03:33:33 am Ngày 09 Tháng Tư, 2024
Diễn đàn đã ngưng hoạt động và vào chế độ lưu trữ.
Mời tham gia và trao đổi trên nhóm Facebook
>> TẠI ĐÂY <<
Tìm là có
>>
Trang chủ
Diễn đàn
Diễn Đàn Vật Lý | Thư Viện Vật Lý
>
CÁC KHOA HỌC KHÁC
>
TOÁN HỌC
(Quản trị:
Mai Nguyên
) >
Bất đẳng thức.
Bất đẳng thức.
Trang:
1
Xuống
« Trước
Tiếp »
In
Tác giả
Chủ đề: Bất đẳng thức. (Đọc 1265 lần)
0 Thành viên và 0 Khách đang xem chủ đề.
Trần Anh Tuấn
Giáo viên Vật lý
Lão làng
Nhận xét: +42/-16
Cảm ơn
-Đã cảm ơn: 217
-Được cảm ơn: 367
Offline
Giới tính:
Bài viết: 709
Chú Mèo Đi Hia
tuan_trananh1997@yahoo.com
Bất đẳng thức.
«
vào lúc:
01:04:32 am Ngày 29 Tháng Mười Hai, 2012 »
Cho [tex]a,\,b,\,c>0[/tex] và [tex]abc = 1[/tex]. Chứng minh rằng:
[tex]\dfrac{1}{(1+a)^{2}}+ \dfrac{1}{(1+b)^{2}} + \dfrac{1}{(1+c)^{2}} + \dfrac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1[/tex]
Nhờ mọi người giải giúp em với ạ
«
Sửa lần cuối: 01:52:47 pm Ngày 29 Tháng Mười Hai, 2012 gửi bởi Alexman113
»
Logged
Tận cùng của tình yêu là thù hận
Sâu thẳm trong thù hận là tình yêu
Alexman113
Lão làng
Nhận xét: +26/-9
Cảm ơn
-Đã cảm ơn: 229
-Được cảm ơn: 270
Offline
Bài viết: 551
KK09XI
Trả lời: Bất đẳng thức.
«
Trả lời #1 vào lúc:
09:10:47 pm Ngày 29 Tháng Mười Hai, 2012 »
Trích dẫn từ: Trần Anh Tuấn trong 01:04:32 am Ngày 29 Tháng Mười Hai, 2012
Cho [tex]a,\,b,\,c>0[/tex] và [tex]abc = 1[/tex]. Chứng minh rằng:
[tex]\dfrac{1}{(1+a)^{2}}+ \dfrac{1}{(1+b)^{2}} + \dfrac{1}{(1+c)^{2}} + \dfrac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1[/tex]
Nhờ mọi người giải giúp em với ạ
Giải
:
Đặt: [tex]\begin{cases}x=\dfrac{1}{1+a}\\y =\dfrac{1}{1+b}\\z =\dfrac{1}{1+c} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a =\dfrac{1-x}{x}\\b =\dfrac{1-y}{y}\\c =\dfrac{1-z}{z}\end{cases}[/tex].
Từ: [tex]abc=1\Rightarrow xyz=(1-x)(1-y)(1-z)=1-(x+y+z)+(xy+yz+zx)-xyz[/tex]
[tex]\Rightarrow2xyz=1-(x+y+z)+(xy+yz+zx).[/tex]
Như vậy BĐT cần chứng minh
[tex]\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz \ge 1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+1-(x+y+z)+(xy+yz+zx) \ge 1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-(x+y+z)+(xy+yz+zx) \ge 0[/tex]
Từ BĐT quen thuộc, [tex]x^2+y^2+z^2\ge (xy+yz+zx) [/tex] ta dễ dàng chứng minh được: [tex]x^2+y^2+z^2+ (xy+yz+zx) \ge \dfrac{2}{3}(x+y+z)^2[/tex]
Tóm lại bài toán quy về chứng minh
[tex]\dfrac{2}{3}(x+y+z)^2-(x+y+z) \ge 0\Leftrightarrow x+y+z \ge \dfrac{3}{2}[/tex]
Để chứng minh BĐT này thì ta chú ý [tex]abc=1[/tex] nên tồn tại các số [tex]m,n,p [/tex] sao cho [tex]a=\dfrac{m}{n}, b=\dfrac{n}{p}, c=\dfrac{p}{m}, [/tex] Khi đó
[tex]x+y+z = \dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}= \dfrac{n}{n+m}+\dfrac{p}{n+p}+\dfrac{m}{m+p} \ge \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\blacksquare[/tex].
Logged
KK09XI ~ Nothing fails like succcess ~
Tags:
Trang:
1
Lên
In
« Trước
Tiếp »
Chuyển tới:
Chọn nơi chuyển đến:
Loading...