Hệ phương trình.

[Trần Anh Tuấn]

Giải hệ phương trình:

[tex]\begin{cases}x^2+y^2+z^2=1\\ x^3+y^3+z^3=1\\ x^4+y^4+z^4=1\end{cases}[/tex]

Nhờ mọi người giải hộ em.

[Alexman113]

Giải hệ phương trình:

[tex]\begin{cases}x^2+y^2+z^2=1\\ x^3+y^3+z^3=1\\ x^4+y^4+z^4=1\end{cases}[/tex]

Nhờ mọi người giải hộ em.

Hướng dẫn:
Từ phương trình đầu tiên suy ra
[tex](x^2+y^2+z^2)^2=1\Rightarrow x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)=1[/tex]
Kết hợp với phương trình thứ 3, suy ra [tex]x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=0[/tex]
 Nhưng [tex]x^2y^2,y^2z^2,z^2x^2\geq 0[/tex] nên suy ra [tex]xy=yz=zx=0[/tex]
Từ đây suy ra, trong 3 số [tex]x,\,y,\,z[/tex] có 2 số bằng 0, (Nếu cả 3 bằng 0 thì tổng bình phương của 3 số bằng 0 - vô lý)
Số còn lại có lập phương bằng 1 nên nó bằng 1
Vậy: nghiệm của hệ phương trình là [tex]\left(x,\,y,\,z\right)=\left(0;\,0;\,1\right)[/tex] và các hoán vị.    [tex]\blacksquare[/tex]