Giai Nobel 2012
08:33:43 pm Ngày 12 Tháng Mười Một, 2023 *
Diễn đàn đã ngưng hoạt động và vào chế độ lưu trữ.
Mời tham gia và trao đổi trên nhóm Facebook >> TẠI ĐÂY <<
  Trang chủ Diễn đàn  


Quy định cần thiết


Diễn đàn đã ngưng hoạt động và vào chế độ lưu trữ. Mời tham gia và trao đổi trên nhóm Facebook >> TẠI ĐÂY <<

Trả lời

Bất đẳng thức lượng giác

Trang: 1   Xuống
  In  
Tác giả Chủ đề: Bất đẳng thức lượng giác  (Đọc 2626 lần)
0 Thành viên và 0 Khách đang xem chủ đề.
Trần Anh Tuấn
Giáo viên Vật lý
Lão làng
*****

Nhận xét: +42/-16
Cảm ơn
-Đã cảm ơn: 217
-Được cảm ơn: 367

Offline Offline

Giới tính: Nam
Bài viết: 709


Chú Mèo Đi Hia

tuan_trananh1997@yahoo.com
Email
« vào lúc: 06:20:37 pm Ngày 23 Tháng Giêng, 2013 »

Nhờ thầy cô và bạn bè giúp đỡ em chứng minh mấy câu BĐT LG sau :
Bài 1: Cho [tex]\Delta ABC[/tex] . CMR :
[tex]a)\,\,\left(1-\cos A\right)\left(1-\cos B\right)\left(1-\cos C\right)\leq \dfrac{1}{8}\\b)\,\,\left(1-\sin A\right)\left(1-\sin B\right)\left(1-\sin C\right)\leq \left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}\\c)\,\,\dfrac{\cos\dfrac{A}{2}}{1+\cos A}+\dfrac{\cos\dfrac{B}{2}}{1+\cos B}+\dfrac{\cos\dfrac{C}{2}}{1+\cos C}\geq \sqrt{3}\\d)\,\,\dfrac{\cos\dfrac{B-C}{2}}{\sin\dfrac{A}{2}}+\dfrac{\cos\dfrac{C-A}{2}}{\sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{\cos\dfrac{A-B}{2}}{\sin\dfrac{C}{2}}\geq 6\\e)\,\,\left(1+\dfrac{1}{\sin\dfrac{A}{2}}\right)\left(1+\dfrac{1}{\sin\dfrac{B}{2}}\right)\left(1+\dfrac{1}{\sin\dfrac{C}{2}}\right)\geq 27[/tex]

Bài 2: Cho [tex]\Delta ABC[/tex] có 3 góc nhọn. CMR: [tex]\left(1+\dfrac{1}{\cos A}\right)\left(1+\dfrac{1}{\cos B}\right)\left(1+\dfrac{1}{\cos C})\geq 27[/tex]

Bài 3: CMR [tex]\Delta ABC[/tex] nhọn khi và chỉ khi [tex]\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C>2[/tex]

Xin chân thành cảm ơn !!!!!!!!!
« Sửa lần cuối: 10:56:22 am Ngày 24 Tháng Giêng, 2013 gửi bởi Alexman113 »

Logged



Tận cùng của tình yêu là thù hận
Sâu thẳm trong thù hận là tình yêu
noname97
Học sinh
Thành viên mới
*

Nhận xét: +0/-0
Cảm ơn
-Đã cảm ơn: 8
-Được cảm ơn: 4

Offline Offline

Bài viết: 13


kubipro.garfield@gmail.com
Email
« Trả lời #1 vào lúc: 06:35:37 pm Ngày 23 Tháng Giêng, 2013 »

Bài 2:
Áp dụng BĐT TBC-TBN là ra nhé.  Cheesy Mới nhìn ra bài này thôi.
Còn lại thì khó thật  [-O<


