Câu 2: Một đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn mạch AM chỉ có biến trở R, đoạn mạch MB gồm điện trở thuần [tex]r[/tex] mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm L. Đặt vào AB một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi. Điều chỉnh R đến giá trị [tex]80\Omega[/tex] thì công suất tiêu thụ trên biến trở đạt cực đại và tổng trở của đoạn mạch AB chia hết cho [tex]40[/tex]. Khi đó hệ số công suất của đoạn mạch MB và của đoạn mạch AB tương ứng là:
A. 0,375 và 0,625
B. 0,125 và 0,75
C. [tex]\frac{1}{17}[/tex] và [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
D. [tex]\frac{33}{118}[/tex] và [tex]\frac{113}{160}[/tex]
Công suất trên biến trở: [tex]P_{R}= RI^{2}= R\frac{U^{2}}{(R+r)^{2}+Z_{L}^{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow P_{R}= RI^{2}= \frac{U^{2}}{R+2r+\frac{ r^{2}+Z_{L}^{2}}{R}}[/tex]
Để [tex]\left(P_{R} \right)_{max}[/tex] thì [tex]\left(R+2r+\frac{ r^{2}+Z_{L}^{2}}{R} \right)_{min}\Leftrightarrow \left(R+\frac{ r^{2}+Z_{L}^{2}}{R} \right)_{min}[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương R và [tex]\frac{ r^{2}+Z_{L}^{2}}{R}[/tex] ta có:
[tex]R+ \frac{ r^{2}+Z_{L}^{2}}{R}\geq 2\sqrt{r^{2}+Z_{L}^{2}}[/tex]
Vậy [tex]\left(R+\frac{ r^{2}+Z_{L}^{2}}{R} \right)_{min}\Leftrightarrow R= \frac{ r^{2}+Z_{L}^{2}}{R}[/tex]
[tex]\Rightarrow R^{2}= r^{2}+Z_{L}^{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow 80^{2}= r^{2}+Z_{L}^{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow r^{2}<80^{2}\Rightarrow r<80[/tex]
~O) Tổng trở mạch AB:
[tex]Z_{AB}^{2}= R^{2}+ r^{2}+2Rr + Z_{L}^{2}[/tex]
[tex]Z_{AB}^{2}= R^{2} + \left( r^{2} + Z_{L}^{2} \right)+ 2Rr = 80^{2}+80^{2}+ 2.80.r= 2.80^{2}+160r[/tex] (1)
Mà tổng trở của mạch chia hết cho 40. Gọi x là số nguyên dương, ta có:
[tex]Z_{AB}= 40x \Rightarrow Z_{AB}^{2}= \left( 40x\right)^{2}[/tex] (2)
Từ (1) và (2) suy ra: [tex]2.80^{2}+160r= \left( 40x\right)^{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow x = \sqrt{8 + \frac{r}{10}}[/tex]
Vậy r phải chia hết cho 10 và r < 80 và [tex]\sqrt{8 + \frac{r}{10}}[/tex] phải là 1 số nguyên.
Kết hợp 3 điều kiện suy ra [tex] r = 10\Omega[/tex]
[tex]\Rightarrow Z_{L}^{2} = 6300[/tex]
[tex]\Rightarrow cos\varphi _{AB}= \frac{3}{4}=0,75[/tex]
[tex]\Rightarrow cos\varphi _{MB}= \frac{1}{8}=0,125[/tex]
Đáp án B.
~O) Cách này ĐQ thấy quá dài, không biết có cách nào ngắn hơn chăng? Mong các thầy cô chỉ cho ĐQ với.
