Một số câu Bất Đẳng Thức nhờ MN

[yeulakho]

1/Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện [tex] x^2+y^2-2x+6y+6=0 [/tex]
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[tex] P=\frac{2(xy+3x-y-1)}{y^2-x^2+2x+6y+16} [/tex]
2/Cho a,b,c là 3 số thức dương thỏa mãn [tex] a+b+c=\frac{3}{4} [/tex].Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[tex] P=\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}} + \frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}} + \frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}} [/tex]
3/Với x,y,z là 3 số thực thay đổi.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
[tex] P=\frac{x+2y+3z}{\sqrt{x^4+1}+\sqrt{y^4+16}+\sqrt{z^4+81}} [/tex]
4/Cho 3 số thức dương a,b,c.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
[tex]P=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}} -\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)} [/tex]
5/Cho 3 số thực dương a,b,c thõa mãn abc=1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
[tex] T=\frac{ab}{a+b+ab} + \frac{bc}{b+c+bc} + \frac{ca}{c+a+ca} [/tex]
Mọi người vào giải giúp em mấy bài này với ạ.

[onehitandrun]

Câu 3: Bạn tham khảo ở đây nhé
http://thuvienvatly.com/forums/index.php?topic=9124.0

[Alexman113]

3/Với x,y,z là 3 số thực thay đổi.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
[tex] P=\frac{x+2y+3z}{\sqrt{x^4+1}+\sqrt{y^4+16}+\sqrt{z^4+81}} [/tex]

[tex]C_2:[/tex]
Áp dụng AM-GM ta có:
[TEX]x^4+1 \geq 2x^2[/TEX]

[TEX]y^4+16\geq 8y^2[/TEX]

[TEX]z^4+81\geq 18z^2[/TEX]

Suy ra: [TEX]\dfrac{1}{\sqrt{x^4+1}+\sqrt{y^4+16}+\sqrt{z^4+81}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{2}\left(\left|x\right|+2\left|y\right|+3 \left|z\right|\right)}[/TEX]
Xét Max [TEX]P.[/TEX]

Nếu [TEX]x+2y+3z<0[/TEX] thì max đạt được âm

Nếu [TEX]x+2y+3z\geq 0[/TEX] thì

[tex]P\leq \dfrac{x+2y+3z}{\sqrt{2} \left(|x|+2|y|+3|z|\right)}[/tex]

[tex]P\leq \dfrac{|x|+2|y|+3|z|}{\sqrt{2}\left(|x|+2|y|+3|z|\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}[/tex]

[TEX]MaxP=\dfrac{1}{\sqrt{2}}[/TEX] khi [TEX]x=1, y=2, z=3[/TEX]
Tương tự ta có [TEX]Min P=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}[/TEX] khi[TEX] x=-1, y=-2, z=-3[/TEX]

[Alexman113]

1/Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện [tex] x^2+y^2-2x+6y+6=0 [/tex]
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[tex] P=\frac{2(xy+3x-y-1)}{y^2-x^2+2x+6y+16} [/tex]

Giải:
Từ điều kiện ta có: [tex]{\left({x - 1}\right)^2}+{\left({y+3}\right)^2} = 4[/tex]

Đặt: [tex]x - 1 = 2\sin t,\,\,y + 3 = 2\cos t[/tex]

Khi đó:[tex]P = \dfrac{{2\left( {xy - y + 3x - 3 + 2} \right)}}{{{{\left( {y + 3} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + 8}}=\dfrac{{2\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {y + 3} \right) + 2} \right]}}{{{{\left( {y + 3} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + 8}}[/tex] [tex]=\dfrac{{2\left( {4\sin t\cos t + 2} \right)}}{{4{{\cos }^2}t - 4{{\sin }^2}t + 8}} =\dfrac{{2\sin t\cos t + 1}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}t - {{\sin }^2}t + 2}} = \frac{{\sin 2t + 1}}{{c{\rm{os}}2t + 2}}[/tex]

[tex]\Rightarrow P\left( {c{\rm{os}}2t + 2} \right) = \sin 2t + 1 \Leftrightarrow \sin 2t - Pc{\rm{os}}2t = 2P - 1\,\,\,\,\,\,\left( * \right)[/tex]

Phương trình [tex](*)[/tex] có nghiệm [tex]\Leftrightarrow {P^2} \ge {\left( {2P - 1} \right)^2} \Leftrightarrow 3{P^2} - 4P + 1 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le P \le 1[/tex]
Đến đây thì anh kết luận được rồi 

[Alexman113]

2/Cho a,b,c là 3 số thức dương thỏa mãn [tex] a+b+c=\frac{3}{4} [/tex].Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[tex] P=\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}} + \frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}} + \frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}} [/tex]

