Bất đẳng thức.

[Trần Anh Tuấn]

Cho [tex]a,\,b,\,c>0[/tex] và [tex]abc = 1[/tex]. Chứng minh rằng:

[tex]\dfrac{1}{(1+a)^{2}}+ \dfrac{1}{(1+b)^{2}} + \dfrac{1}{(1+c)^{2}} + \dfrac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1[/tex]

Nhờ mọi người giải giúp em với ạ

[Alexman113]

Cho [tex]a,\,b,\,c>0[/tex] và [tex]abc = 1[/tex]. Chứng minh rằng:

[tex]\dfrac{1}{(1+a)^{2}}+ \dfrac{1}{(1+b)^{2}} + \dfrac{1}{(1+c)^{2}} + \dfrac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1[/tex]

Nhờ mọi người giải giúp em với ạ

Giải:

Đặt: [tex]\begin{cases}x=\dfrac{1}{1+a}\\y =\dfrac{1}{1+b}\\z =\dfrac{1}{1+c} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a =\dfrac{1-x}{x}\\b =\dfrac{1-y}{y}\\c =\dfrac{1-z}{z}\end{cases}[/tex].

Từ: [tex]abc=1\Rightarrow xyz=(1-x)(1-y)(1-z)=1-(x+y+z)+(xy+yz+zx)-xyz[/tex]
[tex]\Rightarrow2xyz=1-(x+y+z)+(xy+yz+zx).[/tex]
Như vậy BĐT cần chứng minh
[tex]\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz \ge 1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+1-(x+y+z)+(xy+yz+zx) \ge 1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-(x+y+z)+(xy+yz+zx) \ge 0[/tex]
Từ BĐT quen thuộc, [tex]x^2+y^2+z^2\ge (xy+yz+zx) [/tex] ta dễ dàng chứng minh được: [tex]x^2+y^2+z^2+ (xy+yz+zx) \ge \dfrac{2}{3}(x+y+z)^2[/tex]
Tóm lại bài toán quy về chứng minh
[tex]\dfrac{2}{3}(x+y+z)^2-(x+y+z) \ge 0\Leftrightarrow x+y+z \ge \dfrac{3}{2}[/tex]
Để chứng minh BĐT này thì ta chú ý [tex]abc=1[/tex] nên tồn tại các số [tex]m,n,p [/tex] sao cho  [tex]a=\dfrac{m}{n}, b=\dfrac{n}{p}, c=\dfrac{p}{m}, [/tex] Khi đó
[tex]x+y+z = \dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}= \dfrac{n}{n+m}+\dfrac{p}{n+p}+\dfrac{m}{m+p} \ge \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\blacksquare[/tex].