạn [tex]OA ,\,N[/tex] di chuyển trên đoạn [tex]OB[/tex] sao cho [tex]AM=ON.[/tex] Chứng minh rằng trung trực [tex]MN[/tex] luôn đi qua điểm cố định và hãy tìm tọa độ điểm đó.

Cảm ơn mọi người rất nhiều.
____________________________________________
@ Trần Anh Tuấn: mình đã bỏ ra hơn 30' ngồi đánh lại
bài của bạn đấy. Từ này bạn mà đăng bài cái kiểu ẩu thả
không gõ Tex đàng hoàng thì đừng hỏi TẠI SAO nhé!

[Alexman113]

Bài 1: Cho hai véctơ: [tex]\overrightarrow{a}\left(x_a;\,y_a\right),\,\,\overrightarrow{b}\left(x_b;\,y_b\right)[/tex] và [tex]\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=x_ay_b-x_by_a.[/tex] Chứng minh rằng: [tex]\left|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} \right|=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\sin\left(\overrightarrow{a};\,\overrightarrow{b}\right)[/tex]

Giải:
Ta có:[tex]\overrightarrow a\centerdot \overrightarrow b=x_ax_b+y_ay_b[/tex] và [tex]\left|\overrightarrow a\centerdot \overrightarrow b\right|=\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|\cos\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)[/tex]
Lại có:
     [tex]\left(\overrightarrow a\times\overrightarrow b\right)^2+\left(\overrightarrow a\centerdot \overrightarrow b\right)^2[/tex]
[tex]=\left(x_ay_b-x_by_a\right)^2+\left(x_ax_b+y_ay_b\right)^2[/tex]
[tex]=x_a^2y_b^2+x_b^2y_a^2+x_a^2x_b^2+y_a^2y_b^2[/tex]
[tex]=\left(x_a^2+y_a^2\right)\left(x_b^2+y_b^2\right)[/tex]
[tex]=\left|\overrightarrow a\right|^2\left|\overrightarrow b\right|^2[/tex]
Suy ra: [tex]\left|\overrightarrow a\times \overrightarrow b\right|^2=\left|\overrightarrow a\right|^2\left|\overrightarrow b\right|^2\sin^2\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)[/tex]
[tex]\Rightarrow \left|\overrightarrow a\times \overrightarrow b\right|=\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|\sin\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)[/tex], do [tex]\sin\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)\ge0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\blackquare[/tex]

[Alexman113]

Bài 2: Cho [tex]\Delta ABC[/tex] có trung điểm một cạnh là [tex]M\left(1;\,2\right)[/tex] . Biết hai trung tuyến xuất phát từ hai đỉnh có phương trình lần lượt là: [tex]x+y-3=0[/tex] và [tex]2x-y+4=0.[/tex] Viết phương trình các cạnh của [tex]\Delta ABC[/tex].

Bạn xem lại đề hộ mình nhé thiếu dữ kiện không thể làm được đâu.

[Alexman113]

Bài 3: Cho [tex]\Delta ABC[/tex] có [tex]C\left(-3;\,1\right)[/tex]. Phân giác [tex]AD[/tex] có phương trình: [tex]x+3y+12=0[/tex], đường cao [tex]AH[/tex] có phương trình: [tex]x+7y+32=0.[/tex] Lập phương trình các cạnh của tam giác.

Giải:
Tọa độ [tex]A[/tex] là nghiệm của hệ: [tex]\begin{cases} x+3y+12=0\\x+7y+32=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=3\\y=-5 \end{cases}[/tex] hay [tex]A\left(3;-5\right)[/tex]
Phương trình [tex]AC[/tex] đi qua [tex]A\left(3;-5\right);C\left(-3;1\right)[/tex] là: [tex]x+y+2=0[/tex]
Đường thẳng [tex]BC[/tex] đi qua [tex]C\left(-3;1\right)[/tex] và vuông góc với: [tex]AH:x+7y+32=0[/tex] nên phương trình đương thẳng [tex]BC[/tex] là: [tex]7\left(x+3\right)-\left(y-1\right)=0 \Leftrightarrow 7x-y+22=0[/tex].
Gọi [tex]C'[/tex] là điểm đối xứng của [tex]C[/tex] qua [tex]AD[/tex], suy ra: [tex]C'\in AB[/tex]
Phương trình đường thẳng [tex]\left(d\right)[/tex] đi qua [tex]C[/tex] và vuông góc với [tex]AD[/tex] là:
[tex]3\left(x+3\right)-\left(y-1\right)=0 \Leftrightarrow 3x-y+10=0[/tex]
Giao điểm [tex]I[/tex] của [tex]AD[/tex] và [tex]\left(d\right)[/tex] là nghiệm của hệ: [tex]\begin{cases}x+3y+12=0\\3x-y+10=0\end{cases}.\Leftrightarrow \begin{cases}x=\dfrac{-21}{5}\\y=\dfrac{-13}{5}\end{cases}[/tex]
Từ đó suy ra: [tex]C'\left(\dfrac{-27}{5};\dfrac{-31}{5}\right)[/tex]
Phương trình [tex]AB[/tex] đi qua [tex]A\left(3;-5\right);C'\left(\dfrac{-27}{5};\dfrac{-31}{5}\right)[/tex] là: [tex]x-7y-38=0[/tex]

