Trong hệ tọa độ OXYZ, cho hai điểm A(0;1;-4), B(1;0;-5) và đường thẳng [tex]\Delta[/tex]: [tex]\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{-4}=\frac{z-1}{-2}[/tex] . Chứng minh rằng 2 đường thẳng AB và [tex]\Delta[/tex] chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B đồng thời song song với đường thẳng [tex]\Delta[/tex]. Tính khoảng cách giữa đường thẳng [tex]\Delta[/tex] và mặt phẳng (P).
mong mn giải giúp em với ạ!
Ta có: [tex]\left(AB\right):\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+4}{-1}[/tex] qua [tex]A\left(0;\,1;\,-4\right)[/tex] và có vecto chỉ phương [tex]\overrightarrow{u_1}=\left(1;\,-1;\,-1\right)[/tex]
[tex]\left(\Delta\right)[/tex] qua [tex]C\left(1;\,4;\,1\right)[/tex] và có vecto chỉ phương [tex]\overrightarrow{u_2}=\left(1;\,-4;\,-2\right)[/tex]
Vì [tex]\left[\overrightarrow{u_1};\,\overrightarrow{u_2}\right]\overrightarrow{AC}=-14\ne 0\Rightarrow\left(AB\right)[/tex] và [tex]\left(\Delta\right)[/tex] chéo nhau
[tex]\left(P\right)[/tex] qua [tex]A[/tex] và nhận [tex]\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u_1};\,\overrightarrow{u_2}\right]=\left(-2;\,1;\,-3\right)[/tex] làm vecto pháp tuyến nên [tex]\left(P\right):2x-y+3z+13=0[/tex]
Do [tex]\left(AB\right)\subset \left(P\right)\Rightarrow d_{\left(\left(\Delta\right);\,\left(P\right)\right)}=d_{\left(\left(\Delta\right);\,\left(AB\right)\right)}=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{u_1};\,\overrightarrow{u_2}\right]\overrightarrow{AC}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{u_1};\,\overrightarrow{u_2}\right]\right|}=\dfrac{14}{\sqrt{14}}=\boxed{\sqrt{14}}\,.[/tex]
