Bài này là dạng toán đặc trưng về hệ có khối lượng thay đổi. Chọn gốc tọa độ tại M, chiều dương hướng lên.
Chia dây thành những phần tử rất nhỏ khối lượng [tex]dm=\frac{m}{L}dy[/tex]
Trước tiên ta tính lực tại thời điểm t lúc phần tử thứ [tex]dm_i[/tex] đập vào M, lực này gồm 2 phần:
- Phần thứ nhất là trọng lượng phần nằm đã rơi và trong lực của M
- Phần thứ hai là do sự biến thiên động lượng của mắc xích dm
[tex]F_i=F_1+F_2=Mg+\frac{m}{L}yg+\frac{dp}{dt}=Mg+\frac{m}{L}yg+v\frac{dm}{dt}=Mg+\frac{m}{L}yg+\sqrt{2gy}\frac{mdy}{Ldt}=Mg+\frac{m}{L}yg+2gy\frac{m}{L}=Mg+\frac{3mgy}{L}=Mg+\frac{3mg^2t^2}{2L}[/tex]
Gia tốc của hệ tại thời điểm t:
[tex]a=\frac{F_i}{m_i}=\frac{\dfrac{2ML}{mg}+3t^2}{\dfrac{2ML}{mg}+t^2}g=\frac{dv}{dt}[/tex]
Suy ra:
[tex]dv=\frac{\dfrac{2ML}{mg}+3t^2}{\dfrac{2ML}{mg}+t^2}g.dt[/tex]
Đặt [tex]a=\sqrt{\frac{2ML}{mg}}[/tex]
[tex]dv=\frac{a^2+3t^2}{a^2+t^2}dt\Rightarrow v=\int_0^{\sqrt{\frac{2L}{g}}} \frac{a^2+3t^2}{a^2+t^2}dt=a^2\int_0^{\sqrt{\frac{2L}{g}}}\frac{dt}{a^2+t^2}+\int_0^{\sqrt{\frac{2L}{g}}}\frac{3t^2dt}{a^2+t^2}=I_1+I_2 [/tex]
Tích phân thứ nhất đặt [tex]t=atanx[/tex]
Tích phân thứ hai đặt [tex]t=asinx'[/tex]
Không chắc đúng không nhưng mà kết quả thấy ghê quá