Cho hệ phương trình: [tex]\begin{cases} x^{3}-y^{3}+3y^{2}-3x-2=0 \\ x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}}+m=0\end{cases}[/tex]
Tìm [tex]m[/tex] để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
Hướng dẫn:ĐKXĐ : [tex]-1\leq x\leq 1;\, 0\leq y\leq 2[/tex]
Ta có : [tex]x^{3}-y^{3}+3y^{2}-3x-2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left(x+1\right)^{3}- 3\left(x+1\right)^{2}= y^{3}- 3y^{2}[/tex]
Ta có hàm [tex]f(t)= t^{3}-3t^{2}[/tex] nghịch biến trên đoạn [tex]\left [0;\,2 \right ][/tex] nên suy ra [tex]y=x+1[/tex]
Thay [tex]y=x+1[/tex] vào PT [tex]2[/tex] :
[tex]x^{2}-2\sqrt{1-x^{2}}+m=0[/tex] (
)
Đặt [tex]a=\sqrt{1-x^{2}}[/tex] suy ra [tex]a \epsilon \left [0;\,1 \right ][/tex]
(
) trở thành : [tex]a^{2}+2a-1=m[/tex]
Xét [tex]f(a)=a^{2}+2a-1[/tex] trên [tex] \left [0;\,1 \right ][/tex] suy ra [tex]m\in \left [-1;\,2 \right ][/tex]