Giải:
Áp dụng Cauchy - Schwarz, ta có: [tex]P \ge \dfrac{9}{{\sqrt[3]{{a + 3b}} + \sqrt[3]{{b + 3c}} + \sqrt[3]{{c + 3a}}}}[/tex]

Ta lại có: [tex]\sqrt[3]{{a + 3b}} \le \dfrac{{a + 3b + 1 + 1}}{3} = \dfrac{{a + 3b + 2}}{3}[/tex]

Tương tự: [tex]\sqrt[3]{{b + 3c}} \le \dfrac{{b + 3c + 2}}{3};\,\,\,\,\,\sqrt[3]{{c + 3a}} \le \dfrac{{c + 3a + 2}}{3}[/tex]

Do đó: [tex]P \ge \dfrac{9}{{\dfrac{{a + 3b + 2}}{3} + \dfrac{{b + 3c + 2}}{3} + \dfrac{{c + 3a + 2}}{3}}} = \dfrac{{27}}{{4\left( {a + b + c} \right) + 6}} = 3[/tex]

Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{1}{4}[/tex].
Vậy: [tex]\min P = 3 \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{1}{4}[/tex]

[Alexman113]

5/Cho 3 số thực dương a,b,c thõa mãn abc=1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
[tex] T=\frac{ab}{a+b+ab} + \frac{bc}{b+c+bc} + \frac{ca}{c+a+ca} [/tex]

Giải:
Đặt: [tex]\dfrac{1}{\sqrt[3]{a}}=x,\, \dfrac{1}{\sqrt[3]{b}}=y,\, \dfrac{1}{\sqrt[3]{c}}=z \Rightarrow xyz=1[/tex]
 
[tex]P=\sum \dfrac{ab}{a+b+ab}=\sum \dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+1}=\sum \dfrac{1}{x^3+y^3+xyz}[/tex]

Sử dụng đánh giá quen thuộc ta có: [tex]P\leq \dfrac{1}{xyz}=1[/tex]

Vậy: [tex]Max\, P =1 \Leftrightarrow x=y=z=1 \Leftrightarrow a=b=c=1[/tex]

[yeulakho]

Còn câu 4 bạn giải nốt cho mình luôn đi.Mà sao bạn pro bđt thế

[onehitandrun]

4/Cho 3 số thức dương a,b,c.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
[tex]P=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}} -\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)} [/tex]

Trước hết ta chứng minh điều sau:
Áp dụng bđt cô si ta có:
[tex] x^2+y^2\ge 2xy [/tex]
[tex] \leftrightarrow 2(x^2+y^2)\ge (x+y)^2 [/tex]
[tex] \leftrightarrow x^2+y^2\ge \frac{1}{2}(x+y)^2 [/tex] (*)
Áp dụng (*) ta có:
[tex] a^2 + b^2 \ge \frac{1}{2}(a+b)^2 [/tex]
[tex] c^2 + 1^2 \ge \frac{1}{2}(c+1)^2 [/tex]
Tiếp tục áp dụng (*) ta có:
[tex] a^2+b^2+c^2+1^2 \ge \frac{1}{2}[(a+b)^2+(c+1)^2]\ge \frac{1}{4}(a+b+c+1)^2 [/tex]
Nên [tex] \sqrt{a^2+b^2+c^2+1^2} \ge \frac{1}{2}(a+b+c+1) [/tex]
Do đó [tex] \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}} \le \frac{2}{a+b+c+1} (1) [/tex]
Áp dụng bđt cô si ta có :
[tex](a+1)+(b+1)+(c+1) \ge 3\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)} [/tex]
[tex] \leftrightarrow [(a+b+c+1)+2]^3 \ge 27(a+1)(b+1)(c+1) [/tex]
[tex] \leftrightarrow \frac{54}{[(a+b+c+1)+2]^3} \le \frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)} (2) [/tex]
Từ (1),(2) ta được:
[tex] \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}} -\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)} \le \frac{2}{a+b+c+1} - \frac{54}{[(a+b+c+1)+2]^3} [/tex]
[tex] \leftrightarrow P \le \frac{2}{a+b+c+1} -\frac{54}{[(a+b+c+1)+2]^3} [/tex]
Đặt [tex] t=a+b+c+1 , t>1 [/tex]
Xét hs [tex] f(t)= \frac{2}{t} - \frac{54}{(t+2)^3} ,t>1 [/tex]
Khảo sát rồi tim ra [tex] Max=\frac{1}{4} khi a=b=c=1 [/tex]

[yeulakho]

Cảm ơn mọi người nhiều lắm nha

[yeulakho]

Mấy bạn ai có tài liệu hay về bđt cho mình(em) với cảm ơn nhiều