[Alexman113]

Bài 4: Cho điểm [tex]A\left(1;\,b\right)\,\,\,\,\,a>0;\,b>0.[/tex] Viết phương trình đường thẳng [tex](d)[/tex] đi qua [tex]A[/tex] không đi qua gốc [tex] O[/tex] cắt tia [tex]Ox,\,Oy[/tex] tại [tex]M,\,N[/tex] sao cho [tex]MO + ON[/tex] nhỏ nhất.

Hướng dẫn:
Bạn xem lại đề hộ mình nhé cho [tex]a>0[/tex] nhưng không thấy cho [tex]a[/tex] trong đề chắc có lẻ đề như trên nhưng điểm [tex]A[/tex] phải có tọa độ thế này [tex]A\left(a;\,b\right)[/tex] thì mình giải như sau:
Vì [tex]a,b>0[/tex] nên phương trình đường thẳng [tex]\left(d\right)[/tex] có dạng: [tex]\dfrac{x}{OM}+\dfrac{y}{ON}=1.[/tex]
Vì [tex]A\in \left(d\right)[/tex] nên [tex]\dfrac{a}{OM}+\dfrac{b}{ON}=1[/tex].
Áp dụng BĐT [tex]Cauchy-Schwarz[/tex] ta có: [tex]OM+ON=\left(OM+ON\right)\left\left( \dfrac{a}{OM}+\dfrac{b}{ON}\right\right) \geq \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2.[/tex]
Dấu [tex]\,\,"="\,\,\Leftrightarrow\,\dfrac{OM}{\sqrt{a}}=\dfrac{ON}{\sqrt{b}}[/tex].
Khi đó đường thẳng [tex]\left(d\right)[/tex] có phương trình: [tex]\dfrac{x}{\sqrt{a}}+\dfrac{y}{\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}[/tex].

[Alexman113]

Bài 5: Cho hai hình vuông [tex]ABCD[/tex] và [tex]A'B'C'D'[/tex] cùng hướng. Chứng minh rằng các đường thẳng [tex]BB';\,CC'[/tex] và [tex]DD'[/tex] đồng quy. 

Bài này đề sai bạn nhé!
Lấy hai hình vuông [tex]ABCD[/tex] và [tex]A'B'C'D'[/tex] bằng nhau và đặt tên theo chiều kim đồng hồ sao cho [tex]A,\,B,\,A',\,B'[/tex] nằm cùng trên một đường thẳng. Khi đó [tex]BB' \parallel DD' \equiv CC'[/tex] nên chúng không thể đồng quy được.

[Alexman113]

Bài 6: Cho [tex]A\left(a;\,0\right)[/tex] và [tex]B\left(0;\,b\right)\,\,\,\,\,a,\,b>0;\,M[/tex] di chuyển trên đoạn [tex]OA ,\,N[/tex] di chuyển trên đoạn [tex]OB[/tex] sao cho [tex]AM=ON.[/tex] Chứng minh rằng trung trực [tex]MN[/tex] luôn đi qua điểm cố định và hãy tìm tọa độ điểm đó.

