tính khoảng cách

[thanhlan97]

Trong hệ tọa độ OXYZ, cho hai điểm A(0;1;-4), B(1;0;-5) và đường thẳng $\Delta$: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{-4}=\frac{z-1}{-2}$ . Chứng minh rằng 2 đường thẳng AB và $\Delta$ chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B đồng thời song song với đường thẳng $\Delta$. Tính khoảng cách giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P).
mong mn giải giúp em với ạ!

[Alexman113]

Trong hệ tọa độ OXYZ, cho hai điểm A(0;1;-4), B(1;0;-5) và đường thẳng $\Delta$: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{-4}=\frac{z-1}{-2}$ . Chứng minh rằng 2 đường thẳng AB và $\Delta$ chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B đồng thời song song với đường thẳng $\Delta$. Tính khoảng cách giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P).
mong mn giải giúp em với ạ!

Ta có: $\left(AB\right):\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+4}{-1}$ qua $A\left(0;\,1;\,-4\right)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(1;\,-1;\,-1\right)$
          $\left(\Delta\right)$ qua $C\left(1;\,4;\,1\right)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=\left(1;\,-4;\,-2\right)$
Vì $\left[\overrightarrow{u_1};\,\overrightarrow{u_2}\right]\overrightarrow{AC}=-14\ne 0\Rightarrow\left(AB\right)$ và $\left(\Delta\right)$ chéo nhau
$\left(P\right)$ qua $A$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u_1};\,\overrightarrow{u_2}\right]=\left(-2;\,1;\,-3\right)$ làm vecto pháp tuyến nên $\left(P\right):2x-y+3z+13=0$
Do $\left(AB\right)\subset \left(P\right)\Rightarrow d_{\left(\left(\Delta\right);\,\left(P\right)\right)}=d_{\left(\left(\Delta\right);\,\left(AB\right)\right)}=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{u_1};\,\overrightarrow{u_2}\right]\overrightarrow{AC}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{u_1};\,\overrightarrow{u_2}\right]\right|}=\dfrac{14}{\sqrt{14}}=\boxed{\sqrt{14}}\,.$