Logged
Trần Anh Tuấn
Giáo viên Vật lý
Lão làng
*****

Nhận xét: +42/-16
Cảm ơn
-Đã cảm ơn: 217
-Được cảm ơn: 367

Offline Offline

Giới tính: Nam
Bài viết: 709


Chú Mèo Đi Hia

tuan_trananh1997@yahoo.com
Email
« Trả lời #2 vào lúc: 06:42:26 pm Ngày 23 Tháng Giêng, 2013 »

Bài 2:
Áp dụng BĐT TBC-TBN là ra nhé.  Cheesy Mới nhìn ra bài này thôi.
Còn lại thì khó thật  [-O<
Bạn có thể trình bày rõ ràng ra giúp mình không ?
Áp dụng BĐT AM-GM như thế nào mới đúng ?


Logged

Tận cùng của tình yêu là thù hận
Sâu thẳm trong thù hận là tình yêu
noname97
Học sinh
Thành viên mới
*

Nhận xét: +0/-0
Cảm ơn
-Đã cảm ơn: 8
-Được cảm ơn: 4

Offline Offline

Bài viết: 13


kubipro.garfield@gmail.com
Email
« Trả lời #3 vào lúc: 06:48:04 pm Ngày 23 Tháng Giêng, 2013 »

[tex]VT \geq \left(1 + \frac{1}{\sqrt[3]{cosA*cosB*cosC}} \right)^{3} = (1+2)^{3}[/tex]
...


Logged
Trần Anh Tuấn
Giáo viên Vật lý
Lão làng
*****

Nhận xét: +42/-16
Cảm ơn
-Đã cảm ơn: 217
-Được cảm ơn: 367

Offline Offline

Giới tính: Nam
Bài viết: 709


Chú Mèo Đi Hia

tuan_trananh1997@yahoo.com
Email
« Trả lời #4 vào lúc: 06:50:11 pm Ngày 23 Tháng Giêng, 2013 »

[tex]VT \geq \left(1 + \frac{1}{\sqrt[3]{cosA*cosB*cosC}} \right)^{3} = (1+2)^{3}[/tex]
...

Cảm ơn bạn , vậy là cũng đã ra luôn câu e bài 1 rồi
Mấy bài còn lại bạn giúp mình với


Logged

Tận cùng của tình yêu là thù hận
Sâu thẳm trong thù hận là tình yêu
noname97
Học sinh
Thành viên mới
*

Nhận xét: +0/-0
Cảm ơn
-Đã cảm ơn: 8
-Được cảm ơn: 4

Offline Offline

Bài viết: 13


kubipro.garfield@gmail.com
Email
« Trả lời #5 vào lúc: 07:44:36 pm Ngày 23 Tháng Giêng, 2013 »

Xét hiệu:
[tex]\frac{1-cos2A}{2}+\frac{1-cos2B}{2}+1-cos^{2}C -2 =2-cos(A+B)cos(A-B)-cos^{2}C-2 = cos(A-B)cosC-cos^{2}C ....[/tex]


Logged
Alexman113
Lão làng
*****

Nhận xét: +26/-9
Cảm ơn
-Đã cảm ơn: 229
-Được cảm ơn: 270

Offline Offline

Bài viết: 551


KK09XI


Email
« Trả lời #6 vào lúc: 08:47:05 am Ngày 25 Tháng Giêng, 2013 »

Bài 3: CMR [tex]\Delta ABC[/tex] nhọn khi và chỉ khi [tex]\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C>2[/tex]
Giải:

Để ý chút: [tex]\sin C = \sin (A+B)=\sin A \cos B + \sin B \cos A[/tex].
Ta có:
      [tex]\sin^2 A + \sin^2 B +\sin^2 C > 2 [/tex]
 [tex]\Leftrightarrow \sin^2 C>(1-\sin^2 A)+(1-\sin^2 B)[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow \sin^2 (A+B)>\cos^2 A+\cos^2 B[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow \left ( \sin A \cos B + \sin B \cos A \right )^2>\cos^2 A+\cos^2 B[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow \sin^2 A \cos^2 B + \sin^2 B \cos^2 A+ 2\sin A \cos B \sin B \cos A>\cos^2 A+\cos^2 B[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow2\sin A \cos B \sin B \cos A>\cos^2 A(1-\sin^2 B)+\cos^2 B(1-\sin^2 A)[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow2\sin A \cos B \sin B \cos A>\cos^2 A\cos^2 B+\cos^2 B\cos^2 A[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow2\sin A \cos B \sin B \cos A>2\cos^2 A\cos^2 B[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow \cos B\cos A (\cos B\cos A-\sin B \sin A)<0[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow \cos B\cos A \cos (A+B)<0[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow \cos B\cos A \cos C>0[/tex]
 [tex]\Leftrightarrow \triangle ABC[/tex] nhọn.       [tex]\blacksquare[/tex]


Logged

KK09XI ~ Nothing fails like succcess ~
Alexman113
Lão làng
*****

Nhận xét: +26/-9
Cảm ơn
-Đã cảm ơn: 229
-Được cảm ơn: 270

Offline Offline

Bài viết: 551


KK09XI


Email
« Trả lời #7 vào lúc: 08:54:58 am Ngày 25 Tháng Giêng, 2013 »

Bài 2: Cho [tex]\Delta ABC[/tex] có 3 góc nhọn. CMR: [tex]\left(1+\dfrac{1}{\cos A}\right)\left(1+\dfrac{1}{\cos B}\right)\left(1+\dfrac{1}{\cos C})\geq 27[/tex]
Giải:

Ta có:
[tex]\cos A+\cos B=2\cos\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A}{2}-\dfrac{B}{2}\right)\le2\cos\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}\right)[/tex]
[tex]\cos C+\cos\dfrac{\pi}{3}=2\cos\left(\dfrac{C}{2}+\dfrac{\pi}{6}\right)\cos\left(\dfrac{C}{2}-\dfrac{\pi}{6}\right)\le2\cos\left(\dfrac{C}{2}+\dfrac{\pi}{6}\right)[/tex]
[tex]\cos\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{C}{2}+\dfrac{\pi}{6}\right)=2\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\left(\dfrac{A}{4}+\dfrac{B}{4}-\dfrac{C}{4}-\dfrac{\pi}{12}\right)\le2\cos\dfrac{\pi}{3}[/tex]
Suy ra: [tex]\cos A+\cos B+\cos C\le3\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3}{2}[/tex]      và    [tex]\cos A\cos B\cos C \le \left \left( \dfrac{\cos A+\cos B+\cos C}{3} \right \right)^3\le\dfrac{1}{8}[/tex]
Ta có:
[tex]\left\left(1+\dfrac{1}{\cos A}\right\right)\left\left(1+\dfrac{1}{\cos B}\right\right)\left\left(1+\dfrac{1}{\cos C}\right\right)\\=1+\left\left(\dfrac{1}{\cos A}+\dfrac{1}{\cos B}+\dfrac{1}{\cos C}\right\right)+\left\left(\dfrac{1}{\cos A\cos B}+\dfrac{1}{\cos B\cos C}+\dfrac{1}{\cos C\cos A}\right\right)+\dfrac{1}{\cos A\cos B\cos C}[/tex]
[tex]\ge1+\dfrac{3}{\sqrt[3]{\cos A\cos B\cos C}}+\dfrac{3}{\sqrt[3]{\cos^2A\cos^2B\cos^2C}}+8\ge27[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi: [tex]\Delta ABC[/tex] đều.        [tex]\blacksquare[/tex]


Logged

KK09XI ~ Nothing fails like succcess ~
Tags:
Trang: 1   Lên
  In  


Những bài viết mới nhất
Những bài viết mới nhất
 
Chuyển tới:  

© 2006 - 2012 Thư Viện Vật Lý.
Cache action__board_0_topic_13742_u__tags_0_start_0