Giải:
Đặt [tex]N(0,n), \quad 0 < n <b[/tex] vì [tex]N[/tex] nằm trong [tex]OB[/tex].
Do [tex]ON=AM\Rightarrow M(a-n,0)[/tex]. Phương trình đoạn chắn đi qua [tex]M,\,N[/tex] có dạng:
[tex]\dfrac{x}{a-n}+\dfrac{y}{n}=1\implies nx + (a-n) y=n(a-n)[/tex]
và trung điểm của [tex]MN[/tex] có tọa độ [tex]I=\left ( \dfrac{a-n}{2},\dfrac{n}{2} \right )[/tex].
Suy ra đường trung trực của [tex]MN[/tex] đi qua [tex]I[/tex] và có VTPT [tex](n-a,n)[/tex] nên nó có dạng
[tex](d) : (n-a)\left ( x - \dfrac{a-n}{2}\right )+n\left ( y - \dfrac{n}{2}\right )=0 \quad (1)[/tex]
Để tìm điểm cố định thuộc đường thẳng trên thì ta tìm [tex]x,y[/tex] sao cho Phương trình [tex](1)[/tex] có nghiệm với mọi [tex]n[/tex].
Ta có:
[tex](1) \iff n(x+y-a)+\left ( \dfrac{a^2}{2}-ax \right )=0[/tex]
Phương trình này có nghiệm với mọi [tex]n \iff \begin{cases}x+y-a=0 \\ \dfrac{a^2}{2}-ax =0 \end{cases}\iff \begin{cases}x= \dfrac{a}{2} \\y= \dfrac{a}{2} \end{cases}[/tex]
Vậy điểm cố định cần tìm là [tex]\left (\dfrac{a}{2},  \dfrac{a}{2} \right )\,\,\,\,\,\,\,\blacksquare[/tex]

[Trần Anh Tuấn]

Thực sự rất cảm ơn anh Alexman113
Hôm đó em có việc phãi xa nhà sớm nên nhờ một người khác gõ hộ bài tập lên nên mới xảy ra sự cố trên
Rất mong anh lượng thứ !!!!!!!!!!!!!!
Mong được anh giúp đỡ nhiều hơn nữa ạ !!!!!!!!1

[Trần Anh Tuấn]

Anh Alexman 113 giải tiếp cho em một bài hình nữa được không ạ ? Bài này không phải hình giải tích anh cho phép em đăng vào topic này nhé
Tính số cạnh của một đa giác lồi có tất cả các đường chéo bằng nhau?

[Alexman113]

Tính số cạnh của một đa giác lồi có tất cả các đường chéo bằng nhau?

Giải:
Giả sử tồn tại đa giác [tex]A_1A_2...A_n[/tex] cạnh mà tất cả các đường chéo của nó bằng nhau.
Dễ thấy [tex]n\in \{ 3,4,5\}[/tex] thỏa mãn bài toán.
Xét trường hợp [tex]n\geq 6[/tex], khi đó [tex]A_1A_3=A_3A_5=A_5A_1=l[/tex] nên [tex]\Delta A_1A_3A_5[/tex] đều.
Đồng thời với mọi [tex]6\leq i\leq n[/tex] thì [tex]A_2A_4=A_4A_i=A_iA_2=l[/tex] nên [tex]\Delta A_2A_4A_i[/tex] đều.
Từ đó suy ra [tex]n=6.[/tex]
Khi đó [tex]\Delta A_1A_3A_4=\Delta A_6A_3A_4[/tex] nên [tex]\widehat{A_1A_3A_4}=\widehat{A_6A_3A_4}[/tex] (vô lý).
Vậy [tex]n\geq 6[/tex] không thỏa mãn bài toán.

[Trần Anh Tuấn]

Nhờ anh Alex giải hộ em bài hình giải tích này
Cho hình chữ nhật [tex]ABCD[/tex] có [tex]I\left(6;\,2\right)[/tex] là giao điểm của hai đường chéo [tex]AC[/tex] và [tex]BD[/tex]. Điểm [tex]M\left(1;\,1\right)[/tex] thuộc đường thẳng [tex]AB.[/tex] Trung điểm [tex]E[/tex] của cạnh [tex]CD[/tex] nằm trên đường thẳng [tex]x+y-5=0.[/tex] Viết phương trình đường thẳng [tex]AB.[/tex]
Cảm ơn anh nhiều.

[Alexman113]

Cho hình chữ nhật [tex]ABCD[/tex] có [tex]I\left(6;\,2\right)[/tex] là giao điểm của hai đường chéo [tex]AC[/tex] và [tex]BD[/tex]. Điểm [tex]M\left(1;\,1\right)[/tex] thuộc đường thẳng [tex]AB.[/tex] Trung điểm [tex]E[/tex] của cạnh [tex]CD[/tex] nằm trên đường thẳng [tex]x+y-5=0.[/tex] Viết phương trình đường thẳng [tex]AB.[/tex]
Cảm ơn anh nhiều.

Giải: