Cho [tex]\Delta ABC,\,M,\,N[/tex] là 2 điểm định bởi [tex]3\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0},\, \overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC},\,G[/tex] là trọng tâm [tex]\Delta ABC.[/tex]
a) Chứng minh [tex]M,\,G,\,N[/tex] thẳng hàng.
b) Tính [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] theo [tex]\overrightarrow{AG}[/tex] và [tex]\overrightarrow{AN}[/tex]. Gọi [tex]P[/tex] là giao điểm của [tex]AC[/tex] và [tex]GN.[/tex] Tính [tex]\dfrac{PA}{PC}?[/tex]
Xin mọi người giúp em.
Giải:a) Ta có:[tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}[/tex]
[tex]3\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow 3(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})+4(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})=\overrightarrow{0}\\\Leftrightarrow 7\overrightarrow{MG}+3\overrightarrow{GA}+4\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0} [/tex]
[tex]2\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{BC}\\\Leftrightarrow 2(\overrightarrow{GN}-\overrightarrow{GC})=\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GB}\\\Leftrightarrow 2\overrightarrow{NG}-\overrightarrow{GB}+3\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} [/tex]
Vậy: [tex] 7\overrightarrow{MG}+ 2\overrightarrow{NG}= \overrightarrow{0}[/tex], hay [tex]M,\,G,\,N[/tex] thẳng hàng.
b) Ta có: Ta có:
[tex] \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})[/tex]
Lại có:
[tex]2\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow 2(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(3\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})[/tex]
Suy ra:
[tex]3\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{AC}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AN}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AG}[/tex]
Giả sử: [tex] \overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AC} \Rightarrow \overrightarrow{AP}=\frac{k}{2}\overrightarrow{AN}+\frac{3k}{4}\overrightarrow{AG} [/tex]
Vì [tex]G,P,N[/tex] thẳng hàng nên: [tex]\frac{k}{2}+\frac{3k}{4}=1 \Leftrightarrow k=\frac{4}{5}[/tex]
Từ đó suy ra: [tex]\frac{AP}{PC}=4[/tex]
