Bất đẳng thức lượng giác

[Trần Anh Tuấn]

Nhờ thầy cô và bạn bè giúp đỡ em chứng minh mấy câu BĐT LG sau :
Bài 1: Cho [tex]\Delta ABC[/tex] . CMR :
[tex]a)\,\,\left(1-\cos A\right)\left(1-\cos B\right)\left(1-\cos C\right)\leq \dfrac{1}{8}\\b)\,\,\left(1-\sin A\right)\left(1-\sin B\right)\left(1-\sin C\right)\leq \left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}\\c)\,\,\dfrac{\cos\dfrac{A}{2}}{1+\cos A}+\dfrac{\cos\dfrac{B}{2}}{1+\cos B}+\dfrac{\cos\dfrac{C}{2}}{1+\cos C}\geq \sqrt{3}\\d)\,\,\dfrac{\cos\dfrac{B-C}{2}}{\sin\dfrac{A}{2}}+\dfrac{\cos\dfrac{C-A}{2}}{\sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{\cos\dfrac{A-B}{2}}{\sin\dfrac{C}{2}}\geq 6\\e)\,\,\left(1+\dfrac{1}{\sin\dfrac{A}{2}}\right)\left(1+\dfrac{1}{\sin\dfrac{B}{2}}\right)\left(1+\dfrac{1}{\sin\dfrac{C}{2}}\right)\geq 27[/tex]

Bài 2: Cho [tex]\Delta ABC[/tex] có 3 góc nhọn. CMR: [tex]\left(1+\dfrac{1}{\cos A}\right)\left(1+\dfrac{1}{\cos B}\right)\left(1+\dfrac{1}{\cos C})\geq 27[/tex]

Bài 3: CMR [tex]\Delta ABC[/tex] nhọn khi và chỉ khi [tex]\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C>2[/tex]

Xin chân thành cảm ơn !!!!!!!!!

[noname97]

Bài 2:
Áp dụng BĐT TBC-TBN là ra nhé.  Mới nhìn ra bài này thôi.
Còn lại thì khó thật  [-O<

[Trần Anh Tuấn]

Bài 2:
Áp dụng BĐT TBC-TBN là ra nhé.  Mới nhìn ra bài này thôi.
Còn lại thì khó thật  [-O<

Bạn có thể trình bày rõ ràng ra giúp mình không ?
Áp dụng BĐT AM-GM như thế nào mới đúng ?

[noname97]

[tex]VT \geq \left(1 + \frac{1}{\sqrt[3]{cosA*cosB*cosC}} \right)^{3} = (1+2)^{3}[/tex]
...

[Trần Anh Tuấn]

[tex]VT \geq \left(1 + \frac{1}{\sqrt[3]{cosA*cosB*cosC}} \right)^{3} = (1+2)^{3}[/tex]
...

Cảm ơn bạn , vậy là cũng đã ra luôn câu e bài 1 rồi
Mấy bài còn lại bạn giúp mình với

[noname97]

Xét hiệu:
[tex]\frac{1-cos2A}{2}+\frac{1-cos2B}{2}+1-cos^{2}C -2 =2-cos(A+B)cos(A-B)-cos^{2}C-2 = cos(A-B)cosC-cos^{2}C ....[/tex]

[Alexman113]

Bài 3: CMR [tex]\Delta ABC[/tex] nhọn khi và chỉ khi [tex]\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C>2[/tex]

Giải:

Để ý chút: [tex]\sin C = \sin (A+B)=\sin A \cos B + \sin B \cos A[/tex].
Ta có:
      [tex]\sin^2 A + \sin^2 B +\sin^2 C > 2 [/tex]
 [tex]\Leftrightarrow \sin^2 C>(1-\sin^2 A)+(1-\sin^2 B)[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow \sin^2 (A+B)>\cos^2 A+\cos^2 B[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow \left ( \sin A \cos B + \sin B \cos A \right )^2>\cos^2 A+\cos^2 B[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow \sin^2 A \cos^2 B + \sin^2 B \cos^2 A+ 2\sin A \cos B \sin B \cos A>\cos^2 A+\cos^2 B[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow2\sin A \cos B \sin B \cos A>\cos^2 A(1-\sin^2 B)+\cos^2 B(1-\sin^2 A)[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow2\sin A \cos B \sin B \cos A>\cos^2 A\cos^2 B+\cos^2 B\cos^2 A[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow2\sin A \cos B \sin B \cos A>2\cos^2 A\cos^2 B[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow \cos B\cos A (\cos B\cos A-\sin B \sin A)<0[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow \cos B\cos A \cos (A+B)<0[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow \cos B\cos A \cos C>0[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow \triangle ABC[/tex] nhọn.       [tex]\blacksquare[/tex]

[Alexman113]

Bài 2: Cho [tex]\Delta ABC[/tex] có 3 góc nhọn. CMR: [tex]\left(1+\dfrac{1}{\cos A}\right)\left(1+\dfrac{1}{\cos B}\right)\left(1+\dfrac{1}{\cos C})\geq 27[/tex]

Giải:

Ta có:
[tex]\cos A+\cos B=2\cos\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A}{2}-\dfrac{B}{2}\right)\le2\cos\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}\right)[/tex]
[tex]\cos C+\cos\dfrac{\pi}{3}=2\cos\left(\dfrac{C}{2}+\dfrac{\pi}{6}\right)\cos\left(\dfrac{C}{2}-\dfrac{\pi}{6}\right)\le2\cos\left(\dfrac{C}{2}+\dfrac{\pi}{6}\right)[/tex]
[tex]\cos\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{C}{2}+\dfrac{\pi}{6}\right)=2\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\left(\dfrac{A}{4}+\dfrac{B}{4}-\dfrac{C}{4}-\dfrac{\pi}{12}\right)\le2\cos\dfrac{\pi}{3}[/tex]
Suy ra: [tex]\cos A+\cos B+\cos C\le3\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3}{2}[/tex]      và    [tex]\cos A\cos B\cos C \le \left \left( \dfrac{\cos A+\cos B+\cos C}{3} \right \right)^3\le\dfrac{1}{8}[/tex]
Ta có:
[tex]\left\left(1+\dfrac{1}{\cos A}\right\right)\left\left(1+\dfrac{1}{\cos B}\right\right)\left\left(1+\dfrac{1}{\cos C}\right\right)\\=1+\left\left(\dfrac{1}{\cos A}+\dfrac{1}{\cos B}+\dfrac{1}{\cos C}\right\right)+\left\left(\dfrac{1}{\cos A\cos B}+\dfrac{1}{\cos B\cos C}+\dfrac{1}{\cos C\cos A}\right\right)+\dfrac{1}{\cos A\cos B\cos C}[/tex]
[tex]\ge1+\dfrac{3}{\sqrt[3]{\cos A\cos B\cos C}}+\dfrac{3}{\sqrt[3]{\cos^2A\cos^2B\cos^2C}}+8\ge27[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi: [tex]\Delta ABC[/tex] đều.        [tex]\blacksquare[/tex]