Bài tập về Max-Min và số phức cần các bạn giúp.

[gmvd]

Câu 1: Cho [tex]x[/tex] là số thực dương và [tex]y[/tex] là số thực tùy ý . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

[tex]P=\dfrac{xy^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x\right)}[/tex]

Câu 2:Tìm số phức [tex]z[/tex] thỏa: [tex]\left(\dfrac{z+i}{1+i}\right)^{3}-\dfrac{z^{2}-1+2iz}{2i}+2=0[/tex]

[mark_bk99]

Câu 2:Tìm số phức [tex]z[/tex] thỏa: [tex]\left(\dfrac{z+i}{1+i}\right)^{3}-\dfrac{z^{2}-1+2iz}{2i}+2=0[/tex]

(1)<--->[tex](\frac{z+i}{1+i})^{3}-\frac{(z+i)^{2}}{2i}+2=0[/tex]
Đặt t=z+i   PT<===>[tex]\frac{t^{3}}{(1+i)^{3}}-\frac{t^{2}}{2i}+2=0[/tex]
<--->[tex]\frac{t^{3}-(1+i)t^{2}}{(1+i)^{3}}+2=0[/tex]
<---->[tex]t^{3}-(1+i)t^{2}+4-4i=0[/tex]
Tới đây ta nhẩm nghiệm ,tiến hành đọ casio fx xem của đứa nào xịn hơn , chắc của mềnh là I hề hề  8-x .
nhẩm được t=2 thì nghiệm đúng PT ,chia horne ta được: (t-2)[[tex]t^{2}+(1-i)t+2-2i]=0[/tex]

Đơn giản rồi t=2 v .....
Giải cho cái này cái kia tự giải  
z+i=2 ==>z=2-i ,tương tự tính denta ==>z (bài này bên nâng cao hay gì ế, căn bậc 2 của số phức cơ bản làm gì học hớ hớ chém tất  (ko chém được thì ta đây ra tay tiếp)

[gmvd]

Câu 2:Tìm số phức [tex]z[/tex] thỏa: [tex]\left(\dfrac{z+i}{1+i}\right)^{3}-\dfrac{z^{2}-1+2iz}{2i}+2=0[/tex]

(1)<--->[tex](\frac{z+i}{1+i})^{3}-\frac{(z+i)^{2}}{2i}+2=0[/tex]
Đặt t=z+i   PT<===>[tex]\frac{t^{3}}{(1+i)^{3}}-\frac{t^{2}}{2i}+2=0[/tex]
<--->[tex]\frac{t^{3}-(1+i)t^{2}}{(1+i)^{3}}+2=0[/tex]
<---->[tex]t^{3}-(1+i)t^{2}+4-4i=0[/tex]
Tới đây ta nhẩm nghiệm ,tiến hành đọ casio fx xem của đứa nào xịn hơn , chắc của mềnh là I hề hề  8-x .
nhẩm được t=2 thì nghiệm đúng PT ,chia horne ta được: (t-2)[[tex]t^{2}+(1-i)t+2-2i]=0[/tex]

Đơn giản rồi t=2 v .....
Giải cho cái này cái kia tự giải  
z+i=2 ==>z=2-i ,tương tự tính denta ==>z (bài này bên nâng cao hay gì ế, căn bậc 2 của số phức cơ bản làm gì học hớ hớ chém tất  (ko chém được thì ta đây ra tay tiếp)



mark hinh như bạn chia pt cho t-2 , kết quả sai rồi, còn phần dư nưa mà

[gmvd]

Câu 2:Tìm số phức [tex]z[/tex] thỏa: [tex]\left(\dfrac{z+i}{1+i}\right)^{3}-\dfrac{z^{2}-1+2iz}{2i}+2=0[/tex]

Đặt [tex]W=\frac{z+i}{1+i}[/tex]
ta có
W³-w²+2=0

[mark_bk99]

Sai là sai thế lào? Bạn nói mình ko hiểu ý lắm ,chuẩn thế còn thế lào !!! Tuy hơi dài xí

[gmvd]

khi ban lấy
[tex]t^{3}-(1+i)t^{2}+4-4i=0[/tex]  chia cho (t-2) đó

ban xem lại thử kết quả đúng không, hình như phép chia này còn phần dư nưa mà. hj

[mark_bk99]

Thì phần dư ở đằng sau đó không thấy hả, ra 1 nghiệm rồi còn 2 nghiệm ở cái pt bậc 2 kia, tính denta theo t ==>z (Nhưng mà như thế thì phải dùng kiến thức nâng cao nghĩa là căn bậc 2 của số phức)
KQ giống nhau hết cả mình check rồi
Ban đầu mình ko nghĩ ra 2i =(1+i)^2 nên biến đổi hơi dài dẫn đến hướng giải khác ,nhưng cuối cùng đáp số vẫn vậy mừ !!!!!!!!! Ko sai đâu

[Alexman113]

Câu 1: Cho [tex]x[/tex] là số thực dương và [tex]y[/tex] là số thực tùy ý . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

[tex]P=\dfrac{xy^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x\right)}[/tex]

Giải:

Đặt: [tex]x^{2}+y^{2}=t\,(t > 0)[/tex]
 
Từ đây suy ra: [tex]t \ge x > 0[/tex]

Ta có [tex]$P$[/tex] trở thành: [tex]\dfrac{x\left(t-x^2\right)}{t\left(\sqrt{t}+x\right)}=\dfrac{x\left(\sqrt{t}-x\right)}{t}[/tex]

* Do [tex]t \ge x >0[/tex] nên [tex]P \ge 0[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi [tex]\sqrt{t}=x \Leftrightarrow y^2=0 \Leftrightarrow y=0[/tex] và [tex]x>0[/tex] tùy ý.

* Theo AM - GM, ta có: [tex]P=\dfrac{x\left(\sqrt{t}-x\right)}{t}\leq \dfrac{1}{t}\left(\dfrac{x+\sqrt{t}-x}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}[/tex]

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: [tex]x=\sqrt{t}-x\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{2} \Leftrightarrow 3x^2=y^2[/tex]

Vậy: [tex]MinP=0[/tex] tại [tex]y=0[/tex] và [tex]x>0[/tex] tùy ý.

và [tex]MaxP=\dfrac{1}{4}[/tex] tại [tex]x=1[/tex] và [tex]y=\sqrt{3}[/tex]